冀教版九年级上册25.7 相似多边形和图形的位似第1课时教案设计

25．7  相似多边形和图形的位似 第1课时  相似多边形

1．了解相似图形、相似多边形的概念；

2．会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形；（重点）

3．掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算．（难点）

一、情景导入

观察以下三组图形，每一组图形的对应边、对应角有什么关系呢？

二、合作探究

探究点一：相似图形

如下图所示的四组图形，相似的有(　　)

A．1组      B．2组 

C．3组      D．4组

解析：由相似图形的概念可知，只有(1)(3)(4)形状相同．(2)中的图形虽然都是圆柱，但是形状不完全相同，所以不是相似图形；只要形状相同，即使位置不同，也应看成是相似图形，如(4)中的图形就是这样．故选C．

易错提醒：看图形是否相似，要紧扣定义“形状相同，大小可以不同”，但大小相同也是相似的一种情形．

探究点二：相似多边形的性质

  如图，给出的两个四边形是相似形，具体数据如图所示．求：

（1）四边形ABCD和四边形A´B´C´D´的相似比；

（2）边a、b的长度及角α的值．

解析：根据相似多边形对应角相等和对应边成比例解答．

解：（1）∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AD 的对应边是A′D′，∴相似比＝＝＝；

（2）∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，

∴∠B′＝∠B＝63°，∠D′＝∠D，＝＝.∴＝＝.∴a＝5，b＝18．

∴在四边形A′B′C′D′中，∠D′＝360°－(84°＋75°＋63°)＝138°，即∠α＝∠D＝∠D′＝138°．

方法总结：若两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．在书写两个多边形相似时，要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上．确定相似比要找准相似多边形的对应边，方法类似于找相似三角形对应边的方法．

探究点三：相似多边形的判定

  下列图形都相似吗？为什么？

（1）所有正方形；（2）所有矩形；（3）所有菱形；

（4）所有等边三角形；（5）所有等腰三角形；（6）所有等腰梯形；（7）所有等腰直角三角形；（8）所有正五边形．

解析：利用定义判断边数相同的多边形是否相似，要从两方面进行判断：（1）对应角相等；（2）对应边成比例，两者缺一不可．

解：（1）相似.∵正方形每个角都等于90°，∴对应角相等.而每个正方形的边长都相等，∴对应边成比例；

（2）不一定.虽然矩形的每个角都等于90°，对应角相等，但是对应边不一定成比例，如图①；

（3）不一定.每个菱形的四条边长都相等，∴两菱形的对应边一定成比例.但是它们的对应角不一定相等，如图②，显然这两个菱形的对应角不相等；

（4）相似.∵每个等边三角形的三条边都相等，∴两个等边三角形的对应边一定成比例，并且对应角都等于60°；

（5）不一定.如图③，这两个三角形的对应边不成比例，对应角不相等；

（6）不一定.如图④，这两个等腰梯形的对应边不成比例，对应角不相等；

（7）相似.∵等腰直角三角形的三个角分别是45°，45°，90°，∴对应角相等.而每一个三角形的三边的比都是1：1：，∴对应边成比例；

（8）相似.∵正五边形的各角都等于108°，∴对应角相等.而正五边形的各边都相等，∴对应边成比例．

方法总结：（1）相似多边形的定义也是相似多边形的判定方法，在判定两个多边形相似时，必须同时具备两点：对应角相等，对应边成比例．（2）在说明图形不相似时只需画图举出反例即可．（3）所有边数相等的正多边形都相似．

探究点四：相似多边形的综合

  在长AD＝30 m，宽AB＝20 m的矩形花坛ABCD的四周建筑小路．

（1）如果四周的小路的宽均相等，如图①，那么小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由；

（2）如果对应着的两条小路的宽均相等，如图②，试问小路的宽x与y的比值是多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似？

解析：（1）根据两矩形的对应边是否成比例来判断两矩形是否相似；

（2）根据矩形相似的条件列出等量关系式，从而求出x与y的比值．

解：（1）矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似．理由如下：

假设两个矩形相似，不妨设小路宽为x m，

则＝，解得x＝0．

由题意可知，小路宽不可能为0，

∴矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似；

（2）若矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似，

则＝，∴＝．

∴当x与y的比值为3：2时，小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似．

方法总结：因为矩形的四个角均是直角，所以在有关矩形相似的问题中，只需看对应边是否成比例，若成比例，则相似，否则不相似．

三、板书设计

相似多边形

在探索相似多边形本质特征的过程中，让学生运用“观察－比较－猜想”分析问题，进一步发展学生观察、分析、判断、归纳、类比、反思、交流等方面的能力，提高数学思维水平，体会反例的作用，培养与他人交流、合作的意识和品质．