北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试课时练习

这是一份北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试课时练习，共16页。
2021-2022年北师大版八年级数学上册第1章勾股定理测评卷
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．9，12，15 B．7，24，25 C．15，36，39 D．12，15，20
2．一个圆桶底面直径为7cm，高24cm，则桶内所能容下的最长木棒为（　　）
A．20cm B．25cm C．26cm D．30cm
3．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　）

A．16 B．25 C．144 D．169
4．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于D，则AD的长为（　　）

A．1 B．2 C． D．
5．如图，一棵大树在离地面3m，5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是（　　）

A．9m B．14m C．11m D．10m
6．如图，某公园内的一块草坪是长方形ABCD，已知AB＝8m，BC＝6m，公园管理处为了方便群众，沿AC修了一条近道，一个人从A到C走A﹣B﹣C比直接走AC多走了（　　）

A．2米 B．4米 C．6米 D．8米
7．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（　　）

A．S1﹣S2 B．S1+S2 C．2S1﹣S2 D．S1+2S2
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC＝12，BC＝16，则AE的长为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
9．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（　　）

A．1.2米 B．1.5米 C．2.0米 D．2.5米
10．△ABC中，AB＝17，AC＝10，高AD＝8，则△ABC的周长是（　　）
A．54 B．44 C．36或48 D．54或33
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为　 　cm2．


12．在正方形网格中，A、B、C、D均为格点，则∠BAC﹣∠DAE＝　 　．

13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到斜边AB的距离是　 　．
14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是　 　．

15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE，AF分别是∠ABC，∠CAB平分线，BE，AF交于点O，OM⊥AB，AB＝10，AC＝8，则OM＝　 　．

16．如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，点D、C、G、J、I在同一水平面上，则正方形BEFG的面积为　 　．

17．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为　 　dm．


18．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面　 　尺．

19．如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少飞行　 　米．

20．如图，点D为△ABC的边AB上一点，且AD＝AC，∠B＝45°，过D作DE⊥AC于E，若AE＝3，四边形BDEC的面积为8，则BD的长度为　 　．

三．解答题（共6小题，满分60分）
21．某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m．
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需投入多少元？



22．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB与BC的长．

23．已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）判断△ABC的形状并说明理由；
（2）若DE＝3，BD＝4，求AE的长．

24．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．
（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．
（2）C岛在A港的什么方向？

25．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”
题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？

26．拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？


参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：92+122＝152，故选项A不符合题意；
72+242＝252，故选项B不符合题意；
152+362＝392，故选项C不符合题意；
122+152≠202，故选项D符合题意；
故选：D．
2．解：如图，AC为圆桶底面直径，CB是桶高，
∴AC＝7cm，CB＝24cm，
∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
∴AB＝25（cm）．
故桶内所能容下的最长木棒的长度为25cm．
故选：B．

3．解：
根据勾股定理得出：AB＝5，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
4．解：由勾股定理得：BC＝5，
∵S△ABC＝4×4﹣×1×2﹣×2×4﹣×4×3＝5，
∴BC•AD＝5，
∴AD＝5，
∴AD＝2．
故选：B．
5．解：如图，作BD⊥OC于点D，
由题意得：AO＝BD＝3m，AB＝OD＝2m，
∵OC＝6m，
∴DC＝4m，
∴由勾股定理得：BC＝5（m），
∴大树的高度为5+5＝10（m），
故选：D．

6．解：由勾股定理，得
捷径AC＝10（m），
多走了8+6﹣10＝4（m）．
故选：B．
7．解：如图所示：设直角三角形的斜边为c，
则S1＝c2＝a2+b2
S2＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，
∴2ab＝S1﹣S2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2，
故选：C．

8．解：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，
由勾股定理知：AB＝20．
∵AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．
∴AE＝BE＝AB＝10．
故选：C．

9．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，
∴AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝1.5（米）
故选：B．

10．解：分两种情况：
①如图1所示：

∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴BD＝15，CD＝6，
∴BC＝BD+CD＝15+6＝21；
此时，△ABC的周长为：AB+BC+AC＝17+10+21＝48．
②如图2所示：

同①得：BD＝15，CD＝6，
∴BC＝BD﹣CD＝15﹣6＝9；
此时，△ABC的周长为：AB+BC+AC＝17+10+9＝36．
综上所述：△ABC的周长为48或36．
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：设三边分别为5x，12x，13x，
则5x+12x+13x＝60，
∴x＝2，
∴三边分别为10cm，24cm，26cm，
∵102+242＝262，
∴三角形为直角三角形，
∴S＝10×24÷2＝120cm2．
故答案为：120．
12．解：如图所示，把△ADE移到△CFG处，连接AG，

此时∠DAE＝∠FCG，
∵CF∥BD，
∴∠BAC＝∠FCA，
∴∠BAC﹣∠DAE＝∠FCA﹣∠FCG＝∠ACG，
设小正方形的边长是1，
由勾股定理得：CG2＝12+32＝10，AC2＝AG2＝12+22＝5，
∴AC2+AG2＝CG2，AC＝AG，
∴∠CAG＝90°，
即△ACG是等腰直角三角形，
∴∠ACG＝45°，
∴∠BAC﹣∠DAE＝45°，
故答案为：45°．
13．解：如图，设点C到斜边AB的距离是h，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，
∴AB＝15，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•h，
∴h＝＝＝7.2．
故答案为：7.2．

14．解：过D作DE⊥AB于E，
在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴BC＝4，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DC，
∵AC•BC＝AC•CD+AB•DE，即×3×4＝×3CD+×5CD，
解得CD＝1.5，
∴BD＝4﹣CD＝4﹣1.5＝2.5．
故答案为：2.5．

15．解：过O作OG⊥AC于G，OH⊥BC于H，连接OC，

∵AF平分∠CAB，BE平分∠ABC，
∴OG＝OH＝OM，
∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝6
∴S△ABC＝S△AOC+S△AOB+S△BOC，
∴AC•BC＝×AB•OM+AC•OG+BC•OH，
∴×8×6＝+×8×OG+，
∴OM＝2，
故答案为：2．
16．解：∵四边形ABCD、四边形FHIJ和四边形BEFG都是正方形，
∴∠BCG＝∠BGF＝∠GJF＝90°，BG＝GF，
∴∠CBG+∠BGC＝90°，∠JGF+∠BGC＝90°，
∴∠CBG＝∠JGF，
在△BCG和△GJF中，
，
∴△BCG≌△GJF（AAS），
∴BC＝GJ，
∵正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，
∴BC2＝4，FJ2＝3，
∴GJ2＝4，
在Rt△GJF中，由勾股定理得：
FG2＝GJ2+FJ2＝4+3＝7，
∴正方形BEFG的面积为7．
故答案为：7．
17．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2＝82+[（2+3）×3]2＝172，
解得x＝17．
故答案为：17．
18．解：设折断处离地面x尺，根据题意可得：
x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
答：折断处离地面4.55尺．
故答案为：4.55．
19．解：如图，设大树高为AB＝10m，小树高为CD＝4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，
则EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6（m），
在Rt△AEC中，AC＝10（m），
答：小鸟至少飞行10米．
故答案为：10．

20．解：过点C作CF⊥AB于点F，
∵DE⊥AC，
∴∠AFC＝∠BFC＝∠AED＝90°，
∵∠A＝∠A，AD＝AC，
∴△ADE≌△ACF（AAS），
∴AF＝AE＝3，
∴S△BFC＝四边形BDEC的面积＝8，
∵∠B＝45°，
∴△BFC是等腰直角三角形，
∴BF•CF＝BF2＝8，
∴BF＝CF＝4，
∴AD＝AC＝5，
∴DF＝2，
∴BD＝2，
故答案为：2．

三．解答题（共6小题，满分60分）
21．解：（1）如图，连接AC，
在直角三角形ABC中，
∵∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，
∴AC＝10m，
∵AC2+CD2＝102+242＝676＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝，
答：空地ABCD的面积是144m2．
（2）144×100＝14400（元），
答：总共需投入14400元．

22．解：∵CD⊥AB，AC＝20，CD＝12，BD＝9，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
在Rt△CDB中，
由勾股定理得：BC＝15，
在Rt△ADC中，
由勾股定理得：AD＝16，
∴AB＝AD+DB＝16+9＝25．
答：AB的长为25，BC的长为15．
23．解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下：
连接CE，如图，

∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CE＝BE，
∵BE2﹣EA2＝AC2，
∴CE2﹣EA2＝AC2，
∴EA2+AC2＝CE2，
∴△ACE是直角三角形，即∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵DE⊥BC，DE＝3，BD＝4，
∴BE＝5＝CE，
∴AC2＝EC2﹣AE2＝25﹣EA2，
∵D是BC的中点，BD＝4，
∴BC＝2BD＝8，
在Rt△BAC中：BC2﹣BA2＝64﹣（5+EA）2＝AC2，
∴64﹣（5+AE）2＝25﹣EA2，解得AE＝．
24．解：（1）由题意AD＝60km，
Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002．
∴BD＝80（km）．
∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km）．
∴AC＝75（km）．
75÷25＝3（小时）．
答：从C岛返回A港所需的时间为3小时．
（2）∵AB2+AC2＝1002+752＝15625，BC2＝1252＝15625，
∴AB2+AC2＝BC2．
∴∠BAC＝90°．
∴∠NAC＝180°﹣90°﹣48°＝42°．
∴C岛在A港的北偏西42°．

25．解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺．
由题意得x2+52＝（x+1）2．
解得x＝12．
∴x+1＝13．
答：水深12尺；芦苇长13尺．
26．解：（1）学校C会受噪声影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC×BC＝CD×AB，
∴150×200＝250×CD，
∴CD＝＝120（m），
∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，
∴学校C会受噪声影响．
（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，
∵ED＝50（m），
∴EF＝100（m），
∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，
∴100÷50＝2（分钟），
即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．