数学拓展模块2.1.2 椭圆的性质教学设计

这是一份数学拓展模块2.1.2 椭圆的性质教学设计，共11页。


科 目
数学
模 块
选修1-1
时 间
第 2 章 2.1节 共 4课时 模块总 12 课时 教学设计编号：
课题：椭圆
授课班级
授课教师
学情分析
本人所教的两个班级学生普遍存在着数学科基础知识较为薄弱，计算能力较差，综合能力不强，对数学学习有一定的困难。在课堂上的主体作用的体现不是太充分，但是他们能意识到自己的不足，对数学课的学习兴趣高，积极性强。 学生在学习交往上表现为个别化学习，课堂上较为依赖老师的引导。学生的群体性小组交流能力与协同讨论学习的能力不强，对学习资源和知识信息的获取、加工、处理和综合的能力较低。在教学中尽量分析细致，减少跨度较大的环节，对重要的推导过程采用板书方式逐步进行，力求让绝大多数学生接受。
教
学
目
标
知识
与
技能
1.理解椭圆标准方程的推导；掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标.
2.通过椭圆图形的研究和标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用。
过程
与
方法
1.让学生经历椭圆标准方程的推导过程，进一步掌握求曲线方程的一般方法，体会数形结合等数学思想；培养学生运用类比、联想等方法提出问题.
2.培养学生运用数形结合的思想，进一步掌握利用方程研究曲线的基本方法，通过与椭圆几何性质的对比来提高学生联想、类比、归纳的能力，解决一些实际问题。
情感态度
与
价值观
1.通过具体的情境感知研究椭圆标准方程的必要性和实际意义；体会数学的对称美、简洁美，培养学生的审美情趣，形成学习数学知识的积极态度.
2.进一步理解并掌握代数知识在解析几何运算中的作用，提高解方程组和计算能力，通过“数”研究“形”，说明“数”与“形”存在矛盾的统一体中，通过“数”的变化研究“形”的本质。帮助学生建立勇于探索创新的精神和克服困难的信心。
教学重点
1.椭圆的标准方程
2.椭圆的几何性质及初步运用．
教学难点
1.椭圆的标准方程的推导
2.从图形、方程的不同角度研究曲线的几何性质的方法。
教学方法
主要采用学生自主学习、自主探究性教学法和教师启发式教学法。以启发、引导为主
教学资源
黑板，教材，粉笔，导学案
教学过程（第 1 、2 学时）
教学环节
教师活动
学生活动
教学预设
创设
情景
探索研 究
例题分 析
（一）提出问题
用圆柱状水杯盛半杯水，将水杯放在水平桌面上，截面为圆形．当端起水杯喝水时，水杯倾斜，再观察水平面，此时截面为椭圆形．看来，椭圆是与圆有着密切关系的一种曲线．圆是到定点距离等于定长的点的轨迹，根据圆的定义，用一根细绳就可画出一个圆．将细绳的一端固定在黑板上，在另一端系上一支粉笔，将细绳绷紧并绕固定端点旋转一周即可．将圆心从一点“分裂”成两点，将细绳的两端固定在这两点，用粉笔挑起细绳并绷紧，移动粉笔，可画出什么图形？
（二）学生实验——体验数学
1．学生通过动手实践、观察，猜想轨迹为椭圆
2．展示学生成果
3．动态演示动点生成轨迹的全过程，印证猜想
4．展示椭圆实际应用的幻灯片
5．导出新课：看来，大家对椭圆并不陌生，数学是一门严谨的科学，我们不能满足于直观感受，我们希望对椭圆有更深刻的认识，比如：椭圆上所有的点所具有的共同的几何特征是什么？——椭圆的定义；能否用代数方法精确地刻画出这种共同的几何特征？——椭圆的标准方程．这就是我们这节课的重点内容．
（三）意义建构——感知数学
椭圆定义的初步生成：
根据椭圆画法，从中归纳椭圆定义——与两个定点的距离之和为定长（绳长）的点的轨迹为椭圆（绳长大于两定点间距离）．
（四）形成理论——建立数学
1．椭圆定义的完善
提出问题：要想用上面那句话作为椭圆的定义，要保证它足够严密、经得起推敲．那么，这个常数可以是任意正实数吗？有什么限制条件吗？
引导归纳：椭圆的形成有条件，也就是该距离之和要大于两点之间的距离。（理论依据：三角形的性质）.在“定义”中需要加上“常数>”的限制。
继续深化问题：若常数=或常数<,情况会发生什么变化？
总结归纳出规律： 轨迹为椭圆 (三角形任意两边之和大于第三边)
轨迹为线段(两点之间线段最短)
轨迹不存在.
教师用给出完善的椭圆定义，并介绍焦点、焦距的定义．
椭圆定义：平面内，到两个定点、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．
用集合语言来描述椭圆定义：
这两个定点叫做椭圆的焦点，焦点的距离叫做椭圆的焦距。
2．椭圆的标准方程
(1)回顾用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤：建系设点、写出动点满足的几何约束条件、坐标化、化简、证明等价性
(2)建立焦点在轴上的椭圆的标准方程
①建系设点：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？——利用椭圆的对称性特征
以直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．设焦距为，则．设为椭圆上任意一点，点与点的距离之和为．
②动点满足的几何约束条件:
③坐标化：
④化简：化简椭圆方程，移项后两次平方法
观察：你能从中找出a,c,表示的线段吗？
分析的几何含义，令得到焦点在轴上的椭圆的标准方程为
方程叫做椭圆的标准方程，焦点在轴上，焦点是
(3)建立焦点在轴上的椭圆的标准方程
要建立焦点在轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何去做？此时要借助于化归思想，其中
如果椭圆的焦点在轴上（调换轴）焦点则变成,只要将方程中的调换，即可得
焦点在轴上的椭圆的标准方程为
其中
(4)辨析焦点分别在轴、轴上的椭圆的标准方程的异同点
区别：要判断焦点在哪个轴上，只需比较与项分母的大小即可．若项分母大，则焦点在轴上；若项分母大，则焦点在轴上．反之亦然．
联系：它们都是二元二次方程，共同形式为
两种情况中都有
（五）数学应用——巩固新知
例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程．
分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出．引导学生用其他方法来解．
X
Y
P
O
D
M
另解：设椭圆的标准方程为，因点在椭圆上，
则．

例2 如图，在圆上任取一点，
过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？
分析：点在圆上运动，由点移动引起点的运动，则称点是点的伴随点，因点为线段的中点，则点的坐标可由点来表示，从而能求点的轨迹方程．

例3如图，设，的坐标分别为，．
直线，相交于点，且它们的斜率之积为，
求点的轨迹方程．
分析：若设点，则直线，的斜率就可以用
含的式子表示，由于直线，的斜率之积是，因此，可以求出之间的关系式，即得到点的轨迹方程．
解法剖析：设点，则，；
代入点的集合有，化简即可得点的轨迹方程．
当堂练习
1.判断分别满足下列条件的动点M的轨迹是否为椭圆
（1）到点和点的距离之和为6的点的轨迹；（是）
（2）到点和点的距离之和为4的点的轨迹；（不是）
（3）到点和点的距离之和为6的点的轨迹；（是）
（4）到点和点的距离之和为4的点的轨迹；（不是）
2.已知椭圆的方程为： ，则a＝____，b＝____，c＝___，
焦点坐标为：___ 、___，焦距等于____。
如果曲线上一点P到焦点F1的距离为8，则点P到另一个焦点F2的距离等于______。
3.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点M到的距离之和为4，求该椭圆的标准方程．
变式一：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点M到的距离之和为4，求该椭圆的标准方程．
变式二：已知椭圆的两个焦点分别是，椭圆经过点，求该椭圆的标准方程．
思 考
问 题
探
究
思
考
学生按小组合作探究（请学生代表本小组交流探究结论：给出经过修改的椭圆定义）
学生同桌之间进行合作探究和交流
学生思考如何去根号
学生尝试
利用类比对称，化归的思想归纳出焦点在y轴上的标准方程
学生独立完成
学生独立完成
使学生产生学习兴趣和探索欲望
从学生实验中导出新课，明确研究课题
椭圆定义的初步生成和完善
使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风
进一步熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法，掌握化简含根号等式的方法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神，感受数学的简洁美、对称美
体会数学中的化归思想，化未知为已知，避免重复劳动
巩固椭圆定义
学会用待定系数法求椭圆标准方程，提醒学生在解题时先要根据焦点位置判断使用哪种形式的椭圆标准方程
体会椭圆定义在解题中的重要作用
教学过程（第 3、4 学时）
教学环节
教师活动
学生活动
教学预设
创设
情景
探索研 究
例题分 析
(一)、复习回顾：
椭圆的定义
椭圆的标准方程
椭圆的几何性质：
（二）提出问题
[在解析几何里，是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的，我们现在利用焦点在x轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.]
已知椭圆的标准方程为：，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
１．范围：
椭圆位于直线x＝±a, y＝±b所围成的矩形里．
原因：由标准方程可知，椭圆上的点的坐标（x,y）都适合不等式≤1, ≤1
即 x2≤a2, y2≤b2
所以 |x|≤a， |y|≤b
即 －a≤x≤a, －b≤y≤b

2．对称性：
从图形上看：椭圆关于x轴、y轴、原点对称。椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。
从方程上看：
（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；
（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。
综上，椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的。这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
３．顶点
[研究曲线的上的某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置。要确定曲线在坐标系中的位置，常常需要求出曲线与x轴，y轴的交点坐标.]
问题： 由椭圆方程： 怎样求曲线与x轴、y轴的交点?
在椭圆的标准方程里，令x=0,得y=±b。这说明了B1(0,－b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理，令y=0,得x=±a。这说明了A1(－a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。
因为x轴，y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点。
线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
它们的长|A1A2|=2a,|B1B2|=2b (a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长)
观察图形，由椭圆的对称性可知，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长半轴长，即 |B1F1|=|B1F2|=|B2F1|=|B2F2|= a
在Rt△OB2F2中，由勾股定理有
|OF2|2=|B2F2|2－|OB2|2 ，即c2＝a2－b2
这就是在前面一节里，我们令a2－c2＝b2的几何意义。
４．离心率
定义：椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率．∵a＞c＞0，∴0＜e＜1．
问题： 观察图形,说明当离心率e变化时,椭圆形状是怎样随之变化的?
当e＝1时，图形变成了一条线段。[为什么？留给学生课后思考]
（三）例题讲解
例1求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。
[根据刚刚学过的椭圆的几何性质知，椭圆长轴长2a，短轴长2b，该方程中的a＝？b＝？c＝？因为题目给出的椭圆方程不是标准方程，所以必须先把它转化为标准方程，再讨论它的几何性质]
解：把已知方程化为标准方程, 这里a＝5，b＝4，所以c＝＝3
因此，椭圆的长轴和短轴长分别是2a＝10，2b＝8
离心率e＝＝
两个焦点分别是F1(－3,0),F2(3,0)，
四个顶点分别是A1(－5,0) A1(5,0) A1(0,－4) F1(0,4).
例2 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上，由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，．建立适当的坐标系，求截口所在椭圆的方程．
解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为，算出的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．
引申：如图所示， “神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面，远地点距地面，已知地球的半径．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．
例3如图，设与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，求点的轨迹方程．
分析：若设点，则，到直线：的距离，则容易得点的轨迹方程．
引申：若点与定点的距离和它到定直线：的距离比是常数，则点的轨迹方程是椭圆．其中定点是焦点，定直线：相应于的准线；由椭圆的对称性，另一焦点，相应于的准线：．
（四）课堂练习：
1、椭圆 eq \f( x2 ,25)+\f( y2 ,9)=1与 eq \f( x2 ,25-k)+\f( y2 ,9-k)=1 (k<9)，有相同的（ ）
（A）长轴 （B）离心率 （C）焦点 （D）准线
3、如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）
（A）（0，+∞） （B）（0，2）
（C）（1，+∞） （D）（0，1）
2、已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e= eq \f(2,3) ,长轴的长为6，那么椭圆的方程（ ）
（A） eq \f(x2,36)+\f(y2,20) =1 （B） eq \f(x2,9)+\f(y2,5) =1
（C） eq \f(x2,9)+\f(y2,5) =1 或 eq \f(x2,5)+\f(y2,9) =1 （D） eq \f(x2,20)+\f(y2,36) =1 或 eq \f(x2,36)+\f(y2,20) =1
4、已知椭圆 eq \f( x2 ,9)+\f( y2 ,4)＝1与圆(x-a)2+y2=9有公共点，则实数a的取
值范围是（ ）
(A) -6学生回顾
探究
思考
学生按小组合作探究
学生观察，自己探索，发现椭圆的性质
学生思考解决问题
温故知新使学生加强对椭圆定义及其图象的理解，以便进一步研究椭圆的性质
使学生直观的感性认识椭圆的范围所在区域.
复习点（x,y）关于坐标轴、原点对称的点坐标
使下一步研究椭圆上的点关于坐标轴、原点对称的点坐标，从而使学生更深入的认识椭圆的对称性。
使学生经历椭圆有关概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风
让学生掌握根据椭圆方程求长轴、短轴、离心率、焦点、顶点坐标的方法
体会数学中的化归思想，化未知为已知
巩固椭圆定义、性质
学会用待定系数法求椭圆标准方程，提醒学生在解题时先要根据焦点位置判断使用哪种形式的椭圆标准方程
课堂小结
1．一个知识点：椭圆的定义及其标准方程；
2..二类方程（用坐标化的方法求动点轨迹方程：焦点分别在x轴、y轴的标准方程）；
3．三种数学思想：数形结合思想、化归思想、不怕困难的思想
作业布置
课堂作业：1.课本36页练习1—4; 2. 课本41页练习1—5.
课外作业：课本42页习题A组1、2 、4、5、6、8、9
课后反思
1、本节课教学活动设计围绕让学生通过观察实物、猜想、动手实践，自己总结和完善椭圆定义的过程，符合从感性上升为理性的认识规律。
2、在整个教学过程中，采用启发式引导、探索讨论法等教学方法，关注学生的思维产生和发展，动手能力的培养，并注重数形结合等数学思想的渗透，培养学生勇于探索、勇于创新的精神。但有一小部分学生动手能力较差，依赖于老师。