数学必修 第四册9.2 正弦定理与余弦定理的应用教学设计

这是一份数学必修 第四册9.2 正弦定理与余弦定理的应用教学设计，共5页。教案主要包含了教学过程，课堂检测等内容，欢迎下载使用。

【教学过程】
一、问题导入
利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？
二、新知探究
测量距离问题
例1海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C岛和A岛成的视角，则B岛与C岛间的距离是________．
【解析】如图，在中，，
由正弦定理，可得，
所以．
【答案】海里
[变条件]在本例中，若“从B岛望C岛和A岛成的视角”改为“A，C两岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B岛与C岛间的距离呢？
解：由已知在中，，，，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可．
.故.
即B，C间的距离为海里
eq \a\vs4\al()
测量距离问题的解题思路
求解测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．构造数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中．
测量高度问题
例2如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶后到达B处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度________m.
【解析】由题意，在中，，，故.
又，故由正弦定理得，
解得．在中，．
【答案】
[变问法]在本例条件下，汽车在沿直线AB方向行驶的过程中，若测得观察山顶D点的最大仰角为，求的值．
解：如图，过点C，作，垂足为E，则，由例题可知，
，，
所以.
所以.
eq \a\vs4\al()
测量高度问题的解题思路
高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度．
测量角度问题
例3岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东方向且相距10海里的C处，随即以每小时海里的速度前往拦截．
（1）问：海监船接到通知时，在距离岛A多少海里处？
（2）假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．
【解】（1）根据题意得，，，
所以，
在中，由，
得.
所以海监船接到通知时，在距离岛A海里处．
（2）设海监船航行时间为t小时，则，，
又因为，
所以，
所以，
所以，
解得或（舍去）．
所以，所以，
所以，
所以.
所以海监船沿方位角航行，航行时间为1个小时．
（或海监船沿南偏东方向航行，航行时间为1个小时）
eq \a\vs4\al()
测量角度问题的基本思路
（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离．
（2）根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为实际问题的解．
【课堂检测】
1．若P在Q的北偏东方向上，则Q在P的（ ）
A．东偏北方向上B．东偏北方向上
C．南偏西方向上 D．西偏南方向上
解析：选C.如图所示．
2.如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为和，已知，点C位于BD上，则山高AB等于（ ）
A．米B．米
C．米D．200米
解析：选C.设米，在中，，
所以.
在中，，则.
因为，所以，
解得．故选C.
3．已知台风中心位于城市A东偏北(为锐角)度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北(为锐角)度的200公里处，若，则（ ）
A．60 B．80
C．100 D．125
解析：选C.画出图像如图所示，由余弦定理得，由正弦定理得，所以.又，，解得，故，，，故，代入①解得.
4．某巡逻艇在A处发现在北偏东距A处8海里处有一走私船，正沿南偏东的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向．
解：设经过t小时在点C处刚好追上走私船，依题意：，，，
在中，由正弦定理得，
所以，所以，
所以，解得，航行的方向为北偏东.
即巡逻艇最少经过小时可追到走私船，沿北偏东的方向航行．
教学重难点
教学目标
核心素养
测量距离、高度、角度问题
会利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离、高度、角度等问题
数学建模