初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数教课ppt课件

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数教课ppt课件，共27页。PPT课件主要包含了情景引入，待定系数法，探究归纳，归纳总结，试一试，即a−1，解得a−1，a＋b＋c＝1，c＝−4，a−b＋c＝−5等内容，欢迎下载使用。

给我几个点的坐标，我就能求出对应的二次函数解析式，你会吗？
那有什么难的？不就和求一次函数表达式一样的吗？
看到下面的对话，你还记得求一次函数表达式的方法吗？
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
(1)设：（表达式）(2)代：（坐标代入）(3)解：方程（组）(4)还原：（写表达式）
问题 （1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？
由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标，可以确定一次函数的解析式，类似地，由不共线（三点不在同一直线上）的坐标，可以确定二次函数的解析式.
（2）如果一个二次函数的图象经过（−1，10 ），（1，4），（2，7）三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.
所求二次函数解析式为y=2x2−3x+5.
（2）解：设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.
由已知，图象经过(−1，10 )，(1，4)，(2，7)三点，得关于a，b，c的三元一次方程组
想一想确定二次函数的这三点应满足什么条件？
任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴）.
例1 一个二次函数的图象经过(0，1)、(2，4)、(3，10)三点，求这个二次函数的表达式.
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c，由于这个函数经过点(0，1)，可得c=1.又由于其图象经过(2，4)、(3，10)两点，可得
∴所求的二次函数的表达式是
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：①设函数表达式为y=ax2+bx+c；②代入后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a，b，c的值；④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
用一般式法求二次函数表达式的方法
练一练：下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：
试求出这个二次函数的表达式.
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c，把（−3，0），（−1，0），（0，−3）代入y=ax2+bx+c得
①选取(−3，0)，(−1，0)，(0，−3)，试求出这个二次函数的表达式.
∴所求的二次函数的表达式是y=−x2−4x−3.
待定系数法步骤：1.设：（表达式）2.代：（坐标代入）3.解：方程（组）4.还原：（写解析式）
已知二次函数y=a(x−1)2+4的图象经过点(−1，0)．求这个二次函数的解析式；
则函数解析式为y=−(x−1)2+4.
解：把（−1，0）代入二次函数解析式 得4a+4=0，
例2 一个二次函数的图象经过点(0，1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式.
解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8，9)，因此，可以设函数表达式为 y=a(x-8)2+9.
用顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x−h)2+k；②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.
练一练 已知一个二次函数有最大值4．且x＞5时，y随x的增大而减小，当x＜5时，y随x的增大而增大，且该函数图象经过点(2，1)，求该函数的解析式．
解：由题意得，二次函数的顶点坐标为（5，4），
设关系式为y=a(x−5)2+4，把(2，1)代入得，1=9a+4，
解：∵(−3，0)、(−1，0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x−x1)(x−x2).其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
a(0+3)(0+1)=−3，
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=−x2−4x−3.
问题 选取(−3，0)，(−1，0)，(0，−3)，试求出这个二次函数的表达式.
用交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x−x1)(x−x2)；②先把两交点的横坐标x1， x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；③将方程的解代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.
例3 分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．（1）图象经过点A(1，0)，B(0，−3)，对称轴是直线x=2；
解：∵图象经过点A(1，0)，对称轴是直线x=2，
∴图象经过另一点(3，0).
∴设该二次函数的解析式为y=a(x−1)(x−3).
将点(0，−3)代入，得
−3=a·(−1)(−3)
∴该二次函数的解析式为y=−(x−1)(x−3)=−x2+4x−3.
（2）图象顶点坐标是(−2，3)，且过点(1，−3)；
解：∵图象的顶点为(−2，3)，且经过点(1，−3)，
设抛物线的解析式为y=a(x+2)2+3，
把(1，−3)代入，得a(1+2)2+3=−3，
（3）如图，图象经过A，B，C三点．
解：根据图象可知抛物线y=ax2+bx+c经过A(−1，0)，B(0，−3)，C(4，5)三点，
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3.
1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 .
注 y=ax2与y=ax2+k、y=a(x−h)2、y=a(x−h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.
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2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式是 .
y=−2(x−1)2+6
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3.已知二次函数的图象经过点(−1，−5)，(0，−4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．依题意得
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x−4.
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4.已知抛物线与x轴相交于点A(−1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．
解：因为点A(−1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的表达式为y＝a(x+1)(x−1)．又因为抛物线过点M(0，1)，所以1＝a(0+1)(0−1)，解得a＝−1，所以所求抛物线的表达式为y＝−(x+1)(x−1)，即y＝−x2+1.
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5.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(−4，−3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝−3，请解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
解：(1)把点A(−4，−3)代入y＝x2＋bx＋c.得16−4b+c＝−3，c −4b＝−19.∵对称轴是x＝−3，∴ ＝−3，∴b＝6，∴c＝5，∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5.
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(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．
(2)∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝−3对称．∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，∴点C的横坐标为−7，∴点C的纵坐标为(−7)2＋6×(−7)＋5＝12.∵点B的坐标为(0，5)，∴△BCD中CD边上的高为12−5＝7，∴S△BCD＝ ×8×7＝28.
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②已知顶点坐标或对称轴、最值
③已知抛物线与x轴的两个交点
用一般式法：y=ax2+bx+c
用顶点法：y=a(x−h)2+k
用交点法：y=a(x−x1)(x−x2) (x1，x2为交点的横坐标)
待定系数法求二次函数解析式
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