数学选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.2 直线的方程达标测试

第二章　2.2.2　直线的两点式方程

A级  必备知识基础练

1.[探究点一][2023江苏扬州期中]经过两点A(-3,2),B(0,-3)的直线的方程为(　　)

A.y=x-3 B.y=-x-3

C.y=x-3 D.y=-x-3

2.[探究点二]直线3x+2y+1=0在x轴上的截距为(　　)

A. B. 

C.- D.-

3.[探究点一][2023福建福州检测]过两点(-2,4)和(4,-1)的直线在y轴上的截距为(　　)

A. B.- 

C. D.-

4.[探究点一、二](多选题)[2023海南琼海月考]下列四个结论,其中正确的有(　　)

A.方程k=与方程y-2=k(x-1)可表示同一条直线

B.直线l:x+y+3=0在x轴上的截距为-3

C.直线l过点P(1,2),斜率为0,则其方程为y=2

D.过点P(1,2),且与两坐标轴截距相等的直线l方程仅有x+y-3=0

5.[探究点二][2023江苏南京联考]若直线l过点A(1,2),且在两坐标轴上截距互为相反数,则直线l的方程为　　　　　　　　　. 

6.[探究点一、二][2023江西宜春期末]已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求:

(1)AC边所在直线的方程;

(2)BC边上中线所在直线的方程.

B级  关键能力提升练

7.若直线=1过第一、三、四象限,则(　　)

A.a>0,b>0 B.a>0,b<0

C.a<0,b>0 D.a<0,b<0

8.已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则xy(　　)

A.无最小值,且无最大值 B.无最小值,但有最大值

C.有最小值,但无最大值 D.有最小值,且有最大值

9.(多选题)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为(　　)

A.x+y-5=0  B.x-y-5=0

C.x-4y=0  D.x+4y=0

10.已知直线l过点P(2,1),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则三角形OAB面积的最小值为　　　　　. 

11.过点P(4,1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A,B两点,O为坐标原点.当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为　　　　　　　　　. 

C级  学科素养创新练

12.直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件:

(1)△AOB的周长为12;

(2)△AOB的面积为6?

若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.

答案：

1.D　经过点A(-3,2),B(0,-3)的直线的方程为,整理得y=-x-3.故选D.

2.D　直线3x+2y+1=0,令y=0,解得x=-.故选D.

3.C　过两点(-2,4)和(4,-1)的直线的方程为,即y=-x+,

∴直线在y轴上的截距为.故选C.

4.BC　对于A,因为方程k=中,x≠1,而方程y-2=k(x-1)中x∈R,

故两个方程不可以表示同一条直线,故A错误;

对于B,令y=0,则x=-3,所以直线l:x+y+3=0在x轴上的截距为-3,故B正确;

对于C,直线l过点P(1,2),斜率为0,则其方程为y=2,故C正确;

对于D,当直线在坐标轴上的截距都为0时,直线方程为y=2x,当直线在坐标轴上的截距都不为0时,可设其方程为=0,则=0,解得a=3,所以直线方程为x+y-3=0.

综上,过点P(1,2),且与两坐标轴截距相等的直线l方程为y=2x或x+y-3=0,故D错误.故选BC.

5.y=2x或x-y+1=0　直线l在两坐标轴上截距为0时,直线l过点A(1,2),则直线l的方程为y=2x;直线l在两坐标轴上截距不为0时,可设直线l的方程为x-y=a,直线l过点A(1,2),则1-2=a,解得a=-1,直线方程为x-y+1=0.

综上所述,直线l的方程为y=2x或x-y+1=0.

6.解(1)∵A(-5,0),C(0,2),∴直线AC的截距式方程为=1,化简得2x-5y+10=0,即AC边所在直线的方程为2x-5y+10=0.

(2)∵B(3,-3),C(0,2),设BC中点坐标为D,

∴BC中点为D,

直线AD的斜率为k==-,

因此,直线AD的方程为y=-(x+5),化简得x+13y+5=0,

即为BC边上中线所在直线的方程.

7.B　因为直线过第一、三、四象限,所以它在x轴上的截距为正,在y轴上的截距为负,所以a>0,b<0.

8.D　线段AB的方程为=1(0≤x≤3),于是y=4(0≤x≤3),

从而xy=4x=-2+3,显然当x=∈[0,3]时,xy取最大值为3;

当x=0或3时,xy取最小值0.

9.AC　当直线过点(0,0)时,直线方程为y=x,即x-4y=0;

当直线不过点(0,0)时,可设直线方程为=1,

把(4,1)代入,解得a=5,所以直线方程为x+y-5=0.

综上可知,直线方程为x+y-5=0或x-4y=0.

10.4　设直线l的截距式方程为=1,依题意,a>0,b>0,

又因为点P(2,1)在直线l上,所以=1,即2b+a=ab.

又因为△OAB面积S=|OA|·|OB|=ab,

所以S=ab=(2b+a)≥,

当且仅当2b=a时,等号成立,所以ab≥,解这个不等式,得ab≥8.

从而S=ab≥4,当且仅当2b=a时,等号成立,此时S取最小值4.

11.x+2y-6=0　设直线l的方程为=1(a>0,b>0).由点P在直线l上,得=1,

∴|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=5+≥5+2=9,

当且仅当,即a=6,b=3时,等号成立.

∴直线l的方程为=1,即x+2y-6=0.

12.解存在.设直线方程为=1(a>0,b>0),

若满足条件(1),则a+b+=12.①

又直线过点P,2,∴=1.②

由①②可得5a2-32a+48=0,解得

∴所求直线的方程为=1或=1,

即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0.

若满足条件(2),则ab=12,③

由题意得=1,④

由③④整理得a2-6a+8=0,解得

∴所求直线的方程为=1或=1,

即3x+4y-12=0或3x+y-6=0.

综上所述,存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程,为3x+4y-12=0.