初中数学苏科版八年级上册3.1 勾股定理优秀课堂检测

这是一份初中数学苏科版八年级上册3.1 勾股定理优秀课堂检测，共21页。试卷主要包含了在Rt△ABC中，，，在下列条件中等内容，欢迎下载使用。

第3章 勾股定理（A卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题
1．把一个直角三角形的两条直角边都扩大到原来的2倍，那么斜边将（    ）
A．扩大到原来的2倍 B．扩大到原来的4倍
C．扩大到原来的3倍 D．不能确定
2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则的值为（　　）
A．24 B．18 C．12 D．9
3．已知的直角边分别为3和4，则斜边上的高为（    ）
A．5 B．6 C． D．
4．勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面四幅几何图形中，不能用于证明勾股定理的是（    ）
A． B．
C． D．
5．在Rt△ABC中，，．则＝（    ）
A．8 B．16或64 C．4 D．4或16
6．直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高的为（    ）
A．5 B． C． D．或
7．下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（    ）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．5，11，12 D．8，15，17
8．已知a，b，c是某三角形的三边，满足，则此三角形的面积为（    ）
A．30 B．60 C．78 D．32.5
9．在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，其中两个正方形的面积为144，225，那么正方形A的面积是（    ）

A．225 B．144 C．81 D．无法确定

评卷人
得分



二、填空题
11．数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形较短直角边长为6，大正方形的边长为10，则小正方形的边长为 ．

12．在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，则BC= ．
13．如图，中，，，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为 ．

14．如图，已知△ABC中，，AB=10，BC=6，若点D为AB边上任意一点，则线段CD的取值范围是 ．

15．如图，将一根长12cm的筷子置于底面半径为3cm，高为8cm的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度h的取值范围为 ．

16．如图，∠AOB＝60°，点C是BO延长线上一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝ s时，△POQ是等腰三角形．

17．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为2m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为 m．

18．《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB＋AC＝9尺，BC＝3尺，则AC= 尺．


评卷人
得分



三、解答题
19．某小区有一块四边形空地ABCD（如图所示），为了美化小区环境．现计划在空地上铺上草坪．经测量∠A＝90°，AB＝20米，BC＝24米，CD＝7米，AD＝15米，若铺一平方米草坪需要20元，铺这块空地需要投入多少钱？

20．某中学在校园一角开辟了一块四边形的试验田，把课堂的“死教材”转换为生动的“活景观”，学生们在课堂上学习理论之余，还可以到试验田实际操练．如图，四边形ABCD是规划好的试验田，经过测量得知：∠ADC＝90°，CD＝3m，AD＝4m，AB＝13m，BC＝12m．求试验田ABCD的面积．

21．如图是长、宽、高的长方体容器．

(1)求底面矩形的对角线的长；
(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？
22．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向左运动．设点P的运动时间为t．连接AP．

(1)当t＝4.5秒时，求；
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
23．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为．设梯子顶端到水平地面的距离为p，底端到垂直墙面的距离为q，若，根据经验可知：当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子的底端B向墙脚内移到D点，请问这时使用是否安全．

24．在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．

(1)求证：；
(2)求原来的路线的长．
25．某天，暴雨突然来袭，两艘搜救艇接到消息，在海面上有遇险船只从A、B两地发出求救信号．于是，第一艘搜救艇以20海里/时的速度离开港口O沿北偏东40°的方向向A地出发，同时，第二艘搜救艇也从港口O出发，以15海里/时的速度向B地出发，2小时后，他们同时到达各自的目标位置．此时，他们相距50海里．

(1)求第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？（求的大小）
(2)由于B地需要被援救的人数较多，故需要搭载人数较少的第一艘搜救艇改道去到B地支援，在从A地前往到B地的过程中，与港口O最近的距离是多少？
26．新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶．

(1)请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；
(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？

参考答案：
1．A
【分析】运用勾股定理就可以解决．
【详解】解：设直角三角形的直角边为a、b，斜边为c，
直角边扩大2倍后为2a，2b，
那么根据勾股定理得原来c2=a2+b2，
现在的斜边．
即斜边扩大到原来的2倍，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，关键是根据勾股定理解答．
2．B
【分析】根据勾股定理求出的值，再加上的值即可．
【详解】解：如图，

在Rt△ABC中，
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，整体解答是解题的关键．
3．C
【分析】根据题意，画出图形，结合题目已知条件求解．
【详解】解：如图，，，

，
作于，
，
，
．
故选：C．
【点睛】考查了勾股定理，解题的关键是熟练运用直角三角形的面积公式．画出图形能更直观解题．
4．B
【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．
【详解】解：A、大正方形的面积为：c2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4＋(b−a)2＝a2＋b2，
∴a2＋b2＝c2，故能证明勾股定理．
B、大正方形的面积为：（a＋b）2；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2＋b2＋2ab，
∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab，
∴不能证明勾股定理．
C、大正方形的面积为：（a＋b）2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4＋c2＝2ab＋c2，
∴（a＋b）2＝2ab＋c2，
∴a2＋b2＝c2，故能证明勾股定理．
D、图形的面积两种求法：①2个直角三角形+一个大正方形：2ab＋c2
②两个正方形+两个直角三角形：a2＋b2+2ab；
∴2ab＋c2＝a2＋b2+2ab，
∴a2＋b2＝c2，故能证明勾股定理．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．
5．D
【分析】根据勾股定理分情况讨论求解即可．
【详解】解：当∠C=90°时，
；
当∠A=90°时，
；
故选：D．
【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形，理解题意进行分类讨论是解题关键．
6．D
【分析】设直角三角形斜边上的高为h，①当长为4的边是直角边时，②当长为4的边是斜边时，分别求得第三边长，进而根据等面积法即可求解．
【详解】解：设直角三角形斜边上的高为h，
①当长为4的边是直角边时，斜边长＝5，
则×3×4＝×5×h，
解得：h＝；
②当长为4的边是斜边时，另一条直角边长的平方＝＝7，即另一条直角边长＝，
×3×＝×4×h，
解得：h＝；
综上，直角三角形斜边上的高为：或．
故本题选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，分类讨论是解题的关键．
7．D
【分析】根据勾股定理逆定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：A．∵，
∴，
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不合题意；
B．∵，
∴，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不合题意；
C．∵，
∴，
∴以5，11，12为边不能组成直角三角形，故本选项不合题意；
D．∵，
∴，
∴以8，15，17为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故本题选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键．
8．A
【分析】先根据绝对值的非负性可得，再根据勾股定理的逆定理可得这个三角形是直角三角形，且为直角边，然后利用直角三角形的面积公式求解即可得．
【详解】解：，
，，，
解得：，
，
这个三角形是直角三角形，且为直角边，
这个三角形的面积为，
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
9．C
【分析】根据三角形的内角和定理及勾股定理逆定理逐个判断即可．
【详解】解：对于①：∵，
∴，
∴，故①满足题意；
对于②：，设，
∴，
∴，
∴，故②满足题意；
对于③：，设，
∵，
∴是直角三角形，故③满足题意；
对于④：∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故④不满足题意；
所以能判断是直角三角形的有：①②③，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理及勾股定理的逆定理，属于基础题，计算过程中细心即可．
10．C
【分析】根据题意得出∆EFG为直角三角形，然后利用勾股定理即可得出结果．
【详解】解：如图所示，∆EFG为直角三角形，

∴，
∴正方形A的面积为81，
故选：C．
【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意是解题关键．
11．2
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC，即可求出CD．
【详解】解：如图，

∵若直角三角形较短直角边长为6，大正方形的边长为10，
∴AB＝10，BC＝AD＝6，
在Rt△ABC中，，
∴CD＝AC﹣AD＝8﹣6＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
12．7或25
【分析】已知三角形两边的长和第三边的高，未明确这个三角形为钝角还是锐角三角形，所以需分情况讨论，即∠ABC是钝角还是锐角，然后利用勾股定理求解．
【详解】解：分两种情况：
①如图1，△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上高AD=12，

在Rt△ABD中AB=15，AD=12，
由勾股定理得：BD=
在Rt△ADC中AC=20，AD=12，
由勾股定理得：DC=
∴BC的长为BD+DC=9+16=25．
②如图2，同理得：BD=9，DC=16，
∴BC=CD-BD=7．
综上所述，BC的长为25或7．
故答案为：25或7．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解决问题的关键是在直角三角形中用勾股定理求得线段的长．当已知条件中没有明确角的大小时，要注意讨论．
13．120
【分析】根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式、圆的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：由勾股定理得，，
则阴影部分面积
，
故答案为120．
【点睛】本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
14．4.8≤CD≤8
【分析】首先利用勾股定理求出AC=8，即CD的最大值，作CE⊥AB于E，求出EC的长，即CD的最小值．
【详解】解：∵，AB=10，BC=6，
∴AC=，
∵•AC•BC＝•AB•CE，
∴CE＝＝4.8，
∵点D在线段AB上，
∴4.8≤CD≤8．
故答案为4.8≤CD≤8.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，读懂题意找到CD的最大值和最小值的位置是解题关键.
15．2cm≤h≤4cm
【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
【详解】解：如图，

当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h＝12﹣8＝4（cm）；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD＝6cm，BD＝8cm，
∴AB2＝AD2＋BD2＝62＋82＝102（cm2），即AB＝10cm，
∴此时h＝12﹣10＝2（cm），
∴h的取值范围是：2cm≤h≤4cm．
故本题答案为：2cm≤h≤4cm．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出h的值最大值与最小值是解题关键．
16．2或6/6或2
【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：当点P在线段OC上时；当点P在CO的延长线上时，分别列式计算即可；
【详解】根据题意分两种情况：
当点P在线段OC上时，
设t秒后是等腰三角形，
有，即，解得：；
当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用3s，
当是等腰三角形时，，
∴是等边三角形，
∴，
即，解得：；
故答案是：2或6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，解决本题的关键要注意分类讨论，当点P在点O的左侧还是在右侧分别求解．
17．2.2
【分析】先根据勾股定理求出AD的长，同理可得出AB的长，进而可得出结论．
【详解】解：在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AE＝0.7m，DE＝2.4m，
∴，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2m，AC＝AD＝2.5，
∴m，
∴BE＝AE＋AB＝0.7＋1.5＝2.2m，
故答案为：2.2．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合思想的应用．
18．4
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9﹣x）尺，利用勾股定理构造方程解方程即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2＋32＝（9﹣x）2
解得：x＝4，
答：折断处离地面的高度为4尺．
故答案为：4.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为数学问题，依据勾股定理构造方程是解题关键．
19．4680元
【分析】利用勾股定理求出DB，再利用勾股定理的逆定理证明∠BDC＝90°，然后根据即可求出空地的面积，继而可求解．
【详解】解：连接BD，

在Rt△ABD中，
∠ABC＝90°，AB＝20米，AD＝15米，
∴BD2＝AB2+AD2＝202+152＝252，
则BD＝25米，
在△ADB中，
CD＝7米，BC＝24米，DB＝25米，
∴，
∴△BDC为直角三角形，∠DCB＝90°，
∴＝×15×20+×7×24＝234（平方米），
∴四边形ABCD的面积为234平方米，
∵铺一平方米草坪需要20元，
∴234×20＝4680（元），
答：铺这块空地需要投入4680元钱．
【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，正确作出辅助线，把四边形转化为两个直角三角形是解决问题的关键．
20．24平方米
【分析】连接AC，利用勾股定理可以得出三角形ACD和ABC是直角三角形，△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．
【详解】解：连接AC，
∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，
∴AC2＝AD2+CD2＝42+32＝25，
又∵AC＞0，
∴AC＝5，
又∵BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2＝52+122＝169，
又∵AB2＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ADC＝×5×12﹣×3×4＝30﹣6＝24（m2）．

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
21．(1)5cm
(2)13cm

【分析】（1）根据题意运用勾股定理即可得出结果．
（2）根据题意连接BD、ED，两次运用勾股定理即可得出结果．
【详解】（1）解：∵、，∠ABC=90°，
∴对角线的长=cm；
（2）解：如图所示：

连接BD、ED，
在Rt△BCD中，
∵、，∠ABC=90°，
∴BD=cm；
在Rt△EBD中，ED＝cm．
故这个盒子最长能放13cm的棍子．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意，作出辅助线、构造出直角三角形是解答此题的关键．
22．(1)34
(2)6.5秒或12秒或秒

【分析】（1）由t＝4.5秒计算出BP，再用勾股定理计算即可；
（2）分BP＝AB，AP＝AB，PA＝PB三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：（1）由题意得：BP＝2t，
∴当t＝4.5秒时，BP＝2×4.5＝9，
∵BC＝12，
∴PC＝BC﹣BP＝12﹣9＝3，
∵∠ACP＝90°，
∴由勾股定理得：；
（2）（2）在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，
∴，
∴，
①当BP＝AB＝13=2t时，t＝13÷2＝6.5秒；
②当AP＝AB时，△ABP是等腰三角形，
∵∠ACB＝90°，
∴C是BP的中点，（三线合一）
∴BP＝2BC＝24，则t＝24÷2＝12秒；
③当PA＝PB＝2t时，
在Rt△APC中，∠ACP＝90°，，即
解得：t＝秒；
综上，当△ABP为等腰三角形时，t＝6.5秒或12秒或秒．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的存在性问题，等腰三角形的性质，根据题意分类讨论和用勾股定理列方程是解题的关键．
23．这时使用安全
【分析】根据题意得：AB=CD=2.5m，OA=2m，BD=0.8m，根据勾股定理可得，从而得到q=0.7，再由勾股定理可得p=2.4，即可求解．
【详解】解∶根据题意得：AB=CD=2.5m，OA=2m，BD=0.8m，
∴，
∴OD=OB-BD=0.7m，q=0.7，
∴，即p=2.4
∴，
∵，且．
∴这时使用安全．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
24．(1)是，理由见解析
(2)路线AC的长为8.45千米

【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）设AC＝x千米，则AD＝（x﹣2.5）千米．在直角△ACD中根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：∵CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米，
，
∴，
∴△CDB为直角三角形，
∴CD⊥AB；
（2）解：设AC＝x千米，则AD＝（x﹣2.5）千米．
∵CD⊥AB，∠ADC＝90°，
∴，即，
解得：x＝8.45．
答：原来的路线AC的长为8.45千米．
【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握定理是解题的关键．
25．(1)50度
(2)24海里

【分析】（1）根据题意求出OA、OB，根据勾股定理的逆定理推证出即得；
（2）根据垂线段定理即得.
【详解】（1）由题得：海里/时×2小时海里；海里/时×2小时海里，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∵由题知，
∴，
即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度.

（2）过点O作，此时OE的长度即为最近距离，
由（1）知，，，
∴在中，有，
即，
∴，
答：与港口O最近的距离是24海里.

【点睛】本题考查了勾股定理和其逆定理的应用，能熟练运用勾股定理及和其逆定理是解决本题的关键.
26．(1)村庄能听到宣传，理由详见解析
(2)村庄总共能听到4分钟的宣传

【分析】（1）根据村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米，于是得到结论；
（2）根据勾股定理得到BP=BQ=600米，求得PQ=1200米，于是得到结论．
【详解】（1）解：村庄能听到宣传，
理由：∵村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米，
∴村庄能听到宣传；
（2）解：如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶Q点结束对村庄的影响，

则AP=AQ=1000米，AB=800米，
∴BP=BQ==600（米），
∴PQ=1200米，
∴影响村庄的时间为：1200÷300=4（分钟），
∴村庄总共能听到4分钟的宣传．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意．