人教版新课标A必修22.3 直线、平面垂直的判定及其性质达标测试

3．2.2　直线的两点式和斜截式方程

一、选择题

1．直线－＝1在x轴、y轴上的截距分别为(　B　)

A．2，5　　　　　　　　 B．2，－5

C．－2，－5  D．－2，5

[解析]　将－＝1化成直线截距式的标准形式为＋＝1，故直线－＝1在x轴、y轴上的截距分别为2，－5．

2．已知点M(1，－2)，N(m，2)，若线段MN的垂直平分线的方程是＋y＝1，则实数m的值是(　C　)

A．－2  B．－7

C．3  D．1

[解析]　由中点坐标公式，得线段MN的中点是(，0)．又点(，0)在线段MN的垂直平分线上，所以＋0＝1，所以m＝3，选C．

3．如右图所示，直线l的截距式方程是＋＝1，则有(　B　)

A．a>0，b>0 B．a>0，b<0

C．a<0，b>0 D．a<0，b<0

[解析]　很明显M(a，0)，N(0，b)，由图知M在x轴正半轴上，N在y轴负半轴上，则a>0，b<0．

4．已知△ABC三顶点A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为(　A　)

A．2x＋y－8＝0  B．2x－y＋8＝0

C．2x＋y－12＝0  D．2x－y－12＝0

[解析]　点M的坐标为(2，4)，点N的坐标为(3，2)，由两点式方程得＝，即2x＋y－8＝0．

5．如果直线l过(－1，－1)，(2，5)两点，点(1 008，b)在直线l上，那么b的值为(　D　)

A．2 014  B．2 015

C．2 016  D．2 017

[解析]　根据三点共线，得＝，得b＝2 017．

6．两直线－＝1与－＝1的图象可能是图中的哪一个(　B　)

[解析]　直线－＝1化为y＝x－n，

直线－＝1化为y＝x－m，故两直线的斜率同号，故选B．

7．直线l与直线y＝1和x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率是(　B　)

A．  B．－

C．  D．－

[解析]　因为直线l与直线y＝1和x－y－7＝0分别交于P，Q两点，所以可设P(a，1)，Q(b，b－7)，∵线段PQ的中点坐标为(1，－1)，∴1＝，－1＝，解得a＝－2，b＝4，∴P(－2，1)，Q(4，－3)，直线l的斜率为＝－，故选B．

8．过P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有(　B　)

A．1条  B．2条

C．3条  D．4条

[解析]　解法一：设直线方程为y＋3＝k(x－4)(k≠0)．

令y＝0得x＝，令x＝0得y＝－4k－3．

由题意，＝－4k－3，解得k＝－或k＝－1．

因而所求直线有两条，∴应选B．

解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为(a，0)，(0，a)，a≠0，则直线方程为＋＝1，把点P(4，－3)的坐标代入方程得a＝1．

∴所求直线有两条，∴应选B．

二、填空题

9．已知点P(－1，2m－1)在经过M(2，－1)，N(－3，4)两点的直线上，则m＝____.

[解析]　解法一：MN的直线方程为：＝，即x＋y－1＝0，

代入P(－1，2m－1)得m＝．

解法二：M，N，P三点共线，

∴＝，解得m＝．

10．已知直线l的斜率为6，且在两坐标轴上的截距之和为10，则此直线l的方程为__6x－y＋12＝0__.

[解析]　解法1：设l：y＝6x＋b，令y＝0得x＝－．

由条件知b＋＝10，∴b＝12．

∴直线l方程为y＝6x＋12．

解法2：设直线l：＋＝1，变形为y＝－x＋b．

由条件知解得．

∴直线l方程为＋＝1.即6x－y＋12＝0．

三、解答题

11．求分别满足下列条件的直线l的方程：

(1)斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；

(2)经过两点A(1，0)，B(m，1)；

(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．

[解析](1)设直线l的方程为y＝x＋b．

令y＝0，得x＝－b，

∴|b·(－b)|＝6，b＝±3．

∴直线l的方程为y＝x±3．

(2)当m≠1时，直线l的方程是

＝，即y＝(x－1)，

当m＝1时，直线l的方程是x＝1．

(3)设l在x轴、y轴上的截距分别为a，b．

当a≠0，b≠0时，l的方程为＋＝1；

∵直线过P(4，－3)，∴－＝1．

又∵|a|＝|b|，

∴，解得，或．

当a＝b＝0时，直线过原点且过(4，－3)，

∴l的方程为y＝－x．

综上所述，直线l的方程为x＋y＝1或＋＝1或y＝－x．

12．△ABC的三个顶点分别为A(0，4)，B(－2，6)，C(－8，0).

(1)分别求边AC和AB所在直线的方程；

(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；

(3)求AC边的中垂线所在直线的方程；

(4)求AC边上的高所在直线的方程；

(5)求经过两边AB和AC的中点的直线方程．

[解析]　(1)由A(0，4)，C(－8，0)可得直线AC的截距式方程为＋＝1，即x－2y＋8＝0．

由A(0，4)，B(－2，6)可得直线AB的两点式方程为＝，即x＋y－4＝0．

(2)设AC边的中点为D(x，y)，由中点坐标公式可得x＝－4，y＝2，所以直线BD的两点式方程为＝，即2x－y＋10＝0．

(3)由直线AC的斜率为k AC＝＝，故AC边的中垂线的斜率为k＝－2.又AC的中点D(－4，2)，

所以AC边的中垂线方程为y－2＝－2(x＋4)，

即2x＋y＋6＝0．

(4)AC边上的高线的斜率为－2，且过点B(－2，6)，所以其点斜式方程为y－6＝－2(x＋2)，即2x＋y－2＝0．

(5)AB的中点M(－1，5)，AC的中点D(－4，2)，

∴直线DM方程为＝，

即x－y＋6＝0．

13．已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点，点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标.

[解析]　容易求得抛物线与x轴的交点分别为(－3，0)，(1，0)不妨设A(－3，0)，B(1，0)，由已知，设M(a，b)，N(0，n)

根据平行四边形两条对角线互相平分的性质，可得两条对角线的中点重合．

按A，B，M，N两两连接的线段分别作为平行四边形的对角线进行分类，有以下三种情况：

①若以AB为对角线，可得a＋0＝－3＋1，解得a＝－2；

②若以AN为对角线，可得a＋1＝－3＋0，解得a＝－4；

③若以BN为对角线，可得a＋(－3)＝1＋0，解得a＝4．

因为点M在抛物线上，将其横坐标的值分别代入抛物线的解析式，可得M(－2，3)或M(－4，－5)或M(4，－21)．