冀教版九年级上册25.6 相似三角形的应用同步达标检测题

25.6相似三角形的应用同步练习冀教版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知，，且测得米，米，米，那么该大厦的高度约为

A. 8米 B. 16米 C. 24米 D. 36米

2. 如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板即中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为

A.  B.  C.  D.

3. 学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为，OA的长为3m，C点到AB的距离为，支柱OE的高为，则栏杆D端离地面的距离为

A.  B.  C.  D. 3m

4. 如图，是一块锐角三角形材料，高线AH长8cm，底边BC长10cm，要把它加工成一个长方形零件，使长方形DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D、G分别在AB、AC上，且，则长方形DEFG的边长DE为．

A.  B.  C.  D.

5. 孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸提示：1丈尺，1尺寸，则竹竿的长为

A. 五丈 B. 四丈五尺 C. 一丈 D. 五尺

6. 在如图所示的象棋盘各个小正方形的边长均相等中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似

A. 处 B. 处 C. 处 D. 处

7. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边DF离地面的高度，，则树高AB是

A. 4米 B. 米 C. 5米 D. 米

8. 如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆测得则建筑物的高

A.
B. 15m
C.
D. 20m

9. 已知的三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要利用长为40cm和60cm的两根铁丝绘制作与相似的三角形框架，如果以其中一根铁丝为一边，从另一根铁丝上截取两段允许有余料作为另外两边，可以作成不同的三角形框架有

A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种

10. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物CD的高度，已知标杆BE高，测得，，则建筑物CD的高是   

A.
B.
C.
D.

11. 一种雨伞的截面图如图所示，伞骨，支掌杆，当点O沿AD滑动时，雨伞开闭．若，，此时B、D两点间的距离等于

A. 60cm
B. 80cm
C. 100cm
D. 120cm

12. 为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理．她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于

A. 10m B. 12m C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为米，OA的长为3米，点C到AB的距离为米，支柱OE的高为米，那么栏杆端点D离地面的距离为______米．

14. 如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得，，则旗杆AB的高为________m．

15. 两根细木条，一根长80厘米，另一根长130厘米，将它们其中的一端重合，放在同一条直线上，此时两根细木条的中点间的距离是______．
16. 如图，身高为的小明AB站在小河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为，A、E、在一条线上．如果小河BD的宽度为12m，，那么这棵树CD的高为______

17. 在中，，，，以点C为圆心，4为半径的圆上有一动点D，连接AD，BD，CD，则的最小值是______．
    
    
     

18. 九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾短直角边长为5步，股长直角边长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是______步．
     

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 阅读下面材料，完成学习任务：
    数学活动  测量树的高度
    在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度AB测量和计算的部分步骤如下：
    如图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在BC的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时．测得小华到平面镜的距离米，小华的眼睛E到地面的距离米；
    将平面镜从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离米；
    计算树的高度AB：设米，米．
    ，
    ∽
    
    任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整．

20. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边DF离地面的高度，，求树高AB．

21. 如图，用曲尺测量大坝的高度h，使OA，OB分别顶住地面和大坝的斜面CD，且OA与地面垂直，现量出，，，，试求大坝的高度h．

22. 如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度，窗高，并测得，，求围墙AB的高度．

23. 青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度樱花树四周被围起来了，底部不易到达小明在F处竖立了一根标杆EF，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上此时测得小刚的眼睛到地面的距离米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离米已知米，米，米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在CD上，，，，根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树AB的高度．

24. 大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上点F，点G，点E，点C与大雁塔底处的点A在同一直线上，这时测得米，米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，小华在晚上由路灯A走向路灯当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是，两个路灯的高度都是，且．
     

求两个路灯之间的距离．

当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：根据题意，易得到∽．
即
故CD米；
那么该古城墙的高度是16米．
故选：B．
因为小玲和新华大厦均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．
本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
 

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，利用对应边成比例求相应线段的长．也考查了正方形的性质．
设，则，利用正方形的性质得，，再证明∽，利用相似比得到，所以，则，解得，然后用的面积减去正方形的面积得到剩余部分的面积．
【解答】
解：设，则，
四边形CDEF为正方形，
，，
，
∽，
，
，
在中，，
，解得，
，，
剩余部分的面积
故选：D．  

3.【答案】C
 

【解析】解：过D作于G，过C作于H，
则，
∽，
，
栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，
，，，
，
，
，
，
栏杆D端离地面的距离为．
故选：C．
过D作于G，过C作于H，则，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
 

4.【答案】D
 

【解析】解：三角形DEFG是长方形，
，
∽，
，即，
解得，，
故选：D．
根据∽，得到，代入计算即可．
本题考查的是相似三角形的应用、矩形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

5.【答案】B
 

【解析】解：设竹竿的长度为x尺，
竹竿的影长一丈五尺尺，标杆长一尺五寸尺，影长五寸尺，
，解得尺．
故选：B．
根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．
 

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，难度不大．
确定“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可．
【解答】
解：帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、、；
“车”、“炮”之间的距离为1，
“炮”之间的距离为，“车”之间的距离为，
，
马应该落在的位置，
故选：B．  

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出和相似是解题的关键．
先判定和相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．
【解答】
解：在和中，
，
∽，
，
即，
解得：，
，
，
即树高．
故选D．  

8.【答案】B
 

【解析】解：，，
，
∽，
，
，，，
，
，
．
故选：B．
先根据题意得出∽，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值．
本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键．
 

9.【答案】A
 

【解析】解：有两种不同的截法：
以40cm长的钢筋为最长边，设中边为y，短边长为x，
则有，，
解得，，
所以从60cm长的钢筋上分别截取、的两段；

以40cm长的钢筋为中边，
设长边为x，短边长为y，

解得，，，不符合题意，

以40cm长的钢筋为最短边，设长边为x，中边长为y，
，
解得，，不合题意，
故选：A．
若以40cm长的钢筋为短边，显然不成立，故有两种不同的截法：以40cm长的钢筋为最长边，以40cm长的钢筋为中边，根据相似三角形的三边对应成比例，列式计算．
本题主要结合相似三角形的性质，及题目隐含的条件进行分类讨论．
 

10.【答案】A
 

【解析】，，
，
∽，
 
，，，
，
，
，
即建筑物CD的高是．
故选A．
 

11.【答案】D
 

【解析】解：，，
，
又，
∽，
，
，
，
解得．
故选：D．
先求出，然后判定和相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，判断出和相似是解题的关键．
 

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
根据题意得出∽，进而利用相似三角形的性质得出答案．
【解答】
解：由题意可得：，，，∽，
则，
即，
解得：，
故旗杆DE的高度等于12m．
故选B．  

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
过D作于G，过C作于H，则，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
【解答】
解：过D作于G，过C作于H，
则，
∽，
，
栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，
，，，
，
，
，
，
栏杆D端离地面的距离为．
故答案为：．  

14.【答案】9
 

【解析】

【分析】

本题主要考查相似三角形的应用，证得三角形相似得到关于AB的方程是解题的关键． 由条件可证明∽，利用相似三角形的性质可求得答案．

【解答】

解：，，
，
由题意可知，且为公共角，
∽，
，即，解得，
即旗杆AB的高为9m．
故答案为：9．

15.【答案】25cm或105cm
 

【解析】解：如果将两根细木条重叠摆放，则；
如果将两根细木条相接摆放，则．
分两种情况讨论：
将两根细木条重叠摆放，那么两根细木条的中点间的距离是两根木条长度的一半的差；
将两根细木条相接摆放，那么两根细木条的中点间的距离是两根木条长度的一半的和．
本题要注意分成重叠和相接两种摆放方法分类讨论．根据题意准确的列出式子是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：，CD均垂直于地面，所以，
∽，
在水中的倒影为，
∽，
，
又，，，
，
，
故答案为：．
首先判定∽，再根据相似三角形的性质可得，然后再代入数据计算即可．
本题主要考查了相似三角形的应用，利用相似，求对应线段，是相似中经常考查极为普遍的类型题，关键是找准对应边．
 

17.【答案】
 

【解析】解：如图，在CB上取一点F，使得，连接CD，AF．

，，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，，
的最小值是，
故答案为．
如图，在CB上取一点F，使得，连接CD，由∽，推出，推出，推出，根据即可解决问题；
本题考查相似三角形的应用，两点之间线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
 

18.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．
如图1，根据正方形的性质得：，则∽，列比例式可得结论；如图2，同理可得正方形的边长，比较可得最大值．
【解答】
解：如图1，

四边形CDEF是正方形，
，，
设，则，，
，
，，
∽，
，
，
，
如图2，

四边形DGFE是正方形，
过C作于P，交DG于Q，
设，
，
，
，
同理得：∽，
，
，
，
该直角三角形能容纳的正方形边长最大是步，
故答案为：．

19.【答案】解：设米，米．
，
∽
，
，
，
∽，
，
，
，
解得，
把代入中，
得解得
树的高度AB为15米．
 

【解析】设米，米．利用相似三角形的性质构建方程组即可解决问题；
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会设未知数，构建方程组解决问题．
 

20.【答案】解：在中，，
即：，
，
由题意得：，，
∽，
，
，，，
，
解得：米，
，
．
 

【解析】首先利用勾股定理计算出EF长，再证明∽，由相似三角形的性质可得，求出BC长，进而可得答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握三角形相似对应边成比例．
 

21.【答案】解：如图，过点D作于点E．
，，，
，．
由勾股定理，
得，
由图可知，
，
，即，
解得．

【解析】见答案
 

22.【答案】解：延长OD于点C，
，
，
，
，，
，
，
，
，
设，
，，
，
∽，
，
，
解得：．
经检验：是原方程的解．
答：围墙AB的高度是．
 

【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是求出，根据相似三角形的判定方法证明∽，属于中档题．
首先根据，可得，然后证明，再证明∽，可得，然后代入数值可得方程，解出方程即可得到答案．
 

23.【答案】解：过点D作于点P，交EF于点N，过点M作于点Q，交GH于点K，
由题意可得：，米，，米，米．
，，，，
∽，∽，
，．
，．
米．
答：这棵樱花树AB的高度是米．
 

【解析】过点D作于点P，交EF于点N，过点M作于点Q，交GH于点K，构造相似三角形：∽，∽，利用相似三角形的对应边成比例求得相关线段的长度即可．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
 

24.【答案】解：由题意可得：，
∽，
，
，
∽，
，
，
，
，
米，
，
，
米，
答：大雁塔的高度AB为62米．
 

【解析】易知∽，∽，可得，，因为，推出，列出方程求出CA，由，由此即可解决问题．
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：如图1，

，
∽，
，即，
，
而，且
，
．
答：两路灯的距离为18m；
如图2，他在路灯A下的影子为BK，

，
∽，
，
即，
解得．
答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是．
 

【解析】本题主要考查了相似三角形的应用．
如图1，先证明∽，利用相似比可得，则，解得；
如图2，他在路灯A下的影子为BK，证明∽，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出BK即可．