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    人教A版高中数学必修2-1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征教案
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    高中数学人教版新课标A必修2第一章 空间几何体1.2 空间几何体的三视图和直观图教案设计

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    这是一份高中数学人教版新课标A必修2第一章 空间几何体1.2 空间几何体的三视图和直观图教案设计,共9页。

    1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征

    Q

    观察下列实物图,你能说明由该实物图抽象出的几何体与多面体有何不同吗?

    X

    1圆柱的结构特征

    定义

    __矩形__的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱

    有关

    概念

    旋转轴叫做圆柱的____;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的__底面__;平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的__侧面__;无论旋转到什么位置,__不垂直__于轴的边都叫做圆柱侧面的母线

    图形

    表示法

    用表示它的轴的字母,即表示两底面__圆心__的字母表示,上图中的圆柱可记作圆柱__OO__

    规定

    __圆柱____棱柱__统称为柱体

     

    [归纳总结] 圆柱的简单性质:

    (1)圆柱有无数条母线,它们平行且相等.

    (2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆,如图所示.

    (3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形,如图所示.

    (4)过任意两条母线的截面是矩形,如图所示.

    2圆锥的结构特征

    定义

    __直角__三角形的一条__直角边__所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥

    图形

    有关

    概念

    如上图所示,轴为__SO__,底面为__O__SA为母线.另外,S叫做圆锥的__顶点__OA(OB)叫做底面O__半径__

    表示法

    圆锥用表示它的____的字母表示,上图中的圆锥可记作圆锥__SO__

    规定

    __棱锥____圆锥__统称为锥体

     

    [归纳总结] 圆锥的简单性质:

    (1)圆锥有无数条母线,它们有公共点即圆锥的顶点,且长度相等.

    (2)平行于底面的截面都是圆,如图所示.

    (3)过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形,如图所示.

    (4)过任意两条母线的截面是等腰三角形,如图所示.

    3圆台的结构特征

    定义

    用平行于__圆锥__底面的平面去截圆锥,__底面____截面__之间的部分叫做圆台

    图形

    有关

    概念

    原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的____底面和____底面.与圆柱和圆锥一样,圆台也有轴、__侧面__、母线,如上图所示,轴为__OO__AA为母线

    表示法

    用表示轴的__字母__表示,上图中的圆台可记作圆台__OO__

    规定

    __圆台____棱台__统称为台体

     

    [归纳总结] 圆台的简单性质:

    (1)圆台有无数条母线,且它们相等,延长后相交于一点.

    (2)平行于底面的截面是圆,如图所示.

    (3)过轴的截面是全等的等腰梯形,如图所示.

    (4)过任意两条母线的截面是等腰梯形,如图所示.

    4

    定义

    以半圆的__直径__所在直线为旋转轴,半圆面旋转__一周__形成的旋转体叫做球体,简称球

    有关

    概念

    半圆的__圆心__叫做球的球心;半圆的__半径__叫做球的半径;半圆的__直径__叫做球的直径

    图形

    表示法

    球常用表示__球心__的字母表示,如上图中的球记作球__O__

     

    Y

    1.下列几何体中是旋转体的是 ( D )

    圆柱;六棱锥;正方体;球体;四面体.

    A B  

    C D

    [解析] ①④是旋转体,②③⑤是多面体,故选D

    2球的任意两条直径不一定具有的性质是 ( C )

    A.相交  B.平分

    C.垂直  D.都经过球心

    [解析] 球的任意两条直径不一定垂直.

    3如图所示的组合体,其结构特征是 ( D )

    A.两个圆锥 B.两个圆柱

    C.一个棱锥和一个棱柱 D.一个圆锥和一个圆柱

    [解析] 如图所示的几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成的组合体.

    4关于圆台,下列说法正确的是__②③④__.

    两个底面平行且全等;

    圆台的母线有无数条;

    圆台的母线长大于高;

    两底面圆心的连线是高.

    [解析] 圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆,则不正确,②③④正确.

    H

    命题方向1 旋转体的结构特征  

    典例1 下列命题正确的是__④⑥⑧__.

    以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;

    以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;

    圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;

    以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥;

    球面上四个不同的点一定不在同一平面内;

    球的半径是球面上任意一点和球心的连线段;

    球面上任意三点可能在一条直线上;

    用一个平面去截球,得到的截面是一个圆面.

    [思路分析] 准确理解旋转体的定义,在此基础上掌握各旋转体的性质,才能更好地把握它们的结构特征,以作出准确的判断.

    [解析] 以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周才可以得到圆锥;以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转一周可得到圆台;它们的底面为圆面;正确;作球的一个截面,在截面的圆周上任意取四点,则这四点就在球面上,故错误;根据球的半径定义可知正确;球面上任意三点一定不共线,故错误;用一个平面去截球,一定截得一个圆面,故正确.  

    『规律方法』 圆柱、圆锥、圆台、球都是常见的旋转体,熟练掌握它们结构特征,弄清旋转体的性质是准确作图解题的前提.

    〔跟踪练习1 

    下列命题:任意平面截圆柱,截面都是圆面;圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线;在圆台上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线,其中正确的是( D )

    A①②   B②③  

    C①③   D

    [解析] 过两母线的截面为矩形,有时斜的截面为椭圆,故错;根据母线的定义和特点,错误,原因是圆柱的母线都是平行的.圆台的母线不是上底面和下底面上任意两点的连线,正确,故选D

    命题方向2 简单组合体的结构特征

    典例2 如图,绕虚线旋转一周后形成的旋转体是由哪些简单几何体组成的?

    [解析] 如图所示,由一个圆锥O4O5,一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O1O2组成的.

     

    『规律方法』 平面图形绕某条直线旋转时,要过有关顶点向轴作垂线,然后分析旋转体的结构和组成.

    〔跟踪练习2 

    已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的一腰,如右图.分别以ABBCCDDA为轴旋转,试说明所得几何体的结构特征.

    [解析] (1)AB为轴旋转所得旋转体是圆台.如下图所示.

    (2)BC边为轴旋转所得的旋转体是一组合体:下部为圆柱,上部为圆锥.如下图所示.

    (3)CD边为轴旋转所得的旋转体为一组合体:上部为圆锥,下部为圆台,再挖去一个小圆锥.如下图所示.

    (4)AD边为轴旋转所得的组合体:一个圆柱上部挖去一个圆锥.如下图所示.

    命题方向3 旋转体中的计算问题

    典例3 如图所示,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为116,截去的圆锥的母线长是3 cm,求圆台OO的母线长.

    [思路分析] 旋转体的轴截面中有母线、底面半径、高等主要元素,因而,在涉及这些元素的计算时,通常利用轴截面求解.在圆台的轴截面中,将等腰梯形的两腰延长,在三角形中可借助相似求解.这种立体问题平面化是解答旋转体中计算问题最常用的方法.

    [解析] 设圆台的母线长为l cm,由截得圆台上、下底面面积之比为116,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r4r.过轴SO作截面,如图所示.

    SOA∽△SOASA3 cm

    .

    解得l9(cm)

    即圆台的母线长为9 cm

     

    『规律方法』 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质,利用相似三角形的性质,构设相关几何变量的方程组而得解.

    〔跟踪练习3 

    一个圆台的母线长为12 cm,两底面面积分别为4π cm225π cm2.求:

    (1)圆台的高;

    (2)截得此圆台的圆锥的母线长.

    [解析] 如图,将圆台恢复成圆锥后作其轴截面,设圆台的高为h cm,截得该圆台的圆锥的母线为x cm,由条件可得圆台上底半径r2 cm,下底半径r5 cm

    (1)由勾股定理得

    h3(cm)

    (2)设圆锥的母线长为x,由三角形相似得:,解得x20(cm)

    Y  旋转体的概念不清致误

    典例4 如图所示,它们是不是棱锥、棱台、圆柱、圆锥等几何体?

    [错解] 是圆柱;图是圆锥.

    [错因分析] 不能只依据概念的某一结论去判断.

    [思路分析] 判断几何体的形状时,要考虑周全,要满足几何体的所有特征.

    [正解] 不是圆柱,因为上下两面不平行(或不是由一个矩形旋转而成);图不是由一个直角三角形旋转而成,故不是圆锥.

    X  空间想象能力培养卷与展

    典例5 一圆柱的底半径为,母线长为4,轴截面为ABCD,从点A拉一绳子沿圆柱侧面到相对顶点C,求最短绳长.

    [分析] 绳子沿圆柱侧面由AC且最短,故侧面展开后为AC两点间的线段长.

    [解析] 沿BC剪开,将圆柱体的侧面的一半展开得到矩形BADCAD4AB·π3

    AC5,即最短绳长为5

     

    『规律方法』 1.一般地,沿多面体或旋转体的表面最短距离(路程)问题,用侧面展开解决.

    2.注意多面体、旋转体侧面(表面)的不同展开方法.

    K

    1.圆锥的母线有 ( D )

    A2条   B3条  

    C4条   D.无数条

    [解析] 圆锥的顶点与其底面圆上任意一点的连线都是圆锥的母线.

    2圆柱的母线长为10,则其高等于 ( B )

    A5  B10

    C20  D.不确定

    [解析] 圆柱的母线长与高相等,则其高等于10

    3圆台的母线 ( B )

    A.平行  B.相等

    C.与高相等  D.与底面平行

    [解析] 圆台的母线延长线交于一点,则A项不正确;圆台的母线大于高,则C项不正确;圆台的母线与底面相交,则D项不正确;很明显B项正确.

    4已知圆锥SO的母线长为5,底面直径为8,则圆锥SO的高h__3__.

    [解析] 如图

    圆锥的底面直径AB8

    圆锥的底面半径ROA4

    SA5

    圆锥的高hSO3

     

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