高中人教A版 (2019)2.1 直线的倾斜角与斜率当堂检测题

第二章直线和圆的方程

2.1　直线的倾斜角与斜率

2.1.1　倾斜角与斜率

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.(多选题)下列叙述正确的是(　　)

A.平面直角坐标系内的任意一条直线都有倾斜角和斜率

B.直线的倾斜角的取值范围是0°≤α<180°

C.若一条直线的倾斜角为α(α≠90°),则此直线的斜率为tan α

D.与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°

解析根据斜率的定义知当直线与x轴垂直时,斜率不存在,故A错误,其他选项正确.

答案BCD

2.若经过A(3,m),B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°,则m=(　　)

A.6 B.-6 C.4 D.-4

解析由题意可得tan45°=,即=1,解得m=4,故选C.

答案C

3.(2020四川绵阳南山中学高二期中)已知直线l的斜率的绝对值等于,则直线l的倾斜角为(　　)

A.60° 

B.30°

C.60°或120° 

D.30°或150°

解析∵直线l的斜率的绝对值等于,

∴直线l的斜率等于±.

设直线l的倾斜角为θ,

∴tanθ=或tanθ=-,

∴θ=60°或120°.故选C.

答案C

4.如图,已知直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则(　　)

A.k1<k2<k3

B.k3<k1<k2

C.k3<k2<k1

D.k1<k3<k2

解析设直线l1,l2,l3的倾斜角分别是α1,α2,α3,由图可知α1>90°>α2>α3>0°,所以k1<0<k3<k2.

答案D

5.过A(4,y),B(2,-3)两点的直线的一个方向向量为n=(-1,-1),则y=(　　)

A.- B.

C.-1 D.1

解析(方法1)由直线上的两点A(4,y),B(2,-3),得=(-2,-3-y).

又直线AB的一个方向向量为n=(-1,-1),因此n∥,

∴(-2)×(-1)-(-3-y)×(-1)=0,解得y=-1.

故选C.

(方法2)由直线的方向向量为(-1,-1)得,直线的斜率为=1,所以=1,解得y=-1.故选C.

答案C

6.已知直线l经过点P(3,m)和点Q(m,-2),直线l的方向向量为(2,4),则直线l的斜率为　　　　,实数m的值为　　　　. 

解析由直线l的方向向量为(2,4)得,直线l的斜率为=2,因此=2,解得m=.

答案2　

7.如图所示,直线l1的倾斜角α1=30°,直线l1⊥l2,求直线l1,l2的斜率.

解l1的斜率k1=tanα1=tan30°=.

∵l2的倾斜角α2=90°+30°=120°,

∴l2的斜率k2=tan120°=tan(180°-60°)=-tan60°=-.

关键能力提升练

8.已知直线l经过点P(1,2)和点Q(-2,-2),则直线l的单位方向向量为(　　)

A.(-3,-4) B.-,-

C.±,± D.±

解析由题意得,直线l的一个方向向量为=(-2-1,-2-2)=(-3,-4),

则||==5,

因此直线l的单位方向向量为±=±(-3,-4)=±.故选D.

答案D

9.若A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)三点共线,则的值等于(　　)

A. B.- C.2 D.-2

解析∵A,B,C三点共线,∴kAB=kAC,即,即ab=2a+2b,两边同除以ab,得1=,

即.

答案A

10.(2020山东日照一中期中)已知函数f(x)=log3(x+2),若a>b>c>0,则的大小关系为(　　)

A. B.

C. D.

解析作出函数f(x)=log3(x+2)的大致图象,如图所示.

由图象可知y轴右侧曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小.

因为a>b>c>0,所以.故选B.

答案B

11.(多选题)下列命题中,错误的是(　　)

A.直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大

B.直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α

C.直线的斜率为tan α,则直线的倾斜角是α

D.直线的倾斜角α∈或α∈,π时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增

解析直线的倾斜角α∈或α∈,π时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增,故A错误,D正确;当α=90°时,斜率不存在,故B错误;只有当α∈[0,π)时,直线的倾斜角才是α,故C错误,故选ABC.

答案ABC

12.直线l1,l2均与y轴相交,且关于y轴对称,它们的倾斜角α1与α2的关系是　　　　　　　. 

解析如图,由l1,l2关于y轴对称,得α1=α3,

∵α3+α2=180°,∴α1+α2=180°.

答案α1+α2=180°

13.已知三点P(3,-1),M(5,1),N(2,-1),直线l过点P,且与线段MN相交.求:

(1)直线l的倾斜角α的取值范围;

(2)直线l的斜率k的取值范围.

解(1)kPN==-,kPM==1,所以直线PN的倾斜角为120°,直线PM的倾斜角为45°,如图,

所以直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤120°.

(2)直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞).

学科素养创新练

14.

如图所示,菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合,一边在x轴的正半轴上,已知∠BOD=60°,求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.

解在菱形OBCD中,OD∥BC,∠BOD=60°,

所以直线OD,BC的倾斜角相等,都为60°,所以斜率kOD=kBC=tan60°=;

∵CD∥OB,且OB在x轴上,所以直线OB,CD的倾斜角相等,都为0°,所以斜率kOB=kCD=0;由菱形的性质知,∠COB=×60°=30°,∠OBD=60°,

所以直线OC,BD的倾斜角分别为30°,120°,

所以两条对角线的斜率分别为:kOC=tan30°=,kBD=tan120°=-.