2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）3-6 整式的加减（2）（解析版）练习题

3.6  整式的加减（2）

（满分100分     时间：40分钟）       班级              姓名               得分          

一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）

1．已知一个多项式的 2 倍与3x2 9x 的和等于－x2＋5x－2，则这个多项式是(          )

A．－4x2－4x－2 B．－2x2－2x－1 C．2x2＋14x－2 D．x2＋7x－1

【答案】B

【分析】

设这个多项式为A，根据题意，得：2A+3x2  9x=－x2＋5x－2则A=[－x2＋5x－2－（3x2  9x）] ÷2，再利用整式的加减进行去括号合并同类项，计算即可.

【详解】

设这个多项式为A，根据题意，得：2A+3x2  9x=－x2＋5x－2

则A=[－x2＋5x－2－（3x2  9x）] ÷2

=（－x2＋5x－2－3x2－9x）÷2

=（－4x2－4x－2）÷2

=－2x2－2x－1

故选B

【点睛】

本题主要考查整式的加减，熟练掌握去括号法则以及合并同类项是解题关键.

2．如图是一个迷你数独，图中实线划分的区域是一个宫，共有4个宫，每一宫又被虚线分为四个小格．根据图中已经给的提示数字，在其他的空格上填入﹣1、﹣2、﹣3、﹣4的数字．使﹣1、﹣2、﹣3、﹣4每个数字在每一行、每一列和每一宫中都只出现一次．则图中点A的位置所填的数字为（　　）

A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4

【答案】B

【分析】

利用题中规定的排列规律把图中的数据填完整，从而得到正确选项．

【详解】

∵﹣1、﹣2、﹣3、﹣4每个数字在每一行、每一列和每一宫中都只出现一次，∴第一列中间两个只能是－1，－3，而－3在第二行已经出现，∴第一列第二行只能填－1，∴第一列第三行填－3．

∵第四行中间两个只能填－2，－3，而－3在第二列已经出现，∴第四行第二列只能填－2，∴第四行第三列填－3．

∵第二列的两个空格只能填－1，－4，而－4在第三行已经出现，∴第三行第二列只能填－1，∴第一行第二列只能填－4．

∵第三列两个空格只能填－2，－1，而－2在第一行已经出现，∴第三列第一行只能填－1，∴A处填－2．

由此可得出第四列前面三个依次填写－3，－4，－2．

答案如图：

故选B．

【点睛】

本题考查了规律型：数字变化类：探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．

3．观察表一，寻找规律，表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中，，的值分别为（    ）

表一

表二

表三

表四

A．，， B．，， C．，， D．，，

【答案】D

【解析】

【分析】

从表一中可以看出，第一行和第一列为1、2、3、4...，第二行、第二列的数是4=2×2，第三行、第四列的数是12...第n行、第m列的数是n×m，由此来判断即可得解.

【详解】

解：表二：12、15、a，因为3×4=12，3×5=15，可以判断出a为第三列、第六行，即a=3×6=18；表三：4×5=20，4×6=24，5×5=25，可以判断出b在第五行、第六列，即b=5×6=30；表四：3×6=18，4×8=32，可以判断出c在第四列、第七行，即c=4×7=28；故选：D.

【点睛】

本题考查了数表中的规律，认真观察表一，得出普遍规律，在表二、表三、表四中代入数值依次推出a、b、c所在行和列是解决此题的关键.

4．下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成；拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，……，依此规律，拼搭第10个图案需小木棒（　　）根

A．120 B．125 C．130 D．135

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根据题意，图形分别需小木棒为4、10、18、28……，则可得出规律第第n个图案需小木棒根，将n=10代入即可得解.

【详解】

解：∵拼搭第1个图案需根小木棒，

拼搭第2个图案需根小木棒，

拼搭第3个图案需根小木棒，

拼搭第4个图案需根小木棒，

∴拼搭第n个图案需小木棒根.

当n=10时，=

故选C.

【点睛】

此题主要考查图形累加规律，观察图形数字关系，总结出规律是解题关键.

5．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记，;

已知，则m+n的值是(      )

A．-40 B．-5 C．-6 D．5

【答案】B

【解析】

【分析】

利用题中的新定义化简已知等式左边，确定出m的值即可．

【详解】

解：根据题意得：（x+2）（x-1）+（x+3）（x-2）=2x2+2x-8=2x2+2x+m，

则m=-8，n=3,

∴m+n=-5,

故选：B．

【点睛】

此题考查了整式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键．

6．有两桶水,甲桶装有升水,乙桶中的水比甲桶中的水多3升.现将甲桶中倒一半到乙桶中,然后再将此时乙桶中总水量的倒给甲桶,假定桶足够大,水不会溢出.我们将上述两个步骤称为一次操作,进行重复操作,则( )

A．每操作一次,甲桶中的水量都会减小,最后甲桶中的水会全部倒入乙桶

B．每操作一次,甲桶中的水量都会减小,但永远倒不完

C．每操作一次,甲桶中的水量都会增加,反复操作,最后甲桶中的水会比乙桶多

D．每操作一次,甲桶中的水量都会增加,但永远比乙桶中的水量要少

【答案】D

【分析】

由题意可知甲桶装有a升水，乙桶装有a+3升水，然后根据题意的操作进行计算，发现规律即可.

【详解】

解：由题意可知甲桶装有a升水，乙桶装有a+3升水，

进行1次操作后：甲桶装有a+1升水，乙桶装有a+2升水；

进行2次操作后：甲桶装有a+升水，乙桶装有a+升水；

进行3次操作后：甲桶装有a+升水，乙桶装有a+升水；

······

综上可以发现，每操作一次，甲桶中的水量都会增加，但永远比乙桶中的水量要少.

故选D.

【点睛】

本题考查整式的应用，解此题的关键在于准确按照题意进行操作，然后发现规律.

二、填空题

7．对任意一个四位数，若其千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，称这样的四位数为“平衡数”．对任意一个“平衡数”M，将M的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得新数N，记．若A，B是“平衡数”，且A的千位为5，B的个位为7，当时，则的最大值为______．

【答案】10

【分析】

设A的百位数字为d，十位数字为a，则个位数字为a+5-d，根据“平衡数”的定义及可求出，设B的百位数字为b，十位数字为c，则千位数字为b+7-c，并得出，最后根据求出a与b的关系，即可求出的最大值．

【详解】

解：设A的百位数字为d，十位数字为a，则个位数字为a+5-d，

根据题意得：，

则．

设B的百位数字为b，十位数字为c，则千位数字为b+7-c，

同理可得：，

∵，

∴．

∴．

∵a为十位上的数字，a最小取0，

∴b的最大值为3．

则的最大值为3+7=10．

故答案为：10．

【点睛】

此题考查了新定义下的整式加减的应用，理解“平衡数”的定义，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数位的特点求出相应字母的最大值是解题的关键．

8．已知P＝xy﹣5x+3，Q＝x﹣3xy+1，若无论x取何值，代数式2P﹣3Q的值都等于3，则y＝_____．

【答案】

【分析】

先计算2P﹣3Q，再根据与x值无关确定x的系数，求y值即可．

【详解】

解：2P﹣3Q=2（xy﹣5x+3）-3（x﹣3xy+1）

=2xy﹣10x+6-3x+9xy-3

=11xy-13x+3

=(11y-13)x+3

∵无论x取何值，代数式2P﹣3Q的值都等于3，

∴(11y-13)x+3=3，

∴11y-13=0，

y=，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了整式的加减和代数式的值，解题关键是明确与某个字母的值无关，就是这个字母的系数为0．

9．已知数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，化简的结果为______．

【答案】2a

【分析】

根据数轴判断出a、b、c的符号和绝对值的大小，根据绝对值的意义脱去绝对值，去括号合并同类项即可求解．

【详解】

解：由数轴可得b＜a＜0＜c，且，

所以a+c＞0，b+c＜0，a+b＜0，

所以

=

=

=．

故答案为：2a

【点睛】

本题考查了数轴上点的意义，绝对值的意义，去括号，合并同类项等知识，根据数轴上点的位置，判断出绝对值内的式子的符号是解题关键．

10．已知点M、N是数轴上的两个点，M、N之间的距离为m，点M与原点O的距离为n(n>m)，则所有满足条件的点N与原点O的距离的和为__________

【答案】4n

【分析】

先用n表示M点表示的数，再由M、N两点之间的距离为a可得出N点表示的数，进而可得出结论.

【详解】

∵点M与原点O的距离为n，

∴点M表示数n或-n，

∵M、N之间的距离为m，

∴当点M表示n时，，解得N=m-n或N=-m-n，

当点M表示-n时，，解得N=-n+m或-n-m，

∵ n>m，

∴所有满足条件的点N与原点O的距离的和为=n+m+n-m+n-m+n+m=4n，

故答案为：4n.

【点睛】

此题考查数轴上点的坐标，数轴上两点间的距离，绝对值的化简，整式是混合运算，正确计算数轴上两点之间的距离是解题的关键.

11．如图1，小长方形纸片的长为2，宽为1，将4张这样的小长方形纸片按图2所示的方式不重叠的放在大长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形Ⅰ和Ⅱ，设长方形Ⅰ和Ⅱ的周长分别为C1和C2，则C1_____C2（填“＞”、“＝”或“＜”）．

【答案】=

【分析】

设图2中大长方形长为x，宽为y，再表示出长方形Ⅰ和Ⅱ的长和宽，进而可得周长，然后可得答案．

【详解】

解：设图2中大长方形长为x，宽为y，

则长方形Ⅰ的长为x﹣1，宽为y﹣3，周长C1＝2（x﹣1+y﹣3）＝2x+2y﹣8，

长方形Ⅱ的长为x﹣2，宽为y﹣2，周长C2＝2（x﹣2+y﹣2）＝2x+2y﹣8，

则C1＝C2，

故填：＝．

【点睛】

本题主要考查整式合并同类项的应用问题，巧妙设出组成的大长方形的边长，再利用已知条件分别表示出长方形Ⅰ和Ⅱ的长和宽，是本题的解题突破点。

三、解答题

12．已知b是立方根等于本身的负整数，且a、b满足，请回答下列问题：

（1）请直接写出a、b、c的值：________，________，__________；

（2）a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，点D是B、C之间的一个动点（不包括B、C两点），其对应的数为m，化简；

（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点B以每秒一个单位长度的速度向左运动，同时点A、点C都以每秒2个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离为，点B与点C之间的距离为，请问：的值是否随着t的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，请求出的值．

【答案】（1）2，-1，；（2）；（3）不变，

【分析】

（1）先根据b是立方根等于本身的负整数，求出b，再根据，即可求出a、c；

（2）先根据点D是B、C之间的一个动点（不包括B、C两点），得到m的范围，再化简即可；

（3）先求出AB，BC，再代入AB-BC计算即可．

【详解】

解：（1）∵b是立方根等于本身的负整数，

∴b=-1．

∵，

∴a=2，c=，

故答案为：2，-1，；

（2）∵点D是B、C之间的一个动点（不包括B、C两点），

∴-1＜m＜，

∴

=

=；

（3）依题意得：A：2+2t，B：-1-t，C：+2t，

∴AB=3t+3，BC=3t+，

∴AB-BC=3t+3-（3t+）=，

故AB-AC的值不随着t的变化而改变，且值为．

【点睛】

本题考查了数轴与绝对值，整式的加减．通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．

13．对于一个三位数，若其各个数位上的数字都不为0且互不相等，则称这样的三位数为“幸福数”．将“幸福数”m任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数，将这6个两位数的和记为，例如：

．

（1）求证：能被22整除；

（2）把与22的商记为，例如．若“幸福数”满足个位上的数字是百位上的数字的三倍，且能被5整除，请求出所有满足条件的“幸福数”．

【答案】（1）见解析；（2）163，276，389．

【分析】

（1）根据题目中“幸福树”的定义，设百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，则这个三位数为，求出，即可证得结论；

（2）利用（1）所得结论及题目中的材料，可得出，设百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为3x，则这个三位数为，可求出，根据能被5整除即可求出符合条件的x，y的值，此题得解．

【详解】

（1）证明：设百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，则这个三位数为，

∴，

∵为整数，

∴能被22整除；

（2）解：设百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为3x，则这个三位数为，

∵，，

∴，，

∵能被5整除，x，y，3x均不相等，且小于10，大于0，

∴当时，，这个三位数为163；

当时，，这个三位数为276；

当时，，这个三位数为389；

∴所有满足条件的“幸福数”为163,276,389．

【点睛】

此题考查了新定义下的整式运算，理解题意，列出正确的代数式并准确计算是解答此题的关键．

14．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题：

（1）数轴上表示1和5两点之间的距离是_____，数轴上表示2和的两点之间的距离为________．

（2）数轴上表示x和两点之间的距离为______．若x表示一个有理数，且，则__________．

（3）利用数轴求出的最小值为__________，并写出此时x可取哪些整数值______．

【答案】（1）4，3；（2）|x+1|，6；（3）7；-3，-2，-1，0，1，2，3，4

【分析】

（1）根据数轴上两点间的距离，可得答案；

（2）根据数轴上两点间的距离回答，再根据x的范围，化简绝对值即可；

（3）根据绝对值的几何意义，可得答案．

【详解】

解：（1）数轴上表示1和5两点之间的距离是 4，数轴上表示2和-1的两点之间的距离是 3；

（2）数轴上表示x和-1的两点之间的距离表示为|x+1|；

∵-4＜x＜2，

∴

=

=6；

（3）由数轴可知，当-3≤x≤4时，|x+3|+|x-4|取得最小值，

最小值是：|x+3|+|x-4|=x+3+4-x=7，

此时，x可取的整数值是：-3，-2，-1，0，1，2，3，4．

【点睛】

本题考查了数轴，利用了两点间的距离公式，整式的加减等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键