高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线优秀精练

3.3抛物线同步练习人教  A版（2019）高中数学选择性必修第一册

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则

A.  B. 3 C.  D. 2

2. 已知抛物线的焦点为F，过点的直线交抛物线于A，B两点，若，则     

A. 2 B.  C.  D. 与p有关

3. 已知曲线：，则以下判断错误的是   

A. 或时，曲线一定表示双曲线
B. 时，曲线一定表示椭圆
C. 当时，曲线表示等轴双曲线
D. 曲线不能表示抛物线

4. 以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为

A.  B.  C.  D.

5. 设O为坐标原点，直线与抛物线C：交于D，E两点，若，则C的焦点坐标为

A.  B.  C.  D.

6. 已知抛物线E：上一点T到E的焦点的距离为8，则点T的横坐标可以是 

A. 8 B.  C. 6 D.

7. 抛物线的焦点坐标是   

A.  B.  C.  D.

8. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点P满足，则动点P的轨迹方程是       

A.  B.  C.  D.

9. 已知F为抛物线C：的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则的最小值为

A. 16 B. 14 C. 12 D. 10

10. 已知F是抛物线的焦点，P是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为   

A.  B.  C.  D.

11. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为

A.  B. 2 C.  D. 4

12. 已知A为抛物线C：上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则

A. 2 B. 3 C. 6 D. 9

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知点A是抛物线上一点，F为其焦点，以F为圆心、为半径的圆交准线于B，C两点，若为等腰直角三角形，且的面积是，则抛物线的方程是          ．
14. 设抛物线的焦点为F，点，线段FA与抛物线交于点B，且，则          
15. 若抛物线C：上的点M到焦点F的距离与到y轴的距离之差为2，则          ．
16. 已知抛物线的一条弦AB恰好以为中点，则弦AB所在直线方程是          ．

三、多空题（本大题共2小题，共10.0分）

17. 已知抛物线的焦点为F，准线方程为，点是抛物线上的一点，则实数          ，          ．
18. 设O为坐标原点，抛物线C：的焦点坐标为          ，过的直线与抛物线在第一象限的交点为M，若点Q满足，则直线OQ斜率的最小值为          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 已知抛物线过点．
    求抛物线C的方程；
    过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN的斜率分别为，，求证：为定值．
     

20. 如图，已知点为抛物线的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记，的面积分别为，．
    
    
     

求p的值及抛物线的准线方程；

求的最小值及此时点G的坐标．






 

21. 抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且，已知点，且与l相切．
    求抛物线C，的方程；
    设，，是抛物线C上的三个点，直线，均与相切，判断直线与的位置关系，并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知的顶点，点B在x轴上移动，，且BC的中点在y轴上．

求C点的轨迹的方程；

已知轨迹上的不同两点M N，与的连线的斜率之和为2，求证：直线MN过定点．






 

23. 已知抛物线C：，过点的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
    证明：坐标原点O在圆M上；
    设圆M过点，求直线l与圆M的方程．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的简单性质，考查计算能力．
根据得出点Q的横坐标为1，代入抛物线方程，得到点Q的纵坐标，于是可求出．

【解答】

解：设，
因为抛物线C：，
故焦点为，准线为l：，
P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，
故，
则，，
因为，则，
所以，
将代入抛物线方程，得，
则，
故选B．

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的坐标运算，考查抛物线的定义，属于拔高题．
设直线方程为，代入，可得，设，，得出，结合向量的坐标运算求解．

【解答】

解：由题意得直线AB的斜率存在且不为0，
且直线过点，可设其方程为．
联立消去y整理得．
所以，
设，，则
，，
，即  ．
由可得或舍去，
．
故选B．

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆，双曲线，抛物线的标准方程．
依题意，根据椭圆，双曲线，抛物线标准方程的特征逐项判断即可．

【解答】

解：对：，当，
即或时，曲线表示双曲线，
当时，：表示等轴双曲线，因此A，C正确；
当，即且时，曲线表示椭圆，故B错误，
因为无论取何值，曲线方程均只含，项与常数项，不能表示抛物线，因此D正确；
故选B．

4.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线标准方程的求法，属于基础题．
根据双曲线方程，算出它的右顶点坐标，也是抛物线的焦点，由此设出抛物线方程为，，结合抛物线焦点坐标的公式，可得，从而得出该抛物线的标准方程．

【解答】

解：由双曲线方程，可知其焦点在x轴上，
由，得，
该双曲线右顶点的坐标是，
即抛物线的焦点为，
设抛物线的标准方程为，
由，得，
故所求抛物线的标准方程为．
故选A．

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
利用已知条件转化求解E、D坐标，通过，求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点坐标．

【解答】

解：将代入抛物线，可得，，可得，
即，解得，
所以抛物线方程为：，它的焦点坐标．
故选：B．

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的定义，属于基础题．
由抛物线的定义可得点T到焦点的距离等于点T到准线的距离，可得点T的横坐标．

【解答】

解：设，由抛物线的方程可得准线方程：，
由抛物线的性质可得，可得，
代入抛物线方程可得，
故选：B．
 

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的标准方程，是基础题．
得到抛物线的标准方程，即可求解焦点坐标．

【解答】

解：抛物线，化为，
，， 
它的焦点坐标为：
故选：A．

8.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查动点的轨迹问题，考查向量的模，属于中档题．
设出P点，求出，根据，即可求出答案．

【解答】

解：设，，，
，，
因为，
所以，
整理得，
所以动点P的轨迹方程是，
故答案选：A．

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了抛物线的定义以及直线和抛物线的位置关系，考查了基本不等式，属于中档题．
设出两直线的方程，与抛物线方程联立，利用定义分别表示出，，利用基本不等式即可求得答案．

【解答】

解：如图，易知抛物线的焦点为，准线方程为．

由题意两直线斜率一定存在，
设，且，
则
联立
得
则，
，
则根据抛物线定义可得 

同理可得，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为16．
故选A．

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查与抛物线定义有关的最值问题．
先求出，当PA与抛物线的准线垂直时，的值最小，由此可得答案．

【解答】

解：因为抛物线的焦点为，准线为，
点在抛物线的内部，
因为，
抛物线上的点到焦点与到准线的距离相等，
又因为P为抛物线上的动点，
则PA与抛物线的准线垂直时，的值最小，
则，
所以的周长最小值为：，
故选B．

11.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆及抛物线的简单几何性质，考查转化思想，属于基础题．
求得椭圆的焦点坐标，由题意可得，即可求得p的值．

【解答】

解：由椭圆，，，
则椭圆的焦点右焦点，
由抛物线的焦点为，则，则，
故选：D．

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查抛物线定义的应用，属于基础题．
直接利用抛物线的定义解题即可．

【解答】

解：A为抛物线C：上一点，
点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，
因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，
故有．
故选C．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的定义、方程，考查等腰直角三角形性质以及运算能力，属于中档题．
由等腰直角三角形性质可得，由抛物线的定义和三角形的面积公式，计算即可得到p的值，进而得到抛物线方程．

【解答】

解：由题意可得，
可得，，从而，
由抛物线的定义可得A到准线的距离也为，
又的面积为，
可得，
解得，则抛物线的方程为．

故答案为．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质、向量的坐标计算，属中档题．

根据抛物线方程可表示出焦点F的坐标，设B的坐标为，把和用坐标表示，根据，进而用p表示B点的坐标，代入抛物线方程求得，整体代入可求．

【解答】

解：依题意可知F坐标为，设B的坐标为，

点，
，，
，
，
，，
，，
把代入抛物线方程解得，

，

，
故答案为．

15.【答案】4
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了抛物线的概念，属于较易题．
过M点作MN垂直于准线l，垂足为N，由抛物线的概念可知，，列式可得结果．

【解答】

解：过M点作MN垂直于准线l，垂足为N，
由抛物线的概念可知，，
设，则，解得，
故答案为4．

16.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．涉及曲线弦的中点和斜率时，一般可采用点差法，属于中档题．
设出A，B坐标，分别代入抛物线方程，两式相减整理，利用中点的纵坐标求得直线AB的斜率，再由点斜式方程即可得到所求直线方程．

【解答】

解：设，，
代入抛物线方程得，，
整理得，
中点为

，，
，
则弦AB所在直线方程为，即为．
故答案为．

17.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了抛物线的性质，考查了计算能力，属于基础题．
根据抛物线的准线方程，求得m的值，将点代入抛物线方程求得的值，继而根据求解．

【解答】

解：抛物线的准线方程为，
，则．
点是抛物线上的一点，
，
，
．
故答案为8；4．

18.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的性质，考查平面向量的加减运算，考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
把抛物线方程化为标准方程，即可求得其焦点，设，，利用向量求出点Q坐标，从而求得直线OQ斜率的表达式，利用基本不等式即可求得最小值．

【解答】

解：抛物线标准方程为，，，
所以焦点坐标为，
设，则


，
直线OQ的斜率为
，
当且仅当即时取等号，
故直线OQ的斜率最小为．
故答案为．

19.【答案】解：由题意抛物线过点，
所以，
所以抛物线的方程为；
证明：设过点的直线方程为，
即，
代入得，
设，，则，，
所以




，
所以为定值．
 

【解析】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；
设过点的直线方程为，即，代入，利用韦达定理，结合斜率公式化简，即可证明为定值．
 

20.【答案】解：Ⅰ由抛物线的性质可得：，
，
抛物线的准线方程为；
Ⅱ设，，，重心，
令，，则，
由于直线AB过F，故直线AB的方程为，
代入，得：，
，即，，
又，，重心在x轴上，
，
，，
直线AC的方程为，得，
在焦点F的右侧，，
，
令，则，
，
当时，取得最小值为，此时．
 

【解析】本题考查抛物线准线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形的面积的比值的最小值及相应点的坐标的求法，是难题．
Ⅰ由抛物线的性质可得：，由此能求出抛物线的准线方程；
Ⅱ设，，，重心，令，，则，从而直线AB的方程为，代入，得：，求出，由重心在x轴上，得到，从而，，可得直线AC的方程为，得，由此结合已知条件能求出结果．
 

21.【答案】解：因为与抛物线有两个不同的交点，
故可设抛物线C的方程为：，
令，则，
根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在x轴下方，
故，
因为，故，
抛物线C的方程为：，
因为与l相切，故其半径为1，故：；
设，，，
当，，其中某一个为坐标原点时假设为坐标原点时，
设直线方程为，
根据点到直线距离为1可得，解得，
联立直线与抛物线方程可得，
此时直线与的位置关系为相切，
当，，都不是坐标原点时，即，
直线的方程为，
此时有，，即，
同理，由对称性可得，，
所以，是方程的两根，
依题意有，直线的方程为，
令M到直线的距离为d，则有，
此时直线与的位置关系也为相切，
综上，直线与相切．
 

【解析】本题主要考查抛物线方程的求解，圆的方程的求解，分类讨论的数学思想，直线与圆的位置关系，同构、对称思想的应用等知识，属于较难题．
由题意结合直线垂直得到关于p的方程，解方程即可确定抛物线方程，然后利用直线与圆的关系确定圆的圆心和半径即可求得圆的方程；
分类讨论三个点的横坐标是否相等，当有两个点横坐标相等时明显相切，否则，求得直线方程，利用直线与圆相切的充分必要条件和题目中的对称性可证得直线与圆相切．
 

22.【答案】解：设，因为B在x轴上且BC中点在y轴上，所以，
由，得，
化简得，所以C点的轨迹的方程为．
证明：由题可知，直线MN的斜率不为0，
设直线MN的方程为，，，
则有
由得，
，
所以  ，，
，同理，
所以，化简得，
所以直线MN过定点．
 

【解析】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
利用直接法，求C点的轨迹的方程；
设直线MN的方程为，与抛物线方程联立，利用斜率之和为2，即可证明结论．
 

23.【答案】证明：当直线l的斜率不存在时，取，则，
则，，则，
，
则坐标原点O在圆M上；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程，，，
由，整理得：，
易知恒成立，
则，，由，
得，
所以，
则，则坐标原点O在圆M上，
综上可知：坐标原点O在圆M上；
解：由题意，圆M过点，可知：直线l的斜率存在且不为0，
设，，
由可知：，，，，
圆M过点，则，，
由，则，
整理得：，解得：或，
当时，直线l的方程为，
则，，
设圆M的圆心为M点，
则，半径为丨MP丨，
圆M的方程；
当直线斜率时，直线l的方程为，
同理求得，则半径为丨MP丨，
圆M的方程为，
综上可知：直线l的方程为，圆M的方程，
或直线l的方程为，圆M的方程为．
 

【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查计算能力，属于较难题．
若证明坐标原点O在圆M上，则证明，即证明即可；
设出直线方程，与抛物线方程联立，然后利用，即可解出k的值，从而得解．