初中数学25.7 相似多边形和图形的位似教学设计
展开【教学目标】
1.了解相似多边形的含义。
2.了解位似图形及有关概念,能利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小。
3.利用图形相似解决一些简单的实际问题。
【教学重难点】
1.重点:相似多边形及位似图形的性质。
2.难点:相似多边形及位似图形的性质应用。
【教学过程】
一、知识讲解
1.相似多边形:
两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形。
提示1:只有边数相等,各对应角相等,且各边对应成比例的多边形才相似。
例如:两个正方形,各对应角都是90°且各边对应成比例,所以两个正方形是相似多边形。
提示2:相似多边形的读、写法,在表示两个多边形相似时,要把表示对应角对应顶点的字母写在对应位置上。
2.相似比:
相似多边形对应边的比叫相似比,多边形的相似比是有顺序的。
例如:四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′,AB与A′B′是对应边,若,则说四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为3∶1;反之,四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的相似比为1∶3.
3.相似多边形的性质:
(1)对应边成比例;
(2)对应角相等。
如:五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′,则有∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,∠D=∠D′,∠E=∠E′,且。
(3)相似多边形的周长的比等于相似比,面积比等于相似比的平方。
(4)相似多边形中的对应线段的比等于相似比。
(5)相似多边形中,对应的三角形相似,其相似比等于原相似多边形的相似比。
4.位似图形的定义:
如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个交点叫做位似中心,此时,两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比。
(1)位似图形是针对两个相似图形而言的。
(2)位似图形的每组对应点所在的直线都必须经过同一点。
(3)位似图形是具有特殊位置关系的相似图形,而相似图形不一定构成位似图形。
5.位似图形的性质:
(1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比。
(2)两个位似多边形一定相似,它们的相似比等于对应顶点与位似中心的距离之比,它们的各对对应边分别平行或在同一直线上。
二、例题讲解
例1:下列多边形,一定相似的是( )
A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个平行四边形
分析:根据相似多边形的定义,两个矩形只能满足对应角相等,对应边不一定成比例;两个菱形只满足对应边成比例,而对应角不一定相等;两个正方形的对应边成比例,对应角都是90°。
答案:C
例2:如图,四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′,AB=18,A′B′=4,B′C′=6,∠B=77°,∠C=83°,∠A′=115°,求BC的长度和∠D′的大小。
解:∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′,
∴,即,解得BC=27,
∴∠B′=∠B=77°,∠C′=∠C=83°,
∴∠D′=360°-∠A′-∠B′-∠C′=85°。
例3:四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′,它们的对角线分别交于点O、O′,那么ΔOAB与ΔO′A′B′相似吗?为什么?
解:ΔOAB∽ΔO′A′B′,因为:
∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′,
∴ΔABD∽ΔA′B′D′,ΔABC∽ΔA′B′C′,
∴∠2=∠4,∠1=∠3,
∴ΔOAB∽ΔO′A′B′。
例4:如图,已知四边形ABCD及四边形A′B′C′D′中,∠B=∠B′,∠D=∠D′, ,那么,四边形ABCD和四边形A′B′C′D′必相似。试说明理由。
分析:要说明四边形ABCD∽A′B′C′D′,只需说明∠A=∠A′,∠C=∠C′就可以了,我们可构造相似三角形来完成∠A=∠A′,∠C=∠C′。
解:连结AC.A′C′,
∵∠B=∠B′,,
∴ΔABC∽ΔA′B′C′,
∴∠1=∠1′,∠2=∠2′,
同理,ΔADC∽ΔA′D′C′,
∴∠3=∠3′,∠4=∠4′,
∴∠1+∠3=∠1′+∠3′,∠2+∠4=∠2′+∠4′,
即∠BAD=∠B′A′D′,∠BCD=∠B′C′D′,
又因,
∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′。
例5:四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′相似比为,它们的周长之和为20,面积之差为5,那么它们的周长和面积分别是多少?
分析:根据题意,利用相似多边形的性质,可构造方程(组)即可求解。
解:设它们的周长分别为C1.C2,面积分别为S1.S2,
根据题意有,(1),(2),
由(1)得:C1=12,C2=8,
由(2)得:S1=9,S2=4,
所以,它们的周长分别为12,8;面积分别为9,4.
例6:如图,已知四边形ABCD,把它放大2倍,即新图形与原图形的相似比为2.
分析:
(1)把一个图形放大2倍,就是要求新图形与原图形的对应点到位似中心的距离之比等于2.
(2)位似中心的位置是任意的,可选在图形内、图形外、图形上均可。
解:
(1)任取一点O;
(2)以O为端点作射线OA.OB.OC.OD;
(3)分别在射线OA.OB.OC.OD上取A′、B′、C′、D′使OA′∶OA=OB′∶OB= OC′∶OC=OD′∶OD=2∶1;
(4)连结A′B′、B′C′、C′D′、D′A′。
则四边形A′B′C′D′就是所求作的图形。
例7:已知,锐角三角形ABC,求作矩形DEFG使DE在边BC上,点G和F分别在边AB和AC上,且DE∶GD=2∶1.
分析:这个作图从要求的条件看,很难一次就作出满足全部条件的图形,因此可先作出满足一部分条件的图形。此题可以先作出所求作的图形的位似形,然后再根据位似图形的概念进行位似变换,以得出所求的满足全部条件的图形。
作法:
1.在AB上任取一点G1,作G1D1⊥BC于D1;
2.在D1C(或其延长线上)上取一点E1,使D1E1=2G1D1;
3.以G1D1.D1E1为邻边作矩形D1E1F1G1;
4.作射线BF1交AC于点F;
5.作EF∥E1F1交BC于点E,作FG∥F1G1交AB于G,作GD∥GD1交BC于D.四边形DEFG就是所求的矩形。
例8:已知,ΔABC的顶点坐标分别为A(0,-2),B(3,-1),C(2,1),以原点O为位似中心,将这个三角形放大为原来的2倍得到ΔA′B′C′,请写出ΔA′B′C′的顶点坐标。
解:根据位似图形中对应点的坐标的变化规律,
点A(0,-2)的对应点A′的坐标为(0×2,-2×2)即A′(0,-4),
所以,类似的有 B′(6,-2),C′(4,2)。
三、过关练习
1.选择题。
(1)两个相似多边形一组对应边分别为3cm,4.5cm,那么它们的相似比为( )
A.;B.;C.;D.
(2)在矩形ABCD中,E、F分别为AB、CD的中点,如果矩形ABCD∽矩形EFCB,那么它们的相似比为( )
A.;B.;C.2;D.
(3)一个多边形的边长为2,3,4,5,6,另一个和它相似的多边形的最长边为24,则这个多边形的最短边长为( )
A.6;B.8;C.12;D.10
(4)ΔABC与ΔDEF是位似图形(如图),相似比为2∶3,已知AB=4,则DE的长等于( )
A.6;B.5;C.9;D.
(5)如图所示,已知ΔADE与ΔABC是位似图形,且位似比为1∶2,若ΔABC的面积为12cm2,则ΔADE的面积为( )
A.2cm2;B.3cm2;C.4cm2;D.6cm2
2.在矩形ABCD中,截去一个正方形ABEF,如图所示,得到一个矩形ECDF,如果矩形ABCD∽矩形 ECDF,试问矩形ABCD是否为黄金矩形,请说明理由。
3.如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别位于边AB、CD上,EF∥AD,于是EF将平行四边形ABCD分成平行四边形AEFD和平行四边形EBCF,设边AB=a,BC=B.
(1)若平行四边形ABCD与平行四边形ADFE相似,求DF长。
(2)若平行四边形AEFD与平行四边形EBCF相似,求DF长。
(3)若平行四边形AEFD与平行四边形EBCF与平行四边形ABCD都相似,请你求出a与b之间的关系
4.如图,在一矩形花坛ABCD四周修筑水路,使得相对两条小路的宽均相等,如果花坛边AB=20米,AD=30米,试问小路的宽x与y的比值是多少时,能使小路边沿围成的矩形A′B′C′D′能与矩形ABCD相似?请说明理由。
5.如图是圆桌正上方的灯泡(看作一个点),发出的光线照射桌面后,在地面上形成阴影,已知桌面直径为1.2m,桌面距地面1m,灯泡距地面3m,求地面上阴影部分的面积。
6.已知,如图,O是坐标原点,B、C两点的坐标为(3,-1),(2,1)。
(1)以O为相似中心在y轴左侧,将ΔOBC放大到2倍,画出图形。
(2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标。
(3)如果ΔOBC内部一点M的坐标为(x,y),写出M的对应点M′的坐标。
7.已知,如图,梯形ABCD,AD∥BC,不改变图形的形状,把它的各边都扩大为原来的。
8.作一个等边三角形,使它的三个顶点分别在ΔABC三边上,并且有一边和BC平行。
【参考答案】
1.(1)A;(2)A;(3)B;(4)A;(5)B
2.分析:要判别矩形ABCD是否为黄金矩形,即是否有成立,由此可做出判定。
解:矩形ABCD为黄金矩形。理由:
由题意,矩形ABCD∽矩形ECDF,
∴,
又∵AB=AF=BE=EF=CD,EC=DF,
∴,
故点F是AD的黄金分割点,所以的比值为黄金比,
从而的比值是黄金比,
故矩形ABCD为黄金矩形。
3.解:(1)∵平行四边形ABCD∽平行四边形ADFE,
∴即DF=。
(2)若平行四边形AEFD∽平行四边形EBCF,
∴,
∴DF=,
若平行四边形AEFD∽平行四边形BCFE,
则,DF=(a>2b)。
(3)因平行四边形AEFD与平行四边形EBCF,平行四边形ABCD都相似,
则有平行四边形AEFD∽平行四边形EBCF∽平行四边形BCDA,
∴,
∴a=。
4.解:依题意,应有,
∴,
∴20(30+2x)=30(20+2y),解得,
故当时,矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD.
5.解:如图,设桌面面积为S1,阴影部分面积为S2,
圆桌的面积为S1=(m2),
因桌面与阴影是位似图形,
∴,∴,
∴S2=(m2)。
答:地面上阴影部分面积为m2.
6.解:(1)如图所示:
(2)根据位似变换中对应点坐标的变化规律,
点B的坐标为(3,-1),对应点B′的坐标为(-6,2),
点C的坐标为(2,1),对应点C的坐标为(-4,-2)。
(3)点M(x,y)的对应点M′的坐标为(-2x,-2y)。
7.解:(1)在梯形ABCD外任取一点O;
(2)作射线OA.OB.OC.OD;
(3)在射线OA.OB.OC.OD上取点A′、B′、C′、D′使;
(4)顺次连结A′、B′、C′、D′,梯形A′B′C′D′就是所要求作的图形。
8.解:作法:
(1)在ΔABC的边AC上任取一点D′,作D′F′∥BC交AB于F′;
(2)以D′F′为一边作等边ΔD′E′F′;
(3)连结AE′,并延长AE′交BC于点E;
(4)作EF∥E′F′交AB于F;
(5)作DE∥D′E′交AC于D;
(6)连结FD.
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