初中数学北师大版八年级上册第一章 勾股定理3 勾股定理的应用同步达标检测题

第7天 勾股定理的应用

一．选择题（共10小题）

1．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）

A．x2﹣9＝（20﹣x）2 B．x2﹣92＝（20﹣x）2 

C．x2+9＝（20﹣x）2 D．x2+92＝（20﹣x）2

【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．

【解答】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB＝（20﹣x）尺，BC＝9尺，

在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+92＝（20﹣x）2．

故选：D．

2．如图，一块三角形木板，测得AB＝13，BC＝5，AC＝12，则三角形木板ABC的面积为（　　）

A．60 B．30 C．65 D．不能确定

【分析】根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形，故可求出面积．

【解答】解：∵AB2＝132＝169，

BC2+AC2＝52+122＝169，

∴AB2＝BC2+AC2，

即△ABC是直角三角形，

∴S△ABCBC×AC

5×12

＝30，

故选：B．

3．如图，“今有竹高两丈五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高两丈五尺（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部五尺远，则折断处离地面的高度为（　　）

A．5尺 B．25尺 C．13尺 D．12尺

【分析】由题意可作一个直角三角形ABC，设AC长为x尺，则BC长为（25﹣x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理列出方程即可解决问题．

【解答】解：如图：由题意可知AB＝5尺，设AC长为x尺，则BC长为（25﹣x）尺，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2，

则x2+52＝（25﹣x）2，

解得：x＝12，即AC＝12尺，

故选：D．

4．如图，学校要把宣传标语挂到教学楼的顶部C处，已知楼顶C处离地面的距离CA为8m，为保证安全，梯子的底部和墙基的距离AB至少为4m，要使云梯的顶部能到达C处，估计云梯的长度至少为（　　）

A．8m B．9m C．10m D．12m

【分析】利用勾股定理求出BC的长度，估算后即可得到答案．

【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8m，AB＝4m，

∴BC（m），

∵89，

∴云梯的长度至少9m，

故选：B．

5．我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝2，BC＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　）

A． B．8 C． D．

【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．

【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，

则x2＝62+22＝40，

所以x＝2，

所以风车的外围周长为4（BD+AC）＝4（23）＝812．

故选：D．

6．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（　　）

A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺

【分析】先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为（x+2）尺，根据勾股定理可得方程x2+82＝（x+2）2，再解即可．

【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得：

x2+82＝（x+2）2，

解得：x＝15，

所以x+2＝17．

即：这个芦苇的高度是17尺．

故选：C．

7．如图，一棵高为10m的大树被台风刮断，若树在离地面4m处折断，树顶端刚好落在地面上，折断后树顶端离树底部（　　）m．

A．6 B．4 C． D．

【分析】根据题意结合勾股定理即可求得折断后树顶端离树底部的距离．

【解答】解：如图：

∵AB＝4米，BC＝10﹣4＝6（米），

∵∠A＝90°

∴AB2+AC2＝BC2

∴42+AC2＝62，

解得：AC＝2，

∴折断后树顶端离树底部有2米．

故选：D．

8．将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的取值范围是（　　）

A．0≤h≤12 B．12≤h≤13 C．11≤h≤12 D．12≤h≤24

【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．

【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12（cm）．

当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，

如图所示：此时，AB13（cm），

故h＝24﹣13＝11（cm）．

故h的取值范围是：11cm≤h≤12cm．

故选：C．

9．如图，正四棱柱的底面边长为10cm，侧棱长为16cm，一只蚂蚁从点A出发，沿棱柱侧面到点C′处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（　　）cm．

A．8 B．4 C．2 D．12

【分析】把长方体展开为平面图形，分两种情形求出AC′的长即可判断．

【解答】解：把长方体展开为平面图形，分两种情形：

如图1中，AC′2（cm），

如图2中，AC′4（cm），

∵42，

∴爬行的最短路径是4cm，

故选：B．

10．如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，则旗杆的高度为（　　）米．

A．5 B．12 C．13 D．17

【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．

【解答】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为（x+1）米，

在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，

解得，x＝12．

答：旗杆的高度为12米．

故选：B．

二．填空题（共5小题）

11．如图，做一个长80cm，宽60cm的长方形木框，需在相对角的顶点钉一根加固木条，则木条的长为 　100　cm．

【分析】由于长方形木框的宽和高与所加固的木条正好构成直角三角形，故可利用勾股定理解答．

【解答】解：设这条木条的长度为x厘米，

由勾股定理得：x2＝802+602，

解得x＝100厘米．

故答案为：100．

12．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时，水平距离CD＝6m，踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则AC的长是m　7.5　．

【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝（x﹣3）m，利用勾股定理可得x2＝62+（x﹣3）2．

【解答】解：设秋千绳索AB的长度为xm，

由题意可得AC＝AB＝xm，

四边形DCFE为矩形，BE＝1m，DC＝6m，CF＝4m，DE＝CF＝4m，

∴DB＝DE﹣BE＝3m，AD＝AB﹣BD＝（x﹣3）m，

在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，

即（x﹣3）2+62＝x2，

解得x＝7.5，

即AC的长度为7.5m，

故答案为：7.5．

13．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时16nmile的速度沿北偏东30°方向航行，“海天”号以每小时12nmile的速度沿北偏西60°方向航行．一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 　20　nmile．

【分析】根据题意，可得∠RPQ＝60°+30°＝90°，利用路程＝速度×时间，分别算出PQ，PR的长度，在直角△PRQ中，利用勾股定理计算出RQ．

【解答】解：由题意可得，∠RPQ＝60°+30°＝90°，

PQ＝16×1＝16，PR＝12×1＝12，

∴RQ20nmile，

故答案为：20．

14．2021年5月22日，在甘肃省白银市景泰县黄河石林景区举行了黄河石林山地马拉松百公里越野赛．如图，是矗立在水平地面上的马拉松赛道路牌．经测量得到以下数据：AC＝4m，BE＝8m，∠DAC＝45°，∠EBC＝30°，∠DCA＝90°，则路牌的高DE为 　（44）　m．

【分析】由∠ADC＝∠CAD＝45°，得AC＝CD＝4m，在Rt△BCE中，由∠EBC＝30°，BE＝8m，则CEBE＝4m即可求出答案．

【解答】解：∵∠DCA＝90°，∠DAC＝45°，

∴∠ADC＝∠CAD＝45°，

∴AC＝CD＝4m，

在Rt△BCE中，∵∠EBC＝30°，BE＝8m，

∴CE84（m），

∴DE＝CE﹣CD＝（44）m，

故答案为：（44）．

15．如图，由边长为1m的正方形地砖铺设的地面．一只蚂蚁沿图中A→B→C的线路爬行，则蚂蚁沿该路线从点A爬行到点C的路程长为 　3　m（结果保留根号）．

【分析】利用勾股定理分别求出AB，BC的长即可解答．

【解答】解：由勾股定理得：

AB，BC（m），

∴AB+BC（m），

故答案为：3．

三．解答题（共3小题）

16．如图，将长为2.5米的梯子AB斜靠在墙AO上，BO长0.7米．如果将梯子的顶端A沿墙下滑0.4米，即AM等于0.4米，则梯脚B外移（即BN长）多少米？

【分析】直角利用勾股定理求出AO，ON的长，再利用NB＝ON﹣OB，即可求出答案．

【解答】解：由题意得：AB＝2.5米，BO＝0.7米，

在Rt△ABO中，由勾股定理得：

AO2.4（米），

∴MO＝AO﹣AM＝2.4﹣0.4＝2（米），

在Rt△MNO中，由勾股定理得：

NO1.5（米），

∴NB＝ON﹣OB＝1.5﹣0.7＝0.8（米），

∴梯脚B外移（即BN长）0.8米．

17．如图，车高4m（AC＝4m），货车卸货时后面挡板AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C＝2m，求BC的长．

【分析】设BC＝xm，则AB＝A1B＝（4﹣x）m，在Rt△A1BC中利用勾股定理列出方程22+x2＝（4﹣x）2，进而解答即可．

【解答】解：由题意得，AB＝A1B，∠BCA＝90°，

设BC＝xm，则AB＝A1B＝（4﹣x）m，

在Rt△A1BC中，A1C2+BC2＝A1B2，

即：22+x2＝（4﹣x）2，

解得：x＝1.5．

答：BC的长为1.5米

18．某初中“数学兴趣小组”开展实践活动，在校园里测量一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边CD上有水池和建筑物遮挡，没有办法直接测量其长度．经测量得知AB＝AD＝60米，∠A＝60°，BC＝80米，∠ABC＝150°．如果你是数学兴趣小组的成员，请根据测量数据求出CD的长度．

【分析】直接利用等边三角形的判定与性质得出BD的长，再利用勾股定理得出DC的长．

【解答】解：连接BD，∵AB＝AD＝60m，∠A＝60°

∴△ABD为等边三角形，

∴BD＝AB＝AD＝60m，且∠ABD＝60°，

∵∠ABC＝150°，

∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝90°，

在Rt△CBD中，∠DBC＝90°，BC＝80m，BD＝60m，

根据勾股定理得：BC2+BD2＝CD2，

即CD100（m），

答：CD的长度为100m．