2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）第3章 代数式 培优测试卷（一）（解析版）

这是一份2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）第3章 代数式 培优测试卷（一）（解析版），共21页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第3章《代数式》 培优测试卷（一）
（满分150分 时间：90分钟） 班级 姓名 得分
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）
1．若，则使p最接近的正整数n是（　　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】
先用“裂项法”变形化简得到p，再根据分子不变，分母越大分数值越小，所以先确定n=4时的p值，看其与的大小，即可求出结论．
【详解】
解：原式


当时，
当时，
当分子不变时，分母越大分数值越小，
∴当n=6和n=7时的分数值均小于n=4和n=5时，
∴当n=4时最接近．
故选：A．
【点睛】
本题考查分式的加减法，熟练运用“裂项法”进行变形化简是解题的关键．
2．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：

若输入的值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
据题意逐步计算，发现规律后，直接写出的值．
【详解】
第1次，第2次
第3次
第4次
观察前4次归纳出
令n=10，得，
故选：C．
【点睛】
此题考查归纳发现规律，用代数式表示规律并运用规律．其关键是理解题意的基础上算出前几次的．
3．对于每个正整数，设表示的末位数字．例如：（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字），…则的值为（ ）
A．4042 B．4048 C．4050 D．10
【答案】A
【分析】
试着往下求出几个式子的值，发现结果成一个循环的规律，以2、6、2、0、0为一个循环，用2021除以5得到一共有几组循环，余几，从而求出式子的和．
【详解】
解：根据题意，
（的末位数字），
（的末位数字），
（的末位数字），
（的末位数字），
（的末位数字），
（的末位数字），
……
这些数有一个循环的规律，以2、6、2、0、0为一个循环，每组循环的数加起来等于10，
∵，
∴原式．
故选：A．
【点睛】
本题考查数字找规律，解题的关键是掌握循环问题的求解方法．
4．在一列数……中，已知，且当时，（符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据题目给的公式，试着算出前面几个数，发现结果会是一个循环，以1，2，3，4为一个循环．
【详解】
解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
……
发现结果是一个循环，每4个数一个循环，
，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查数字规律总结，解题的关键是尝试着去寻找规律，利用循环问题的解题方法去解决．
5．定义：一种对于三位数abc(其中在abc中，a在百位，b在十位，c在个位，a、b、c不完全相同)的F运算：重排abc的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差(允许百位数字为零)，例如abc＝463时，则经过大量运算，我们发现任意一个三位数经过若干次F运算都会得到一个固定不变的值；类比联想到：任意一个四位数经过若干次这样的F运算也会得到一个定值，这个定值为（ ）

A．4159 B．6419 C．5179 D．6174
【答案】D
【分析】
设这个四位数为1234，再进行若干次F运算即可得到这个定值．
【详解】
由题意，不妨设这个四位数为1234，
则经过第1次F运算的结果为，
经过第2次F运算的结果为，
经过第3次F运算的结果为，
经过第4次F运算的结果为，
由此可知，这个定值为6174，
故选：D．
【点睛】
本题考查了数字类的规律型问题，掌握理解F运算的定义是解题关键．
6．已知a，b两数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简代数式|a+b|-|a-1|+|b+1|的结果是（ ）

A．2a+2b B．2b+2 C．2a-2 D．0
【答案】D
【分析】
根据a，b两数在数轴上对应的点的位置可得b<-1<1 【详解】
解：由图可得：b<-1<1 所以|a+b|-|a-1|+|b+1|
=（a+b）-（a-1）+（-b-1）
=a+b-a+1-b-1
=0．
故选D．
【点睛】
本题考查了绝对值的性质及整式的加减，解答本题的关键是根据a、b在数轴上的位置进行绝对值的化简．
7．观察图中每一个正方形各顶点所标数字的规律，2 020应标在( )

A．第504个正方形右上角顶点处 B．第505个正方形右下角顶点处
C．第505个正方形右上角顶点处 D．第504个正方形右下角顶点处
【答案】B
【分析】
观察可知，每个正方形标四个数字，从右上角的顶点开始，按照逆时针方向每四个正方形为一组依次循环，用除以确定出所在的正方形的序号为，再用除以确定出循环组的第几个正方形，然后确定出在正方形的位置，即可得解．
【详解】
解：∵通过观察可知，第个正方形的第一个数字标在正方形的右上角；
第个正方形的第一个数字标在正方形的左上角；
第个正方形的第一个数字标在正方形的左下角；
第个正方形的第一个数字标在正方形的右下角；
第个正方形的第一个数字标在正方形的右上角；

∴依此类推，每四个正方形为一组依次循环
∴，
∴应标在第个正方形的最后一个顶点，是第个循环组的第个正方形，在正方形的右下角，即，应标在第个正方形右下角顶点处．
故选：B
【点睛】
本题是对数字变化规律的考查，观察出数字的排列特点然后准确确定出所在的正方形以及所在循环组的序号是解题的关键．
8．若在正方形的四个顶点处依次标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为﹣2和﹣1，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2020对应的字是（　　）

A．振 B．兴 C．中 D．华
【答案】A
【分析】
找出“振”“兴”“中”“华”四个字对应的数的规律，由此即可得．
【详解】
由题意可知：“中”字是数字除以4余2的，“华”是除以4余3的，“振”是能被4整除的，“兴”是除以4余1的，
因为，
所以数2020对应的字是“振”，
故选：A．
【点睛】
本题考查了图形变化的规律型问题，正确找出一般规律是解题关键．


二、填空题
9．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定的规律性，从图中取一列数：1，3，6，10，…，分别记为，，，，…，那么的值是__________．

【答案】
【分析】
根据数字图形规律可得，将其变形成要求的形式，裂项相消即可得解．
【详解】
解：由，，，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了根据图形数字规律列代数式，裂项相消的计算技巧；能根据图形数字的规律列出代数式，根据代数式的结构特征运用裂项相消的计算技巧是本题的关键．
10．将正奇数按下表排成5列：

第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第一行

1
3
5
7
第二行
15
13
11
9

第三行

17
19
21
23
第四行
31
29
27
25

…

…
…
…
…
根据表中的规律，奇数2005应排在第____行第____列．
【答案】251 4
【分析】
表中每一行4个数，因为都是奇数，所以2005实际上是第1003个数，，从表格可知奇数行从第二列开始，从小到大排列，偶数行从第一列开始，从大到小排列，所以可得2005在第251行，第4列．
【详解】
解：，
2005是第1003个数，
，
∴2005是第251行第三个数，
由于奇数行是从第2列开始从小到大排列，
∴2005在第251行，第4列．
故答案是：251，4．
【点睛】
本题考查数字找规律，解题的关键是找出题目中数字之间的规律从而求出结果．
11．某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品，将这些作品排成一个矩形（作品不完全重合）．现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉（例如，用9枚图钉将4张作品钉在墙上，如图）．若有43枚图钉可供选用，则最多可以按照要求展示绘画作品________张．

【答案】30
【分析】
分别找出展示的绘画作品展示成一行、二行、三行、四行、五行、六行、七行的时候，43枚图钉最多可以展示的画的数量，比较后即可得出结论．
【详解】
解：①如果所有的画展示成一行，43÷（1+1）=21……1，
∴43枚图钉最多可以展示20张画；
②如果所有的画展示成两行，43÷（2+1）=14……1，
14-1=13（张），2×13=26（张），
∴43枚图钉最多可以展示26张画；
③如果所有的画展示成三行，43÷（3+1）=10……3，
10-1=9（张），3×9=27（张），
∴43枚图钉最多可以展示27张画；
④如果所有的画展示成四行，43÷（4+1）=8……3，
8-1=7（张），4×7=28（张），
∴43枚图钉最多可以展示28张画；
⑤如果所有的画展示成五行，43÷（5+1）=7……1，
7-1=6（张），5×6=30（张），
∴43枚图钉最多可以展示30张画；
⑥如果所有的画展示成六行，43÷（6+1）=6……1，
6-1=5（张），6×5=30（张），
∴43枚图钉最多可以展示30张画；
⑦如果所有的画展示成七行，43÷（7+1）=5……3，
5-1=4（张），4×7=28（张），
∴43枚图钉最多可以展示28张画；
综上所述：43枚图钉最多可以展示30张画．
故答案为：30．
【点睛】
本题考查了规律型中图形的变化类，观察图形，求出展示的绘画作品展示成一行、二行、三行、四行、五行、六行、七行时，最多可以展示的画的数量是解题的关键．
12．古希腊毕达格拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…．这样的数为正方形数）．

（1）请你写出一个既是三角形数又是正方形数的自然数______；
（2）类似地，我们将边形数中第个数记为．以下列出了部分边形数中第个数的表达式：
三角形数
正方形数
五边形数
六边形数
根据以上信息，得出______．（用含有和的代数式表示）
【答案】36. （k≥3）．
【分析】
（1）由题意得第8个图的三角形数是36，所以既是三角形数又是正方形数，且大于1的最小正整数为36；
（2）由已知等式进行变形进而可推出结果．
【详解】
解：（1）由题意第8个图的三角形数为×8（8+1）＝36，
∴既是三角形数又是正方形数，且大于1的最小正整数为36，
故答案为36．
（2）∵，
N（n，4）＝n2＝，
，
，
由此推断出N（n，k）＝（k≥3）．
故答案为：（k≥3）．
【点睛】
本题考查三角形数、正方形数的规律与归纳推理等知识，观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键．
13．观察下列算式：；；；；……若字母表示自然数，请你把观察到的规律用含字母的式子表示出来 _________ ．
【答案】（或）
【分析】
根据题意，分析可得：（0+1）2﹣02＝1+2×0＝1；（1+1）2﹣12＝2×1+1＝3；（1+2）2﹣22＝2×2+1＝5；…进而发现规律，用n表示可得答案．
【详解】
解：根据题意，
分析可得：（0+1）2﹣02＝1+2×0＝1；（1+1）2﹣12＝2×1+1＝3；（1+2）2﹣22＝2×2+1＝5；…
若字母n表示自然数，则有：（n+1）2﹣n2＝2n+1；
故答案为：（n+1）2﹣n2＝2n+1．
【点睛】
此题主要考查了数字变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
14．如图所示的各正方形中的四个之间存在一定的规律，按此规律得出：a＋b＋c＝_____．

【答案】112
【分析】
根据观察发现左上角的数加上3得到右上角的数，左上角的数加上4得到左下角的数，右上角的数乘以左上角的数再加3得到右下角的数，即可求出结果．
【详解】
解：根据观察发现左上角的数加上3得到右上角的数，左上角的数加上4得到左下角的数，右上角的数乘以左上角的数再加3得到右下角的数，
，，，
∴．
故答案是：112．
【点睛】
本题考查找规律，解题的关键是通过观察发现每个正方形中四个数之间的关系．

三、解答题
15．已知b是立方根等于本身的负整数，且a、b满足，请回答下列问题：
（1）请直接写出a、b、c的值：______，______，______．
（2）a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，点D是B、C之间的一个动点（不包括B、C两点），其对应的数为m，则化简；
（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点B、点C都以每秒一个单位长度的速度向左运动，同时点A以每秒2个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点C之间的距离为，点A与点B之间的距离为，请问：的值是否随着t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值．
【答案】（1）2，，；（2）；（3）不变，
【分析】
（1）先根据是立方根等于本身的负整数，求出，再根据，即可求出、；
（2）先得出点、之间（不包括点）的数是负数或0，得出，再化简即可；
（3）先求出，，从而得出．
【详解】
解：（1）是立方根等于本身的负整数，
．
，
，；
故答案为：2，，；
（2），，、在数轴上所对应的点分别为、，
点、之间（不包括点）的数是小于的负数，
，
；
（3）依题意得：，，，
所以，，
所以，
故的值不随着的变化而改变．
【点睛】
本题考查了数轴与绝对值，整式的加减的应用．通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
16．图1由若干个小圆圈组成的一个形如正三角形的图案，第1层有1个圆圈，每一层都比上一层多1个圆圈，一共堆了n层．

（1）如图1所示，第100层有　 　个小圆圈，从第1层到第n层共有　 　个小圆圈；
（2）我们自上往下按图2的方式排列一串连续的正整数1，2，3，…，则第20层的第5个数是　 　；
（3）我们自上往下按图3的方式排列一串整数31，﹣33，35，﹣37，…，则求从第1层到第20层的所有数的绝对值的和　 　．
【答案】（1）100， ；（2）195；（3）50400．
【分析】
（1）观察图1发现规律：第n层有n个小圆圈，从第1层到第n层共有圆圈的个数为1+2+3+…+n，计算即可得圆圈的个数，进而可得结论；
（2）观察图2发现规律：从1开始的自然数列，第n层放n个，进而可得第20层第5个数；
（3）观察图3发现规律：第n层放n个，从第1个数开始，符号“+﹣”周期变化，绝对值依次加2，可得第20层最后一个数的绝对值，最后得第1层到第20层所有数的绝对值和．
【详解】
解：（1）图1规律：第n层有n个小圆圈，则第100层有100个小圆圈，
因为1+2+3+…+n＝．
所以从第1层到第n层共有个小圆圈；
故答案为：100，；
（2）图2规律：从1开始的自然数列，第n层放n个，则第20层第5个数为：
1+2+3+…+19+5＝195．
故答案为：195；
（3）图3规律：第n层放n个，从第1个数开始，符号“+﹣”周期变化，绝对值依次加2，
则第20层最后一个数的绝对值为：
31+（2+3+4+…+20）×2＝449，
则第1层到第20层所有数的绝对值和为：
31+33+35+…+449＝50400．
故答案为：50400．
【点睛】
本题考查了根据图形的变化规律列式，计算等知识，理解图形的变化规律，并寻找其中规律是解题关键．
17．如果一个两位数的个位数字是，十位数字是，那么我们可以把这个两位数简记为，即． 如果一个三位数的个位数字是，十位数字是，百位数字是，那么我们可以把这个三位数简记为，即．
（1）若一个两位数满足，请求出，的数量关系并写出这个两位数．
（2）若规定：对任意一个三位数进行运算，得到整数． 如：． 若一个三位数满足，求这个三位数．
（3）已知一个三位数和一个两位数，若满足，请求出所有符合条件的三位数．
【答案】（1）43或86；（2）507或516或523；（3）、、、、、、、
【分析】
（1）根据题意列等式并合并同类项计算，即可得到m和n的关系式；再结合m和n的取值范围及整数性质，根据有理数乘除运算的性质计算，即可得到答案
（2）结合题意，根据有理数乘方和加减运算的性质，得x和y的关系式；再结合x和y的取值范围及整数性质，根据有理数混合运算的性质计算，即可得到答案；
（3）结合题意，通过列等式并合并同类项计算，得a、b、c的关系式，再结合a、b、c的取值范围及整数的性质，通过计算即可得到答案．
【详解】
（1）根据题意得：，
∴
∴
∵m为1到9的整数，n为0到9的整数
∴m＝4，n＝3或m＝8，n＝6
∴这两个数是或；
（2）根据题意得：
∴
∵x，y为0到9的整数
∴当时，
当时，
当时，
∴这三个数是507或516或523；
（3）∵，，且
∴
∴
∵a为1到9的整数，b、c为0到9的整数
当时，得：
当b＝0时，c＝4，三位数是104
当b＝1时，c＝5，三位数是115
当b＝2时，c＝6，三位数是126
当b＝3时，c＝7，三位数是137
当b＝4时，c＝8，三位数是148
当b＝5时，c＝9，三位数是159
当时，得：
当b＝0时，c＝8，三位数是208
当b＝1时，c＝9，三位数是219
∴符合条件的三位数有：、、、、、、、．
【点睛】
本题考查了有理数、代数式、合并同类项的知识；解题的关键是熟练掌握含乘方的有理数混合运算、代数式、合并同类项的性质，从而完成求解．
18．阅读理解：我们把形如（其中1≤a＜b≤9且a，b为整数）的五位正整数称为“对称凸数”，形如（其中1≤c＜d≤9且c，d为整数）的五位正整数称为“对称凹数“，例如：13931，29992是“对称凸数“，25052，59095是“对称凹数”．
（1）最小的“对称凸数”为　 　，最大的“对称凹数”为　 　；
（2）证明：任意一个“对称凸数”减去它的各数位数字之和的差都能被9整除；
（3）五位正整数M与N都是“对称凸数”，若满足M＜N的同时，N﹣M的结果为一个“对称凹数”，且该新“对称凹数”能被5整除，请求出“对称凸数”M与N．
【答案】（1）12921，89098；（2）见解析；（3）M=12921，N=68986．M=12921，N=68986；M=12921，N=69996；M=13931，N=69996；M=23931，N=79997．
【分析】
（1）根据定义写出最小的“对称凸数”和最大的“对称凹数”；
（2）设“对称凸数”为，再表示“对称凸数”与它的各数位数字之和的差，合并同类项并提公因式，可得结论；
（3）设M为，N为，由M＜N得a＜b＜c＜d，则N-M为，根据N-M的结果为一个“对称凹数”，且该新“对称凹数”能被5整除，可得结论．
【详解】
解：（1）由题意得：
最小的“对称凸数”为12921，最大的“对称凹数”为89098；
故答案为：12921，89098；
（2）设“对称凸数”为，则“对称凸数”为10000a+1000b+900+10b+a，它的各数位数字之和a+b+9+b+a，
∴10000a+1000b+900+10b+a-（a+b+9+b+a）
=9999a+1008b+891
=9（1111a+112b+99），
∴任意一个“对称凸数”减去它的各数位数字之和的差都能被9整除；
（3）设M为，N为，由M＜N得a＜b＜c＜d，则N-M为，
∵N-M的结果为一个“对称凹数”，且该新“对称凹数”能被5整除，
∴c-a=5或c-a=0（舍去）
当a=1，c=6时，如12921和68986，68986-12921=56065，56065为一个“对称凹数”，且能被5整除，
∴M=12921，N=68986．
同理M=12921，N=69996或M=13931，N=69996；M=23931，N=79997．
∴M=12921，N=68986；M=12921，N=69996；M=13931，N=69996；M=23931，N=79997．
【点睛】
本题考查新定义和整式的运算，解题的关键是根据题意列出式子。
19．已知多项式，．
（1）若，化简；
（2）若的结果中不含有项以及项，求的值．
【答案】（1），（2）-5
【分析】
（1）根据非负数的性质求出m、n，再计算A-B即可；
（2）先计算，再根据不含项以及项，得出m、n的值，代入即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
解得，，
∴，，
，
=，
=．
（2），
=，
∵结果中不含有项以及项，
∴，，
解得，，
把代入，
．
【点睛】
本题考查了非负数的性质和整式的加减以及代数式求值，解题关键是能够根据非负数的性质或多项式不含某一项确定字母系数的值，并能熟练应用整式加减的法则进行计算．
20．（问题提出）
在由个小正方形（边长为1）组成的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数与m，n有何关系？
（问题探究）
为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，通过分类讨论，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．
探究一：
当m，n互质（m，n除1外无其他公因数）时，观察图1并完成下表：

图1
矩形横长m
2
3
3
5
4
5
…
公矩形纵长n
1
1
2
2
3
3
…
矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f
2
3
4
6
6

…
结论：当m，n互质时，在的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m，n之间的关系式是________．
探究二：
当m，n不互质时，不妨设，（a，b，k为正整数，且a，b互质），观察图2并完成下表：


图2
a
2
3
3
5
2
3
…
b
1
1
2
2
1
1
…
k
2
2
2
2

3
…
矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f
4
6
8

6

…
结论：当m，n不互质时，若，（a，b，k为正整数，且a，b互质）．在的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与a，b，k之间的关系式是________．
（模型应用）
一个由边长为1的小正方形组成的长为630，宽为490的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数是________个．

图3
（模型拓展）
如图3，在一个由48个棱长为1的小正方体组成的长方体中，经过顶点A，B的直线穿过的小正方体的个数是________个．
【答案】探究一：7，；探究二：12，9，； 【模型应用】1050 ；【模型拓展】6
【分析】
探究一：通过观察即可得出当m、n互质时，根据m与n的值计算f，即可得到规律求解；
探究二：当m、n不互质时，根据a、b、k的值求出m、n的值，计算f的值，即可得到规律；
[模型应用]利用630与490求出a、b、k的值，根据公式计算得出f即可；
[模型拓展] 如图，连接长方体上下两个底面的对角线，得到矩形ACBD，利用勾股定理求出AC=，由每个小正方体的对角线长为，得到AC的长是4个小长方体的对角线，根据BC=3，且4与3互质，利用公式求出答案．
【详解】
探究一：当m、n互质时，根据表格可得：
当m=2，n=1时，f =2+1-1=2；
当m=3，n=1时，f=3+1-1=3；
当m=3，n=2时，f=3+2-1=4，
；
∴当m=5，n=3时，f=5+3-1=7，
该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m，n之间的关系式是f=m+n-1，
故答案为：7，．
探究二：当m、n不互质时，根据图2表格可得：
当a=2，b=1，k=2，m=ka=4，n=kb=2时，f=，
当a=3，b=1，k=2，m=ka=6，n=kb=2时，f=，
当a=3，b=2，k=2，m=ka=6，n=kb=4时，f=，
；
∴当a=5，b=2，k=2，m=ka=10，n=kb=4时，f=，
当a=3，b=1，k=3，m=ka=3，n=kb=3时，f=，
∴当m，n不互质时，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与a，b，k之间的关系式是，
故答案为：12，9，；
[模型应用]∵630与490不互质，
∴ka=630=，kb=490=，
∴a=9，b=7，k=70，
∴该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数是f=，
故答案为：1050；
[模型拓展]
如图，连接长方体上下两个底面的对角线，得到矩形ACBD，
∵AE=4，CE=4，∠AEC=，
∴AC=，
∵每个小正方体的对角线长为，
∴AC的长是4个小长方体的对角线，
∵BC=3，且4与3互质，
∴经过顶点A，B的直线穿过的小正方体的个数是4+3-1=6个，
故答案为：6．
．
【点睛】
此题考查了图形规律探究，关键是通过观察表格，总结出一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n及f与a、b、k的关系式，要注意m、n互质及不互质的条件，掌握有理数的加减计算，有理数的混合运算，列代数式，总结规律并运用解决问题是解题的关键．