高中数学高教版（中职）拓展模块1.3.3 正弦定理与余弦定理应用举例教案

这是一份高中数学高教版（中职）拓展模块1.3.3 正弦定理与余弦定理应用举例教案，共8页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学设计，教学备品，课时安排，教学过程，教师教学后记等内容，欢迎下载使用。

知识目标：
理解正弦定理与余弦定理．
能力目标：
通过应用举例与数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力．
【教学重点】
正弦定理与余弦定理及其应用．
【教学难点】
正弦定理与余弦定理及其应用．
【教学设计】
本课利用几何知识引入新知识降低了难度．教学中，不利用向量工具进行严格的证明，否则会增加难度，而是重在应用．安排了5道例题，介绍利用正弦定理解三角形的方法．例1是基础题，目的是让学生熟悉公式．例2和例3是突破难点的题目，需要分情况进行讨论，介绍了讨论的方法和讨论的两种结果．例4是已知两边及夹角，求第三边的示例，可以直接应用余弦定理；例5是已知三边的长求最大角和最小角的示例．由于余弦函数在区间内是单调函数，所以知道余弦值求角时，没有必要进行讨论．这里求最大角与最小角，是起到强化对“大边对大角，小边对小角”的认识．利用余弦定理求一个角，求第二个角的时候，可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
【教师教学后记】
教 学
过 程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时间
*揭示课题
1.3正弦定理与余弦定理．
*创设情境 兴趣导入
我们知道，在直角三角形（如图）中,,，即
C
B
A
c
a
b
，，
由于,所以，于是
.
图1－6
所以 .

介绍
播放
课件
质疑
了解
观看
课件
思考
学生自然的走向知识点
0
10
*动脑思考 探索新知
在任意三角形中，是否也存在类似的数量关系呢？
c
A
B
C
y
a
b
x
图1－7
当三角形为钝角三角形时，不妨设角为钝角，如图所示，以为原点，以射线的方向为轴正方向，建立直角坐标系，则 两边取与单位向量的数量积，得
由于设与角A，B，C相对应的边长分别为a，b，c，故

即
所以
同理可得
即
当三角形为锐角三角形时，同样可以得到这个结论.于是得到正弦定理：
在三角形中，各边与它所对的角的正弦之比相等.
即 (1.7)
利用正弦定理可以求解下列问题：
（1）已知三角形的两个角和任意一边，求其他两边和一角.
（2）已知三角形的两边和其中一边所对角，求其他两角和一边.
详细分析讲解
总结
归纳
详细分析讲解
思考
理解
记忆
理解
记忆
带领
学生
总结
20
*巩固知识 典型例题
例1 已知在中， ，，，求.
分析 这是已知三角形的两个角和一边，求其他边的问题，可以直接应用正弦定理．
解 由于 ，
所以 ．
例2 已知在中，，，，求B．
分析 这是已知三角形的两边和一边的对角，求另一边的对角，可以首先直接应用正弦定理求出角的正弦值，然后再求出角．
解 由于 ，
所以 ．
由，知，故，所以或．
例3 已知在中，，，，求．
解 ．
由于，所以，即，所以．
【注意】
已知三角形的两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，要讨论这个角的取值范围，避免发生错误.
引领
讲解
说明
引领
讲解
说明
引领
讲解
说明
观察
思考
主动
求解
观察
观察
思考
主动
求解
通过
例题
进一
步领
会
注意
观察
学生
是否
理解
知识
点
35
*运用知识 强化练习
1．已知在中，，，b=，求C和a.
2. 已知在中，，，c=4，求C和b
（精确到）．
3．已知在中，，a =12，b=8，求B（精确
到）．
提问
巡视
指导
动手
求解
及时
了解
学生
知识
掌握
情况
45
*动脑思考 探索新知
如图1－8所示，在△ABC中，，所以


．
即 ．
图1－8
B
A
CA
同理可得，
．
于是得到余弦定理：
三角形中任意一边的平方等于其余两边的平方和减去这两边与其夹角余弦乘积的两倍. 即
(1．8)
显然，当时，有．这就是说，勾股定理是余弦定理的特例．
公式（1.8）经变形后可以写成
（1．9）
利用余弦定理可以求解下列问题：
(1) 已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边和其他的两个角.
(2) 已知三角形的三边，求三个角.
总结
归纳
思考
理解
记忆
带领
学生
总结
50
*巩固知识 典型例题
例4 在中，，，，求．
分析 这是已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边的问题，可以直接应用余弦定理．
解 =，
所以.
例5 在中，，，，求ABC中的最大角和最小角（精确到）.
分析 三角形中大边对大角，小边对小角．
解 由于a＜b＜c，所以C最大，A最小，由公式（1.9），
有

所以 ，
=，
所以 .
引领
讲解
说明
引领
观察
思考
主动
求解
观察
通过
例题
进一
步领
会
注意
观察
学生
是否
理解
知识
点
65
*运用知识 强化练习
1．在△ABC中，B=，a=3，c=2，求b.
2. 在△ABC中，三边之比，求三角形最大内角.
提问
巡视
指导
动手
求解
及时
了解
学生
知识
掌握
情况
70
*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题：
正弦定理、余弦定理的内容．
结论：
正弦定理：
余弦定理：
质疑
归纳强调
小组
讨论
回答
理解
强化
以小组讨论师生共同归纳的形式强调重点突破难点
75
*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
引导
回忆
80
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？
在△ABC中，a=20，b=29，c=21，求角B．
提问
巡视
指导
反思
动手
求解
检验
学习
效果
85
*继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题6．1（必做）；学习与训练6．1（选做）
(3)实践调查：编写一道有关余弦定理或者正弦定理的习题．
说明
记录
分层次要求
90
项目
反思点
学生知识、技能的掌握情况
学生是否真正理解有关知识；
是否能利用知识、技能解决问题；
在知识、技能的掌握上存在哪些问题；
学生的情感态度
学生是否参与有关活动；
在教学活动中，是否认真、积极、自信；
遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；
学生思维情况
学生是否积极思考；
思维是否有条理、灵活；
是否能提出新的想法；
是否自觉地进行反思；
学生合作交流的情况
学生是否善于与人合作；
在交流中，是否积极表达；
是否善于倾听别人的意见；
学生实践的情况
学生是否愿意开展实践；
能否根据问题合理地进行实践；
在实践中能否积极思考；
能否有意识的反思实践过程的方面；