2020-2021学年14.3空间直线与平面的位置关系教学设计及反思

空间直线和平面的位置关系

【教学目标】

在通过观察和实验，探索直线和平面平行的位置关系的过程中，理解空间直线和平面平行的含义，会用文字语言、图形语言、符号语言表述这种位置关系，掌握空间直线和平面平行的判定定理和性质定理，掌握空间平面和平面平行的性质定理，并会简单的应用，体会化归和转化的数学思想方法。

【教学重难点】

1．空间直线和平面平行的判定定理、性质定理；

2．空间平面和平面平行的性质定理。

【教学过程】

一、情景引入

引例：复习直线和平面的位置关系：

。

说明：同时用图形语言、符号语言、几何语言表述这些位置关系。

前面我们已经研究了空间直线和平面垂直，也掌握了这样一个规律：要证线线垂直，可找线面垂直，反之亦然。即：

今天我们来探索空间中直线和平面平行有没有这样一种规律，并且有什么作用。

二、学习新课

1．概念形成：

如何判定一条直线和一个平面平行呢？

问题1：

（1）在黑板的上方装一盏日光灯，怎样才能使日光灯与天花板平行呢？

（2）将课本的一边紧贴桌面，沿着这条边转动课本，课本的上边缘与桌面的关系如何呢？

（3）把门打开，门上靠近把手的边与墙面所在的平面有何关系？

说明：引导学生类比直线与平面垂直的研究方法，利用“降维”的思想将直线与平面平行的问题转化为直线和直线平行的问题。

直线和平面平行的判定定理：

如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

符号语言：；图形语言：

说明：

（1）该定理可简述为：线线平行线面平行。

（2）用该定理判断直线和平面是否平行时必须具备三个条件：，这三个条件缺一不可。

（3）该定理的作用：证明线面平行。

辨析1．如图，长方体中，

（1）与AB平行的平面是______。

（2）与平行的平面是______。

（3）与AD平行的平面是______。

说明：通过此例，加深对定理的理解。掌握寻找与直线平行的平面的方法。

问题2：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线一定平行于这个平面内的所有直线吗？即该定理的逆命题是否成立？试举例说明。

说明：学生很易通过举例说明知道该定理的逆命题不成立。此时可让学生思考加上什么条件可让结论成立，引出以下定理：

直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

符号语言：。

图形：

证明：

方法（一）：定义法；

方法（二）：反证法。

说明：

（1）课本上定理的证明采用了反证法，应用反证法时注意体会：

①“导出矛盾，肯定结论”是反证法的精髓，“否定之否定等于肯定”是反证法的原理。

②证题过程“没有把假设作为已知使用”的证法不能算作反证法。

（2）该定理可简述为：线面平行线线平行。

（3）该定理可看作直线和直线平行的判定定理。

（4）定理中的三个条件缺一不可。

（5）其作用是证明线线平行。

辨析2．以下命题（其中a，b表示直线，表示平面），

（1）若a∥b，b，则a∥；

（2）若a∥，b∥，则a∥b；

（3）若a∥b，b∥，则a∥；

（4）若a∥，b，则a∥b；

（5）过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条。

其中正确命题的个数是 （  ）

A．0个；B．1个；C．2个； D．3个。

说明：通过问题辨析，进一步加深对直线和平面平行的判定定理和性质定理的理解。体会三个条件的缺一不可。

2．例题分析：

例1．如图，正方体中，E为的中点，

试判断与平面AEC的位置关系，并说明理由。

说明：

1．要证明直线与平面平行可以运用判定定理；

2．能够运用定理的条件是要满足六个字：“面外、面内、平行”；

3．运用定理的关键是找平行线；找平行线又经常会用到三角形中位线定理。

例2．如下图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB．PD上的点，且=，求证：直线MN∥平面PBC．

分析：要证直线MN∥平面PBC，只需证明MN∥平面PBC内的一条直线或MN所在的某个平面∥平面PBC．

证法一：过N作NR∥DC交PC于点R，连结RB，依题意得：====NR=MB，∵NR∥DC∥AB，∴四边形MNRB是平行四边形。∴MN∥RB．又∵RB平面PBC，∴直线MN∥平面PBC．

证法二：过N作NR∥DC交PC于点R，连结RB，依题意有==，∴=，=++=。∴MN∥RB．又∵RB平面PBC，∴直线MN∥平面PBC．

说明：

（1）要证明直线与平面平行根据判定定理应该找平行线；但找平行线又根据性质定理的思想关键是找一个平面，借此可充分领会平行链的作用。

（2）找平行线经常会用到平行线分线段成比例的性质。

（3）鼓励学生一题多解。

说明：本题重点考查直线与平面平行的性质。

例3．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。即：

已知：，

求证：。

证法一：与没有公共点，

与也没有公共点，

。

。

证法二：反证法。

说明：实际这就是两个平面平行的性质定理，它的作用是判定两直线平行。成立的条件有三个，缺一不可。

3．问题拓展：

问题3：两平面平行的条件是什么呢？能否转化为线面平行问题呢？

问题4：一个平面内至少有几条直线和另一个平面平行可以确保两个平面平行即不相交？

说明：引导学生分别研究一条直线、两条直线、无数条直线和一个平面平行的情况，得出结论：要想两平面平行，只要一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面即可。

两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

符号语言：

说明：

（1）定理成立的条件有四条，缺一不可。特别注意“线不在多，相交则灵”。

（2）其作用是判定两平面平行。

（3）根据两个平面平行及直线和平面平行的定义，容易得出下面的结论：，即：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。

到此为止，线线、线面、面面平行之间形成了一个非常完美的平行链。

例4．学习了两个平面平行的判定定理后，你是否还有其它方法解决例2？

证法三：过N作NQ∥AD交PA于点Q，连结QM，∵==，∴QM∥PB．又NQ∥AD∥BC，∴平面MQN∥平面PBC，∴直线MN∥平面PBC．

说明：体会平行链中蕴含的数学思想：转化、降维。

例5．判断下列命题是否正确，并说明理由。

（1）若平面内的两条直线分别与平面平行，则与平行；

（2）若平面内有无数条直线分别与平面平行，则与平行；

（3）平行于同一直线的两个平面平行；

（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行；

（5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面。

说明：通过问题辨析，加深对定理条件的理解。

三、巩固练习

已知分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱的中点（如图），

求证：∥平面。

说明：通过练习进一步掌握求直线和平面平行的判定定理及性质定理。

【作业布置】

1．如图，已知分别是三棱锥的侧棱的中点，求证：平面。

分析：要证明平面，只要在平面内找一条直线与平行。

证明：，

又∵平面，且平面，

∴平面。

2．求证：如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中两条直线平行，那么第三条直线也和它们平行。

已知：平面，，，，且，

求证：。

证明：，又∵，且，∴。

同理，。