数学必修 第四册9.2 正弦定理与余弦定理的应用当堂检测题

这是一份数学必修 第四册9.2 正弦定理与余弦定理的应用当堂检测题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．海上的A，B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是( )
A．10eq \r(3)nmileB.eq \f(10\r(6),3)nmile
C．5eq \r(2)nmileD．5eq \r(6)nmile
2．如图所示，从气球A上测得正前下方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于( )
A．240(eq \r(3)－1)mB．180(eq \r(2)－1)m
C．120(eq \r(3)－1)mD．30(eq \r(3)＋1)m
3．在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是( )
A．20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\r(3),3)))mB．20(1＋eq \r(3)) m
C．10(eq \r(6)＋eq \r(2)) mD．20(eq \r(6)＋eq \r(2)) m
4．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h，15nmile/h，则14时两船之间的距离是( )
A．50nmileB．70nmile
C．90nmileD．110nmile
二、填空题
5．在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，求A，C两点之间的距离为________千米．
6．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C.测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为______m.
7．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡角为15°的看台上，同一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，若同一列的第一排和最后一排之间的距离为10eq \r(6)米(如图所示)，则旗杆的高度为________米．
三、解答题
8．如图所示，某海轮以60海里/时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离．
9．如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(eq \r(3)－1) nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以10eq \r(3)nmile/h的速度追截走私船．
此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？
[尖子生题库]
10．如图所示，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以50海里/时的速度从岛屿A出发沿东偏北60°方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿东偏北α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用4小时追上．
(1)求该军舰艇的速度；
(2)求sinα的值．
课时作业(三) 正弦定理与余弦定理的应用
1.
解析：由题意，做出示意图，如图，在△ABC中，∠C＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理，得eq \f(BC,sin60°)＝eq \f(10,sin45°)，解得BC＝5eq \r(6)(nmile)．
答案：D
2．解析：∵tan15°＝tan(60°－45°)＝eq \f(tan60°－tan45°,1＋tan60°tan45°)＝2－eq \r(3)，∴BC＝60tan60°－60tan15°＝120(eq \r(3)－1)(m)，故选C.
答案：C
3．解析：如图，由条件知四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD＝20m，BC＝AD＝20m.
在△DCE中，∠EDC＝60°，∠DCE＝90°，CD＝20m，∴EC＝CD·tan60°＝20eq \r(3)m．∴BE＝BC＋CE＝(20＋20eq \r(3))m.选B.
答案：B
4．解析：到14时，轮船A和轮船B分别走了50nmile,30nmile，由余弦定理得两船之间的距离为l＝eq \r(502＋302－2×50×30×cs120°)＝70(nmile)．
答案：B
5．解析：如图所示，∵∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，又AB＝2，
∴由正弦定理eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(AC,sin∠CBA)，得eq \f(2,\f(\r(2),2))＝eq \f(AC,\f(\r(3),2))，解得AC＝eq \r(6)，即A，C两点之间的距离为eq \r(6)千米．
答案：eq \r(6)
6．解析：由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理，得eq \f(AC,sin∠ABC)＝eq \f(AB,sin∠ACB)，
∴AB＝eq \f(AC·sin∠ACB,sin∠ABC)＝eq \f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq \r(2)(m)．
答案：50eq \r(2)
7．解析：如图所示，依题意可知∠PCB＝45°，∠PBC＝180°－60°－15°＝105°，∴∠CPB＝180°－45°－105°＝30°，∴在△PBC中，由正弦定理，可知PB＝eq \f(CB,sin∠CPB)·sin∠PCB＝20eq \r(3)(米)，∴在Rt△POB中，OP＝PB·sin∠PBO＝20eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝30(米)，即旗杆的高度为30米．
答案：30
8．解：因为AB＝40，∠BAP＝120°，∠ABP＝30°，
所以∠APB＝30°，所以AP＝40，
所以BP2＝AB2＋AP2－2AP·AB·cs120°
＝402＋402－2×40×40×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝402×3，
所以BP＝40eq \r(3).又∠PBC＝90°，BC＝80，
所以PC2＝BP2＋BC2＝(40eq \r(3))2＋802＝11200，
所以PC＝40eq \r(7)海里．
9．解：设缉私船用th在D处追上走私船，
则有CD＝10eq \r(3)t，BD＝10t，
在△ABC中，∵AB＝eq \r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs∠BAC＝(eq \r(3)－1)2＋22－2·(eq \r(3)－1)·2·cs120°＝6，
∴BC＝eq \r(6)，
且sin∠ABC＝eq \f(AC,BC)·sin∠BAC＝eq \f(2,\r(6))·eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(2),2).
∴∠ABC＝45°.
∴BC与正北方向垂直．
∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD＝eq \f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq \f(10tsin120°,10\r(3)t)＝eq \f(1,2)，
∴∠BCD＝30°.
即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．
10．解：(1)依题意知，∠CAB＝120°，AB＝50×4＝200，AC＝120，∠ACB＝α，
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs∠CAB＝2002＋1202－2×200×120cs120°＝78400，解得BC＝280.
所以该军舰艇的速度为eq \f(BC,4)＝70海里/时．
(2)在△ABC中，由正弦定理，得eq \f(AB,sinα)＝eq \f(BC,sin120°)，
即sinα＝eq \f(ABsin120°,BC)＝eq \f(200×\f(\r(3),2),280)＝eq \f(5\r(3),14).