初中数学湘教版九年级上册第2章 一元二次方程综合与测试练习题

这是一份初中数学湘教版九年级上册第2章 一元二次方程综合与测试练习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1.【2021·南宁期末改编】若关于x的一元二次方程(a－1)x2－4x＋a2－1＝0的一个根是0，则a的值为( )
A．1 B．－1 C．1或－1 D．0
2.小明在解方程x2－4x－7＝0时，他是这样求解的：移项，得x2－4x＝7，两边同时加4，得x2－4x＋4＝11，∴(x－2)2＝11，∴x－2＝±eq \r(11)，∴x1＝2＋eq \r(11)，x2＝2－eq \r(11)，这种解方程的方法称为( )
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
3.解下列方程较为合理的方法是( )
(1)(1＋x)2＝25；(2)x2＋3x－1＝0；(3)x2＋2x－3＝0；(4)x2＋2x＝99.
A．公式法；配方法；因式分解法；公式法
B．公式法；配方法；因式分解法；配方法
C．直接开平方法；公式法；因式分解法；配方法
D．直接开平方法；配方法；公式法；公式法
4.【2020·怀化】已知一元二次方程x2－kx＋4＝0有两个相等的实数根，则k的值为( )
A．k＝4 B．k＝－4 C．k＝±4 D．k＝±2
5.【中考·潍坊】关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为( )
A．m＝－2 B．m＝3 C．m＝3或m＝－2 D．m＝－3或m＝2
6.【2020·铜陵】已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋2＝0的两个根，则k的值等于( )
A．7 B．7或6 C．6或－7 D．6
7.【2019·烟台】当b＋c＝5时，关于x的一元二次方程3x2＋bx－c＝0的根的情况为( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
8.【2019·自贡】关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0无实数根，则实数m的取值范围是( )
A．m<1 B．m≥1 C．m≤1 D．m>1
9.【2021·怀化】对于一元二次方程2x2－3x+4＝0，则它根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．两根之和是3C．两根之积是－2 D．有两个不相等的实数根
10.【2021·河南】若方程没有实数根，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
11.【2021·泸州】关于x的一元二次方程的两实数根，满足，则的值是（ ）
A 8B. 16C. 32D. 16或40
12.【2021·南充】已知方程x2－2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12－2021x2的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2021D．﹣2021
二、填空题
13.【2021·六安期末】已知关于x的一元二次方程(1－2k)x2－2x－1＝0有实数根，则k的取值范围是______________．
14.【2020·江西】若关于x的一元二次方程x2－kx－2＝0的一个根为1，则这个一元二次方程的另一个根为_____．
15.若关于x的方程(m＋2)x|m|＋2x－1＝0是一元二次方程，则m＝________．
16.【中考·广元】若关于x的一元二次方程ax2－x－eq \f(1,4)＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则点P(a＋1，－a－3)在第____________象限．
17.中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2019年人均年收入为20000元，预计到2021年人均年收入将达到39200元，则该地区居民人均年收入平均增长率为__________．(用百分数表示)
18.【2021·达州渠县期末】设a，b是一个直角三角形的两条直角边的长，且(a2＋b2)(a2＋b2＋1)＝12，则这个直角三角形的斜边长为________．
三、解答题
19.解下列一元二次方程．
(1)4(x－1)2－36＝0(直接开平方法)；
(2)x2＋2x－3＝0(配方法)；
(3)x(x－4)＝8－2x(因式分解法)；
(4)(x＋1)(x－2)＝4(公式法)．
20.【中考·黄冈】已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，当k＝1时，求x12+x22的值．
21.若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，且a＝eq \r(4－c)＋eq \r(c－4)－2，求eq \f(（a＋b）2 022,2 021c)的值．
22.在等腰三角形ABC中，三边长分别为a，b，c.其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋(6－b)＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
23.【2020·成都改编】某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给贫困山区．已知该商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y(单位：件)与线下售价x(单位：元/件，12≤x<24)满足一次函数的关系，其部分数据如下表：
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件，则当线下售价为多少时，线上和线下的月利润总和为7200元？
24.【2020·宜昌】资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积．材料：某地有A，B两家商贸公司(以下简称A，B公司)．去年下半年A，B公司营销区域面积分别为m平方千米，n平方千米，其中m＝3n，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为eq \f(2,9)；今年上半年，受政策鼓励，
各公司决策调整，A公司营销区域面积比去年下半年增长了x%，B公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是A公司的4倍，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为eq \f(3,7)，同时公共营销区域面积与A，B两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x个百分点．
问题：
(1)根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题(如求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比)，并解答；
(2)若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A公司每半年每平方千米产生的经济收益均为B公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．
x(元/件)
12
13
14
15
16
y(件)
1 200
1 100
1 000
900
800
参考答案
一、选择题
1.【2021·南宁期末改编】若关于x的一元二次方程(a－1)x2－4x＋a2－1＝0的一个根是0，则a的值为( B )
A．1 B．－1 C．1或－1 D．0
2.小明在解方程x2－4x－7＝0时，他是这样求解的：移项，得x2－4x＝7，两边同时加4，得x2－4x＋4＝11，∴(x－2)2＝11，∴x－2＝±eq \r(11)，∴x1＝2＋eq \r(11)，x2＝2－eq \r(11)，这种解方程的方法称为( B )
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
3.解下列方程较为合理的方法是( C )
(1)(1＋x)2＝25；(2)x2＋3x－1＝0；(3)x2＋2x－3＝0；(4)x2＋2x＝99.
A．公式法；配方法；因式分解法；公式法
B．公式法；配方法；因式分解法；配方法
C．直接开平方法；公式法；因式分解法；配方法
D．直接开平方法；配方法；公式法；公式法
4.【2020·怀化】已知一元二次方程x2－kx＋4＝0有两个相等的实数根，则k的值为( C )
A．k＝4 B．k＝－4 C．k＝±4 D．k＝±2
5.【中考·潍坊】关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为( A )
A．m＝－2 B．m＝3 C．m＝3或m＝－2 D．m＝－3或m＝2
【点拨】设x1，x2是x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根，∴Δ＝－4m≥0，∴m≤0.∵x1＋x2＝－2m，x1·x2＝m2＋m，∴x12+x22＝(x1＋x2)2－2 x1·x2＝4m2－2m2－2m＝2m2－2m＝12，
∴m＝3或m＝－2. ∵m≤0，∴m＝－2.
6.【2020·铜陵】已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋2＝0的两个根，则k的值等于( B )
A．7 B．7或6 C．6或－7 D．6
7.【2019·烟台】当b＋c＝5时，关于x的一元二次方程3x2＋bx－c＝0的根的情况为( A )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
8.【2019·自贡】关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0无实数根，则实数m的取值范围是( D )
A．m<1 B．m≥1 C．m≤1 D．m>1
9.【2021·怀化】对于一元二次方程2x2－3x+4＝0，则它根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．两根之和是3C．两根之积是－2 D．有两个不相等的实数根
【解答】解：∵a＝2，b＝－3，c＝4，
∴△＝b2－4ac＝（－3）2－4×2×4＝－23＜0，
∴一元二次方程2x2－3x+4＝0没有实数根．
10.【2021·河南】若方程没有实数根，则的值可以是（ D ）
A．B．C．D．
11.【2021·泸州】关于x的一元二次方程的两实数根，满足，则的值是（ ）
A 8B. 16C. 32D. 16或40
【答案】C
【解析】
解：一元二次方程
或
当时，
原一元二次方程为
，
，
当时，原一元二次方程为
原方程无解，不符合题意，舍去，
12.【2021·南充】已知方程x2－2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12－2021x2的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2021D．﹣2021
【解答】解:∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝2021,x12﹣2021x1+1＝0，x22﹣2021x2+1＝0，
∵x2≠0,
∴x2－2021+1x2＝0,
∴－1x2＝x2﹣2021,
∴－2021x2=2021x2－20212
∴x12﹣2021x2＝2021x1﹣1+2021x2﹣20212
＝2021(x1+x2)﹣1+20212
＝20212－1－20212
＝－1．
二、填空题
13.【2021·六安期末】已知关于x的一元二次方程(1－2k)x2－2x－1＝0有实数根，则k的取值范围是______________．
【答案】k≤1且k≠eq \f(1,2)
14.【2020·江西】若关于x的一元二次方程x2－kx－2＝0的一个根为1，则这个一元二次方程的另一个根为_____．
【答案】－2
15.若关于x的方程(m＋2)x|m|＋2x－1＝0是一元二次方程，则m＝________．
【答案】2
16.【中考·广元】若关于x的一元二次方程ax2－x－eq \f(1,4)＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则点P(a＋1，－a－3)在第____________象限．
【答案】四
17.中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2019年人均年收入为20000元，预计到2021年人均年收入将达到39200元，则该地区居民人均年收入平均增长率为__________．(用百分数表示)
【点拨】设该地区居民人均年收入平均增长率为x，∴20 000(1＋x) 2＝39 200，解得x1＝0.4＝40%，x2＝－2.4(舍去)，∴该地区居民人均年收入平均增长率为40%.
【答案】40%
18.【2021·达州渠县期末】设a，b是一个直角三角形的两条直角边的长，且(a2＋b2)(a2＋b2＋1)＝12，则这个直角三角形的斜边长为________．
【答案】eq \r(3)
三、解答题
19.解下列一元二次方程．
(1)4(x－1)2－36＝0(直接开平方法)；
解：方程整理得(x－1)2＝9，
开方得x－1＝3或x－1＝－3，
解得x1＝4，x2＝－2.
(2)x2＋2x－3＝0(配方法)；
解：方程整理得x2＋2x＝3，
配方得x2＋2x＋1＝3＋1，即(x＋1)2＝4，
开方得x＋1＝2或x＋1＝－2，
解得x1＝1，x2＝－3.
(3)x(x－4)＝8－2x(因式分解法)；
解：方程整理得x(x－4)＋2(x－4)＝0，
分解因式得(x－4)(x＋2)＝0，
解得x1＝4，x2＝－2.
(4)(x＋1)(x－2)＝4(公式法)．
解：方程整理得x2－x－6＝0，
∴Δ＝(－1)2－4×1×(－6)＝1＋24＝25＞0，
∴x＝eq \f(1±\r(25),2)，
解得x1＝3，x2＝－2.
20.【中考·黄冈】已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(2k＋1)2－4k2＝4k＋1＞0，解得k＞－eq \f(1,4).
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，当k＝1时，求x12+x22的值．
解：当k＝1时，方程为x2＋3x＋1＝0，
∴x1＋x2＝－3，x1 x2＝1，
∴x12+x22＝(x1＋x2)2－2 x1 x2＝9－2＝7.
21.若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，且a＝eq \r(4－c)＋eq \r(c－4)－2，求eq \f(（a＋b）2 022,2 021c)的值．
解：由题意得c－4≥0且4－c≥0.
∴c＝4.∴a＝－2.
∵－1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，
∴a－b＋c＝0，∴b＝a＋c＝－2＋4＝2.
∴原式＝eq \f(（－2＋2）2 022,2 021×4)＝0.
22.在等腰三角形ABC中，三边长分别为a，b，c.其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋(6－b)＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
解：∵关于x的方程x2＋(b＋2)x＋(6－b)＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝(b＋2)2－4(6－b)＝0，
∴b1＝2，b2＝－10(舍去)．
当a为腰长时，△ABC的周长为5＋5＋2＝12.
当b为腰长时，2＋2＜5，不能构成三角形．
∴△ABC的周长为12.
23.【2020·成都改编】某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给贫困山区．已知该商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y(单位：件)与线下售价x(单位：元/件，12≤x<24)满足一次函数的关系，其部分数据如下表：
(1)求y与x的函数关系式；
解：因为y与x满足一次函数的关系，所以设y＝kx＋b.
将(12，1 200)，(13，1 100)代入y＝kx＋b，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(12k＋b＝1 200，,13k＋b＝1 100，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－100，,b＝2 400，))
∴y与x的函数关系式为y＝－100x＋2 400.
(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件，则当线下售价为多少时，线上和线下的月利润总和为7 200元？
解：由题意得400(x－2－10)＋(－100x＋2 400)(x－10)＝7 200，即x2－38x＋360＝0，解得x＝18或x＝20.
∴当线下售价为18元/件或20元/件时，线上和线下的月利润总和为7200元．
24.【2020·宜昌】资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积．材料：某地有A，B两家商贸公司(以下简称A，B公司)．去年下半年A，B公司营销区域面积分别为m平方千米，n平方千米，其中m＝3n，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为eq \f(2,9)；今年上半年，受政策鼓励，
各公司决策调整，A公司营销区域面积比去年下半年增长了x%，B公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是A公司的4倍，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为eq \f(3,7)，同时公共营销区域面积与A，B两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x个百分点．
问题：
(1)根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题(如求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比)，并解答；
解：问题：求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比．
3n×eq \f(2,9)＝eq \f(2,3)n，
eq \f(2,3)n：n＝eq \f(2,3).
答：去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比是eq \f(2,3).(所提问题不唯一)
(2)若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A公司每半年每平方千米产生的经济收益均为B公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．
解：依题意有eq \f(3,7)×3n(1＋x%)＝[3n(1＋x%)＋n(1＋4x%)－eq \f(3,7)×3n(1＋x%)][3n×eq \f(2,9)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3n＋n－\f(2,3)n))＋x%]，
100(x%)2＋45x%－13＝0，
解得x%＝20%或x%＝－65%(舍去)．
设B公司每半年每平方千米产生的经济收益为a，则A公司每半年每平方千米产生的经济收益为1.5a，
今年上半年两公司总经济收益为1.5a×3n×(1＋20%)＋an×(1＋4×20%)＝7.2na，
去年下半年两公司总经济收益为1.5a×3n＋an＝5.5na，
故去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为(5.5na)：(7.2na)＝55：72.
x(元/件)
12
13
14
15
16
y(件)
1 200
1 100
1 000
900
800