数学九年级上册25.7 相似多边形和图形的位似课时作业

25.7相似多边形和图形的位似同步练习冀教版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是

A. 四边形NPMQ B. 四边形NPMR C. 四边形NHMQ D. 四边形NHMR

2. 四边形ABCD与四边形相似，相似比为2：3，四边形与四边形相似，相似比为5：4，则四边形ABCD与四边形相似且相似比为

A. 5：6 B. 6：5 C. 5：6或6：5 D. 8：15

3. 一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则这个多边形的最短边长为   

A. 6 B. 8 C. 12 D. 10

4. 如图，在直角坐标系中，的顶点为，，以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点C坐标

A.  B.  C.  D.

5. 如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是

A. ∽
B. 点C、点O、点三点在同一直线上
C. AO：：2
D.
 

6. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为

A.  B. 2 C. 4 D.

7. 如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为，，则位似中心的坐标为

A.
B.
C.
D.

8. 用放大镜观察一个五边形时，不变的量是

A. 各边的长度 B. 各内角的度数 C. 五边形的周长 D. 五边形的面积

9. 如图，四边形ABCD与四边形GBEF是位似图形，则位似中心是

A. 点A
B. 点B
C. 点F
D. 点D

10. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为

A.
B.
C.
D.

11. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，得到，则点A的对应点C的坐标为

A.  B.
C. 或 D. 或

12. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，以坐标原点O为位似中心，将放大，记所得三角形为若点A的对应点的纵坐标为，则的横坐标为

A.  B. 3 C.  D. 6

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 在平面直角坐标系中，将以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到，已知，则点的坐标是______．
     

14. 在平面直角坐标系中，和的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为，则其对应点的坐标是______．
15. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形与矩形OABC关于点O位似，且矩形的面积等于矩形OABC面积的，那么点的坐标是______．
     

16. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，以点O为位似中心，相似比为，将缩小，则点B的对应点的坐标是______．
    
     

17. 如图，线段CD两个端点的坐标分别为、，以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为，则点A的坐标为______．
    
    
     

18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，点M为OB的中点．以点O为位似中心，把缩小为原来的，得到，点为的中点，则的长为________．
     

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 如图，在中，，点P在BC上．
    
    求作：，使点D在AC上，且∽；要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
    在的条件下，若求证：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，四边形ABCD是矩形，点F在对角线AC上运动，，，四边形AEFG和矩形ABCD一直保持相似吗？证明你的结论．
     

21. 图、图均为的正方形网格，点A、B、C在格点小正方形的顶点上．
    在图中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形，并画出其对称轴；
    在图中确定格点F，使与相似相似比不为，并写出与的相似比．

22. 已知和点，如图．
    以点为一个顶点作，使∽，且的面积等于面积的4倍；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
    
    设D、E、F分别是三边AB、BC、AC的中点，、、分别是你所作的三边、、的中点，求证：∽．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如果两个一次函数和满足，，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”如图，已知函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，一次函数与是“平行一次函数”．
    
    若函数的图象过点，求b的值
    若函数的图象与两坐标轴围成的三角形和构成位似图形，且位似中心为原点，相似比为，求函数的表达式．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且．

图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；

若，，求EF的长．






 

25. 已知正三角形ABC的边长为．
     

如图，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形，且使正方形的面积最大不要求写作法

求中作出的正方形的边长

如图，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：以点O为位似中心，
点C对应点M，
设网格中每个小方格的边长为1，
则，，，
，，，
，，，，
，
点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，
以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，
故选：A．
由以点O为位似中心，确定出点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则，，，，，，，，，，由，得点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，即可得出结果．
本题考查了位似变换、勾股定理等知识；熟练掌握位似中心，找出点C对应点M是解题的关键．
 

2.【答案】A
 

【解析】解：四边形ABCD与四边形相似，相似比为2：3，
即：相似比为：10：15；
四边形与四边形相似，相似比为5：4，即：15：12；
四边形ABCD与四边形且相似比为10：12，
也就是5：6．
故选：A．
首先将2：3转化为10：15，将5：4转化为15：12，然后求得四边形ABCD与四边形相似比即可．
本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是将相似比进行转换．
 

3.【答案】B
 

【解析】设这个多边形的最短边长为x，
两个多边形相似，，解得故选B．
 

4.【答案】B
 

【解析】解：以点O为位似中心，位似比为，
而A ，
点的对应点C的坐标为．
故选：B．
根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以即可．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
 

5.【答案】C
 

【解析】解：以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，
∽，点C、点O、点三点在同一直线上，，
AO：：2，故选项C错误，符合题意．
故选：C．
直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．
 

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．
【解答】
解：以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，
而，，
，，
．
故选：D．  

7.【答案】C
 

【解析】解：如图，连接BF交y轴于P，

四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为，，
点C的坐标为，点G的坐标为，
，
，
，
，，
点P的坐标为，
故选：C．
连接BF交y轴于P，根据题意求出CG，根据相似三角形的性质求出GP，求出点P的坐标即可．
本题主要考查位似变换，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：用一个放大镜去观察一个五边形，
放大后的五边形与原五边形相似，
相似五边形的对应边成比例，
各边长都变大，故A选项错误；
相似五边形的对应角相等，
对应角大小不变，故选项B正确；
相似五边形的周长得比等于相似比，
选项错误．
相似五边形的面积比等于相似比的平方，
选项错误；
故选：B．
首先由用一个放大镜去观察一个五边形，可得放大后的五边形与原五边形相似，然后由相似五边形的性质即可求得答案．
此题考查了相似形的性质．注意相似形的对应边成比例，相似形的对应角相等，相似形的面积比等于相似比的平方，相似形的周长得比等于相似比．
 

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】
根据位似中心的概念判断即可．
本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
【解答】
解：四边形ABCD与四边形GBEF是位似图形，
点A与点G是对应点，点C与点E是对应点，
、CE交于点B，
位似中心的点B，
故选：B．  

10.【答案】A
 

【解析】解：正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
，
，
，
，
∽，
，
，
解得：，
，
点坐标为：，
故选：A．
直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出∽，进而得出AO的长，即可得出答案．
此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出AO的长是解题关键．
 

11.【答案】C
 

【解析】解：三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍，得到，
点A的对应点C的坐标为：或．
故选：C．
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或即可求得答案．
此题考查了位似变换与坐标的关系，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
 

12.【答案】D
 

【解析】解：以坐标原点O为位似中心，将放大，记所得三角形为，，点A的对应点的纵坐标为，
与位似比为：3：：2，
，
的横坐标为．
故选：D．
根据位似图形的性质得出结合点A的对应点的纵坐标变化得出位似比，即可得出答案．
本题考查了位似变换的坐标特点：在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
 

13.【答案】
 

【解析】解：将以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到，，
点的坐标是：，
即．
故答案为：．
直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可．
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
 

14.【答案】或
 

【解析】解：和的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，
而点A的坐标为，
点A对应点的坐标为或，
即或．
故答案为或．
利用关于原点对称的点的坐标，把A点横纵坐标分别乘以2或得到其对应点的坐标．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
 

15.【答案】或
 

【解析】解：矩形与矩形OABC关于点O位似，
矩形∽矩形OABC，
矩形的面积等于矩形OABC面积的，
矩形与矩形OABC的相似比为，
点B的坐标为，
点的坐标为或，即或，
故答案为：或．
根据位似图形的概念得到矩形∽矩形OABC，根据相似多边形的性质求出相似比，根据位似图形与坐标的关系计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形是相似图形以及相似多边形的性质是解题的关键．
 

16.【答案】或
 

【解析】解：如图，

∽，相似比为3：2，，
，根据对称性可知，在第三象限时，，
满足条件的点的坐标为或．
故答案为或．
利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，注意一题多解．
 

17.【答案】
 

【解析】解：以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB，
点与D点是对应点，又点D的坐标为，点B的坐标为，
位似比为：5：2，
，
点A的坐标为：．
故答案为：．
根据题意得到B点与D点是对应点，根据B点与D点的坐标求出位似比，根据位似变换的性质计算即可．
本题主要考查了位似变换的概念和性质，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．
 

18.【答案】 或
 

【解析】

【分析】本题考查位似变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
分两种情形画出图形，即可解决问题．
【解答】

解：如图，由题意，得，，
所以在中， 
当在第四象限时，  
当在第二象限时，．
所以或 ．

19.【答案】解：如图：作出，即可得到∽；

证明：如图，，，
，
．
 

【解析】本题考查了作图相似变换，等腰三角形的性质，平行线的判定等，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
尺规作图作出，即可得到，从而得到∽；
根据题意得到，根据平行线的的判定定理即可证得结论．
 

20.【答案】解：相似．
理由：，，
∽，∽，
，，
，
四边形ABCD是矩形，
，
四边形AEFG∽矩形ABCD．
 

【解析】由，，可得∽，∽，又由相似三角形的对应边成比例，可得，然后四边形ABCD是矩形，可得，继而证得结论．
此题考查了相似多边形的判定以及相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

21.【答案】解：如图所示，点D即为所求．


如图所示，点F即为所求，与的相似比为：2．
 

【解析】本题主要考查作图相似变换与轴对称变换，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质及轴对称图形的概念．
根据轴对称图形的概念作图即可得；
根据相似三角形的判定作图可得．
 

22.【答案】解：作线段、、，得即可所求．

证明：、、，
∽，
；
证明：

、E、F分别是三边AB、BC、AC的中点，
，，，
∽，
同理：∽，
由可知：∽，
∽．
 

【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质及三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定方法，本题用到的是三边法．
分别作、、得即可所求；
根据中位线定理易得：∽，∽，故∽，
 

23.【答案】解：由已知得，

把点的坐标和代入，得，

解得．

如图，根据相似比为得函数的图象有两种情况：

不经过第三象限时，过点和，这时函数表达式为

不经过第一象限时，过点和，这时函数表达式为．

【解析】点拨：本题考查了一次函数的应用，根据数形结合思想利用待定系数法进行分类讨论，即可求出函数表达式．
 

24.【答案】解：与，与，与都是位似图形，
理由：，
∽，∽，∽，且对应边都交于一点，
与，与，与都是位似图形；
∽，∽，，，
，
，

解得：．

【解析】此题主要考查了比例的性质以及相似三角形的判定与性质，正确把握位似图形的定义是解题关键．

利用相似三角形的判定方法以及位似图形的性质进而得出答案；
利用比例的性质以及相似三角形的性质进而求出，求出EF即可．

25.【答案】解析  如图，正方形即为所求．

设正方形的边长为x，

为正三角形，，

，，

解得．

如图，连结NE、EP、PN，易知．

设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、，
它们的面积和为S，
则，，
，
，
延长PH交ND于点G，则．

在中，．

，
，
化简得，

．

当，即时，S最小，．

当最大时，S最大，即当m最大且n最小时，S最大．

，由知，，．

．

综上所述，，．

【解析】见答案