2021学年第五章 三角函数5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）学案

5.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)(一)

必备知识基础练

1.要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)

A．向左平移个单位  B．向右平移个单位

C．向左平移个单位  D．向右平移个单位

2．将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数是(　　)

A．y＝cos 2x         B．y＝1＋cos 2x

C．y＝1＋sin  D．y＝cos 2x－1

3．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象(　　)

A．向右平移个单位长度  B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度  D．向左平移个单位长度

4.为了得到y＝3sin(x∈R)的图象，只需把函数y＝3sin(x∈R)的图象上所有的点的(　　)

A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变

D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变

5．将函数y＝sin  x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　)

A．y＝sin  B．y＝sin

C．y＝sin  D．y＝sin

6．把函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，向下平移1个单位长度，然后再把所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sin x的图象，则y＝f(x)的解析式为(　　)

A．y＝sin＋1  B．y＝sin＋1

C．y＝sin－1  D．y＝sin－1

7.由y＝3sin  x的图象变换得到y＝3sin的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位长度，后者需向左平移________个单位长度．

8．函数f(x)＝5sin－3的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？

关键能力综合练

一、选择题

1．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为(　　)

A．2  B.

C．4  D.

2．为了得到函数y＝2sin，x∈R的图象，只需把函数y＝2sin x，x∈R的图象上所有的点(　　)

A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)

B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)

C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)

D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)

3．把函数y＝sin的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数是(　　)

A．非奇非偶函数  B．既是奇函数又是偶函数

C．奇函数  D．偶函数

4．要得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　)

A．向左平移个单位长度  B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度  D．向右平移个单位长度

5．下列表示函数y＝sin在区间上的简图正确的是(　　)

6．(易错题)把函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度可以得到函数g(x)的图象．若g(x)的图象关于y轴对称，则φ的值为(　　)

A.     B.

C.或  D.或

二、填空题

7．将函数y＝sin  4x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin(4x＋φ)(0<φ<π)的图象，则φ的值为________．

8．函数y＝sin 2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图象关于直线x＝对称，则φ的最小值为________．

9．(探究题)给出下列六种图象变换的方法：

①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；

②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；

③图象向右平移个单位长度；

④图象向左平移个单位长度；

⑤图象向右平移个单位长度；

⑥图象向左平移个单位长度．

请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sin x的图象变换为函数y＝sin的图象，那么这两种变换正确的标号是________(按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．

三、解答题

10．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值；

(2)用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象；

(3)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？写出变换过程．

学科素养升级练

1．(多选题)下列说法正确的是(　　)

A．将y＝cos x的图象向右平移个单位，得到y＝sin x的图象；

B．将y＝sin x的图象向右平移2个单位，可得到y＝sin(x＋2)的图象；

C．将y＝sin(－x)的图象向左平移2个单位，得到y＝sin(－x－2)的图象；

D．函数y＝sin的图象是由y＝sin 2x的图象向左平移个单位而得到的．

2．要得到y＝sin的图象，需将函数y＝cos的图象上所有的点至少向左平移________个单位长度．

3．(学科素养—逻辑推理)已知函数f(x)＝2sin  ωx，其中常数ω>0.

(1)若y＝f(x)在上单调递增，求ω的取值范围；

(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a<b)满足：y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值．

答案

必备知识基础练

1．解析：由图象可知＝－＝，所以T＝2π，ω＝＝1.又因为sin＝0，且0<φ<，所以φ＝.由图象可知A＝2，所以f(x)＝2sin，故选B.

答案：B

2．解析：由图象知T＝＝2＝π，所以ω＝2,2×＋φ＝2kπ(k∈Z)，又因为－<φ<，所以φ＝－.故选A.

答案：A

3．解析：由题图得解得

T＝＝2＝4π，∴ω＝.

又×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝－＋2kπ，k∈Z，

又|φ|<，∴φ＝－.故选C.

答案：C

4．解析：将函数y＝2sin  2x的图象向左平移个单位长度，所得到的图象对应函数的解析式为y＝2sin  ＝2sin，由2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z.

答案：B

5．解析：依题意得3cos＝0，＋φ＝kπ＋，φ＝kπ－(k∈Z)，因此|φ|的最小值是.

答案：A

6．解析：将函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后，得到y＝sin的图象，因为它是偶函数，所以φ＋＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝.

答案：B

7．解析：(1)由图象知，A＝，＝－2＝，T＝6，

ω＝＝，故f(x)＝sin.

又由f(x)的图象过点(2,0)，得sin＝0，

所以＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z，

又因为|φ|<，所以φ＝，

故f(x)＝sin.

所以f(x)的最小正周期为6，

f(x)＝sin.

(2)由题意，得

g(x)＝sin＝sin.

由x∈，得x－∈.

故当x－＝，即x＝1时，g(x)取得最大值，且g(x)max＝；

当x－＝－，即x＝－1时，g(x)取得最小值，且g(x)min＝－.

关键能力综合练

1．解析：由图知T＝4×＝π，∴ω＝＝2.又x＝时，y＝1，经验证，可得D项解析式符合题目要求．

答案：D

2．解析：由已知得＝2×，故ω＝2.

y＝cos  2x向右平移个单位长度可得

y＝cos  2＝cos的图象．

答案：A

3．解析：由题意知－≥，故T＝≤π，ω≥2.

答案：A

4．解析：由图象可知A＝2，φ＝2kπ，k∈Z，T＝8，

∴＝8，即ω＝，∴f(x)＝2sin.

∵周期为8，且f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝2sin＋2sin＋2sin＋2sin π＋2sin＋2sin＝.

答案：A

5．解析：由题意，得且函数的最小正周期T＝4×＝2π，故ω＝＝1.代入①式得φ＝kπ＋(k∈Z)．又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin＋2.故函数f(x)的值域为[1,3]，初相为，A，B，C均错误．令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，令k＝1，则≤x≤，故f(x)在上单调递增，D正确．

答案：D

6．解析：当a＝0时，f(x)＝1，C符合，当0<|a|<1时，T>2π，且最小值为正数，A符合，当|a|>1时，T<2π，且最小值为负数，B符合，排除A，B，C.D项中，由振幅得a>1，∴T<2π，而由图象知T>2π矛盾，故选D.

答案：D

7．解析：由4x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－＋，k∈Z，所以当k＝1时，x＝－＝，即离原点最近．

答案：

8．解析：①当x＝时，函数的值为3.②当x∈时，－≤2x－≤，

所以f(x)的值域为.

答案：x＝　

9．解析：对于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ(k∈Z)．

∴x＝－，∴x1－x2是的整数倍，∴①错误；

对于②，f(x)＝4sin利用公式得：

f(x)＝4cos＝4cos，∴②正确；

对于③，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ，k∈Z，∴x＝－，k∈Z.

∴是函数y＝f(x)的一个对称中心，∴③正确；

对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ，k∈Z.

∴x＝＋，k∈Z，∴④错误．

答案：②③

10．解析：(1)由题意作出f(x)的简图如图．

由图象知A＝2，由＝2π，得T＝4π，

∴4π＝，即ω＝，∴f(x)＝2sin，

∴f(0)＝2sin φ＝1，

又∵|φ|<，∴φ＝，

∴f(x)＝2sin.

∵f(x0)＝2sin＝2，

∴x0＋＝＋2kπ，k∈Z.

∴x0＝4kπ＋，k∈Z，

又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点，∴x0＝.

(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，

得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，

∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

(3)∵－π≤x≤π，∴－≤x＋≤，

∴－≤sin≤1，∴－≤f(x)≤2，

故f(x)的值域为[－，2]．

学科素养升级练

1．解析：f(x)＝sin 2x－2sin2x＋1－1＝sin  2x＋cos  2x－1＝sin－1.

对于A：因为ω＝2，则f(x)的最小正周期T＝π，结论正确．

对于B：当x∈时，2x＋∈，则sin x在上是减函数，结论正确．

对于C：因为f＝－1，得到函数f(x)图象的一个对称中心为，结论不正确．

对于D：函数f(x)的图象可由函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位得到，结论不正确．

故正确结论有A，B，故选A，B.

答案：AB

2．解析：依题意知f(x)＝sin(ω>0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，∴f(x)图象关于直线x＝对称，

即关于直线x＝对称，且－<T＝，

∴·ω＋＝＋2kπ，k∈Z，且0<ω<12，∴ω＝.

答案：

3．解析：作出函数y＝sin在区间(0,2π)上的图象如图所示．

(1)若方程sin＝m在区间(0,2π)内有两相异实根α，β，则y＝sin的图象与y＝m有两个相异的交点．观察图象知，当－＜m＜且m≠1时有两个相异的交点，即方程sin＝m在区间(0,2π)内有两个相异实根，故实数m的取值范围为(－，1)∪(1，)．

(2)当m∈(－，1)时，由图象易知两交点关于直线x＝对称，

∴＝，α＋β＝.

当m∈(1，)时，由图象易知两交点关于直线x＝对称，

∴＝，α＋β＝，故α＋β的值为或.