还剩14页未读，
继续阅读
所属成套资源：高中数学课时作业含解析新人教B版必修第四册专题
成套系列资料，整套一键下载
人教B版 (2019)必修 第四册第九章 解三角形本章综合与测试同步训练题
展开
这是一份人教B版 (2019)必修 第四册第九章 解三角形本章综合与测试同步训练题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，若AB＝eq \r(13)，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )
A．1 B．2
C．3D．4
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝eq \f(\r(5),2)b，A＝2B，则csB＝( )
A.eq \f(\r(5),3)B.eq \f(\r(5),4)
C.eq \f(\r(5),5)D.eq \f(\r(5),6)
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝eq \r(2)，b＝eq \r(6)，B＝120°，则a等于( )
A.eq \r(6)B．2
C.eq \r(3)D.eq \r(2)
4．在△ABC中，∠C＝eq \f(π,4)，AB＝2，AC＝eq \r(6)，则csB的值为( )
A.eq \f(1,2)B．－eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(1,2)或－eq \f(\r(3),2)D.eq \f(1,2)或－eq \f(1,2)
5.△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“△ABC为锐角三角形”是“a2＋b2>c2”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于( )
A．240(eq \r(3)－1) mB．180(eq \r(2)－1) m
C．120(eq \r(3)－1) mD．30(eq \r(3)＋1) m
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2csC)＝2sinAcsC＋csAsinC，则下列等式成立的是( )
A．a＝2bB．b＝2a
C．A＝2BD．B＝2A
8．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝4，b＋c＝5, tanA＋tanB＋eq \r(3)＝eq \r(3)tanA·tanB，则△ABC的面积为( )
A.eq \f(\r(3),2)B．3eq \r(3)
C.eq \f(3\r(3),2)D.eq \r(3)
9．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积为( )
A．3B.eq \f(9\r(3),2)
C.eq \f(3\r(3),2)D．3eq \r(3)
10．将一根长为12m的铁管AB折成一个60°的角∠ACB，然后将A、B两端用木条封上，从而构成三角形ACB，在不同的折法中，△ACB面积S的最大值为( )
A．9B．9eq \r(3)
C．18D．18eq \r(3)
11．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的外接圆的面积为3π，且cs2A－cs2B＋cs2C＝1＋sinAsinC，则△ABC的最大边长为( )
A．2B．3
C.eq \r(3)D．2eq \r(3)
12．如图，有四座城市A，B，C，D，其中B在A的正东方向，且与A相距120km，D在A的北偏东30°方向，且与A相距60km；C在B的北偏东30°方向，且与B相距60eq \r(13)km，一架飞机从城市D出发以360km/h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有( )
A．120kmB．60eq \r(6)km
C．60eq \r(5)kmD．60eq \r(3)km
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA＋acsB＝0，则B＝________.
14．如图，在离地面高200m的热气球M上，观察到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为________m.
15．如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．
16．在△ABC中，∠ACB＝60°，BC>2，AC＝AB＋1，当△ABC的周长最短时，BC的长是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，csB＝－eq \f(1,2).
(1)求b，c的值；
(2)求sin(B＋C)的值．
18. (本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋eq \r(3)csA＝0，a＝2eq \r(7)，b＝2.
(1)求角A和边长c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
19．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且eq \f(csA,a)＋eq \f(csB,b)＝eq \f(sinC,c).
(1)证明：sinAsinB＝sinC；
(2)若b2＋c2－a2＝eq \f(6,5)bc，求tanB.
20．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若asinB＝eq \r(3)bcsA.
(1)求角A；
(2)若△ABC的面积为2eq \r(3)，a＝5，求△ABC的周长．
21．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(bsinC－\f(ccsB,tanC)))＝a.
(1)求角A；
(2)若△ABC的内切圆面积为4π，求△ABC面积S的最小值．
22．(本小题满分12分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量csA＝eq \f(12,13)，csC＝eq \f(3,5).
(1)求索道AB的长；
(2)问：乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？
第九章 章末质量检测(一) 解三角形
1．解析：余弦定理AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcsC将各值代入得AC2＋3AC－4＝0，
解得AC＝1或AC＝－4(舍去)，故选A.
答案：A
2．解析：∵在△ABC中a＝eq \f(\r(5),2)b，∴由正弦定理可得sinA＝eq \f(\r(5),2)sinB ①，又∵A＝2B，∴sinA＝sin2B＝2sinBcsB ②，由①②可得eq \f(\r(5),2)sinB＝2sinBcsB，可得csB＝eq \f(\r(5),4)，故选B.
答案：B
3．解析：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accsB，则6＝a2＋2＋eq \r(2)a，即a2＋eq \r(2)a－4＝0，解得a＝eq \r(2)或a＝－2eq \r(2)(舍)．故选D.
答案：D
4．答案：D
5．解析：当△ABC为锐角三角形时，C一定为锐角，此时a2＋b2>c2成立，当a2＋b2>c2成立时，由余弦定理可得csC＞0，即C为锐角，但此时△ABC形状不能确定，故△ABC为锐角三角形”是“a2＋b2>c2”的充分不必要条件，故选A.
答案：A
6．解析：AC＝120，AB＝eq \f(60,sin75°)，eq \f(AB,sin30°)＝eq \f(BC,sin45°)，
所以BC＝eq \f(ABsin45°,sin30°)＝eq \f(60×\r(2),sin30°＋45°)＝120(eq \r(3)－1)．
故选C.
答案：C
7．解析：sin(A＋C)＋2sinBcsC＝2sinAcsC＋csAsinC
所以2sinBcsC＝sinAcsC⇒2sinB＝sinA⇒2b＝a，故选A.
答案：A
8．解析：因为tanA＋tanB＋eq \r(3)＝eq \r(3)tanA·tanB，
所以tanA＋tanB＝－eq \r(3)(1－tanA·tanB)，
即tan(A＋B)＝eq \f(tanA＋tanB,1－tanA·tanB)＝－eq \r(3)，
所以A＋B＝eq \f(2π,3)，C＝eq \f(π,3)，
又因为a＝4，b＋c＝5.
所以(5－b)2＝42＋b2－2×4b×eq \f(1,2).
解得b＝eq \f(3,2)，则△ABC的面积为S＝eq \f(1,2)×4×eq \f(3,2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2).故选C.
答案：C
9．解析：因为c2＝(a－b)2＋6，C＝eq \f(π,3)，所以由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcseq \f(π,3)，即－2ab＋6＝－ab，ab＝6，因此△ABC的面积为eq \f(1,2)absinC＝3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2)，故选C.
答案：C
10．解析：设AC＝x,0S＝eq \f(1,2)x(12－x)sin60°＝eq \f(\r(3),4)x(12－x)≤eq \f(\r(3),4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋12－x,2)))2＝9eq \r(3)，当且仅当x＝12－x，即x＝6时取等号．∴S的最大值为9eq \r(3).
故选B.
答案：B
11．解析：△ABC的外接圆的面积为πR2＝3π，∴R＝eq \r(3).
cs2A－cs2B＋cs2C＝1＋sinAsinC则1－sin2A－1＋sin2B＋1－sin2C＝1＋sinAsinC，
sin2A－sin2B＋sin2C＋sinAsinC＝0，
根据正弦定理：a2＋c2－b2＋ac＝0
根据余弦定理：a2＋c2－b2＝2accsB＝－ac，∴csB＝－eq \f(1,2)，∴∠B＝120°
故b为最长边：b＝2RsinB＝3
故选B.
答案：B
12．答案：D
解析：取AB的中点E，连DE，设飞机飞行了15分钟到达F点，连BF，如图所示：则BF即为所求．
因为E为AB的中点，且AB＝120km，所以AE＝60km，
又∠DAE＝60°，AD＝60km，所以三角形DAE为等边三角形，所以DE＝60km，∠ADE＝60°，
在等腰三角形EDB中，∠DEB＝120°，所以∠EDB＝∠EBD＝30°，
所以∠ADB＝90°，由勾股定理得BD2＝AB2－AD2＝1202－602＝10800，
所以BD＝60eq \r(3)km，
因为∠CBE＝90°＋30°＝120°，∠EBD＝30°，所以∠CBD＝90°，
所以CD＝eq \r(BD2＋BC2)＝eq \r(10800＋602×13)＝240km，
所以cs∠BDC＝eq \f(BD,CD)＝eq \f(60\r(3),240)＝eq \f(\r(3),4)，
因为DF＝360×eq \f(1,4)＝90km，
所以在三角形BDF中，
BF2＝BD2＋DF2－2BD·DF·cs∠BDF
＝(60eq \r(3))2＋902－2×60eq \r(3)×90×eq \f(\r(3),4)
＝10800，
所以BF＝60eq \r(3)km.
故一架飞机从城市D出发以360km/h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有60eq \r(3)km.
故选D.
答案：D
13．解析：由正弦定理，得sinBsinA＋sinAcsB＝0.∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，∴sinA≠0，得sinB＋csB＝0，即tanB＝－1，∴B＝eq \f(3π,4).
答案：eq \f(3π,4)
14．解析：在Rt△DAM中DM＝200，∠MAD＝45°
∴AM＝200eq \r(2)，
∵△AMC中，∠MAC＝75°，∠AMC＝60°，∴∠ACM＝45°
∵eq \f(AM,sin45°)＝eq \f(AC,sin60°)，∴AC＝200eq \r(3)，∴BC＝300.
答案：300
15.
解析：如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合于E点时，AB最长，在△BCE中，∠B＝∠C＝75°，∠E＝30°，BC＝2，由正弦定理可得eq \f(BC,sin∠E)＝eq \f(BE,sin∠C)，即eq \f(2,sin30°)＝eq \f(BE,sin75°)，解得BE＝eq \r(6)＋eq \r(2)；平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B＝∠BFC＝75°，∠FCB＝30°，由正弦定理知，eq \f(BF,sin∠FCB)＝eq \f(BC,sin∠BFC)，即eq \f(BF,sin30°)＝eq \f(2,sin75°)，解得BF＝eq \r(6)－eq \r(2)，所以AB的取值范围为(eq \r(6)－eq \r(2)，eq \r(6)＋eq \r(2))．
答案：(eq \r(6)－eq \r(2)，eq \r(6)＋eq \r(2))
16．解析：设A，B，C所对的边a，b，c，根据余弦定理可得eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝csC＝eq \f(1,2)，
所以a2＋b2－c2＝ab
将b＝c＋1代入上式，可得a2＋2c＋1＝ac＋a,
化简可得c＝eq \f(a2－a＋1,a－2)，
所以△ABC的周长L＝a＋b＋c＝a＋2c＋1＝a＋1＋2eq \f(a2－a＋1,a－2).
设a－2＝t(t>0)，则a＝t＋2，
可得L＝t＋3＋2eq \f(t＋22－t＋2＋1,t)＝3t＋eq \f(6,t)＋9≥2eq \r(3t·\f(6,t))＋9＝9＋6eq \r(2)，
当且仅当3t＝eq \f(6,t)，即t＝eq \r(2)此时a＝eq \r(2)＋2，
可得周长的最小值为9＋6eq \r(2)，BC的长是2＋eq \r(2).
故答案为2＋eq \r(2).
答案：2＋eq \r(2)
17．解析：(1)由余弦定理可得csB＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝－eq \f(1,2)，
因为a＝3，所以c2－b2＋3c＋9＝0，因为b－c＝2，所以解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝7,c＝5)).
(2)由(1)知a＝3，b＝7，c＝5，所以csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(13,14)；
因为A为△ABC的内角，所以sinA＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(3\r(3),14).
因为sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA＝eq \f(3\r(3),14).
18．解析：(1)∵sinA＋eq \r(3)csA＝0，∴tanA＝－eq \r(3)，∵0a2＝b2＋c2－2bccsA，即28＝4＋c2－2×2c×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)或c＝4，故c＝4.
(2)∵c2＝b2＋a2－2abcsC，∴16＝28＋4－2×2eq \r(7)×2×csC，
∴csC＝eq \f(2,\r(7))，∴CD＝eq \f(AC,csC)＝eq \f(2,\f(2,\r(7)))＝eq \r(7)，∴CD＝eq \f(1,2)BC，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)AB·AC·sin∠BAC＝eq \f(1,2)×4×2×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)，∴S△ABD＝eq \f(1,2)S△ABC＝eq \r(3).
19．解析：(1)根据正弦定理，设eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)＝k(k>0)．
则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC.
代入eq \f(csA,a)＋eq \f(csB,b)＝eq \f(sinC,c)中，有eq \f(csA,ksinA)＋eq \f(csB,ksinB)＝eq \f(sinC,ksinC)，
变形可得sinAsinB＝sinAcsB＋csAsinB＝sin(A＋B)．
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，
所以sinAsinB＝sinC.
(2)由已知，b2＋c2－a2＝eq \f(6,5)bc，根据余弦定理，有csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(3,5).
所以sinA＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(4,5).
由(1)，sinAsinB＝sinAcsB＋csAsinB，
所以eq \f(4,5)sinB＝eq \f(4,5)csB＋eq \f(3,5)sinB，
故tanB＝eq \f(sinB,csB)＝4.
20．解析：(1)由题意，在△ABC中，因为asinB＝eq \r(3)bcsA，
由正弦定理，可得sinAsinB＝eq \r(3)sinBcsA，
又因为B∈(0，π)，可得sinB≠0，
所以sinA＝eq \r(3)csA，即tanA＝eq \r(3)，
因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3)；
(2)由(1)可知A＝eq \f(π,3)，且a＝5，
又由△ABC的面积2eq \r(3)＝eq \f(1,2)bcsinA＝eq \f(\r(3),4)bc，解得bc＝8，
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccsA，可得25＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－24，
整理得(b＋c)2＝49，解得b＋c＝7，
所以△ABC的周长a＋b＋c＝5＋7＝12.
21．解析：(1)因为eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(bsinC－\f(ccsB,tanC)))＝a
所以eq \r(3)(sinBsinC－csBcsC)＝sinA
即－eq \r(3)cs(B＋C)＝sinA，所以eq \r(3)csA＝sinA，即tanA＝eq \r(3)，因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3)；
(2)由题意知△ABC内切圆的半径为2，
如图，内切圆的圆心为I，M，N为切点，
则AI＝4，AM＝AN＝2eq \r(3)，
从而a＝b＋c－4eq \r(3)，
由余弦定理得(b＋c－4eq \r(3))2＝b2＋c2－bc，
整理得3bc＋48＝8eq \r(3)(b＋c)≥16eq \r(3)eq \r(bc)，
解得bc≥48或bc≤eq \f(16,3)(舍去)，
从而S＝eq \f(1,2)bcsinA≥eq \f(1,2)×48×eq \f(\r(3),2)＝12eq \r(3)，
即△ABC面积S的最小值为12eq \r(3).
22．解析：(1)在△ABC中，因为csA＝eq \f(12,13)，csC＝eq \f(3,5)，
所以sinA＝eq \f(5,13)，sinC＝eq \f(4,5)，
从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcsC＋sinCcsA＝eq \f(5,13)×eq \f(3,5)＋eq \f(12,13)×eq \f(4,5)＝eq \f(63,65).
由正弦定理eq \f(AB,sinC)＝eq \f(AC,sinB)，得AB＝eq \f(AC,sinB)×sinC＝eq \f(1260,\f(63,65))×eq \f(4,5)＝1040(m)．
所以索道AB的长为1040m.
(2)假设乙出发tmin后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，
所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×eq \f(12,13)＝200(37t2－70t＋50)＝200eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(37\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(35,37)))2＋\f(625,37)))，
由于0≤t≤eq \f(1040,130)，即0≤t≤8，
故当t＝eq \f(35,37)min时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由正弦定理eq \f(BC,sinA)＝eq \f(AC,sinB)，
得BC＝eq \f(AC,sinB)×sinA＝eq \f(1260,\f(63,65))×eq \f(5,13)＝500(m)．
乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C.
设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3≤eq \f(500,v)－eq \f(710,50)≤3，解得eq \f(1250,43)≤v≤eq \f(625,14)，
所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1250,43)，\f(625,14)))(单位：m/min)范围内．
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，若AB＝eq \r(13)，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )
A．1 B．2
C．3D．4
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝eq \f(\r(5),2)b，A＝2B，则csB＝( )
A.eq \f(\r(5),3)B.eq \f(\r(5),4)
C.eq \f(\r(5),5)D.eq \f(\r(5),6)
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝eq \r(2)，b＝eq \r(6)，B＝120°，则a等于( )
A.eq \r(6)B．2
C.eq \r(3)D.eq \r(2)
4．在△ABC中，∠C＝eq \f(π,4)，AB＝2，AC＝eq \r(6)，则csB的值为( )
A.eq \f(1,2)B．－eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(1,2)或－eq \f(\r(3),2)D.eq \f(1,2)或－eq \f(1,2)
5.△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“△ABC为锐角三角形”是“a2＋b2>c2”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于( )
A．240(eq \r(3)－1) mB．180(eq \r(2)－1) m
C．120(eq \r(3)－1) mD．30(eq \r(3)＋1) m
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2csC)＝2sinAcsC＋csAsinC，则下列等式成立的是( )
A．a＝2bB．b＝2a
C．A＝2BD．B＝2A
8．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝4，b＋c＝5, tanA＋tanB＋eq \r(3)＝eq \r(3)tanA·tanB，则△ABC的面积为( )
A.eq \f(\r(3),2)B．3eq \r(3)
C.eq \f(3\r(3),2)D.eq \r(3)
9．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积为( )
A．3B.eq \f(9\r(3),2)
C.eq \f(3\r(3),2)D．3eq \r(3)
10．将一根长为12m的铁管AB折成一个60°的角∠ACB，然后将A、B两端用木条封上，从而构成三角形ACB，在不同的折法中，△ACB面积S的最大值为( )
A．9B．9eq \r(3)
C．18D．18eq \r(3)
11．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的外接圆的面积为3π，且cs2A－cs2B＋cs2C＝1＋sinAsinC，则△ABC的最大边长为( )
A．2B．3
C.eq \r(3)D．2eq \r(3)
12．如图，有四座城市A，B，C，D，其中B在A的正东方向，且与A相距120km，D在A的北偏东30°方向，且与A相距60km；C在B的北偏东30°方向，且与B相距60eq \r(13)km，一架飞机从城市D出发以360km/h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有( )
A．120kmB．60eq \r(6)km
C．60eq \r(5)kmD．60eq \r(3)km
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA＋acsB＝0，则B＝________.
14．如图，在离地面高200m的热气球M上，观察到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为________m.
15．如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．
16．在△ABC中，∠ACB＝60°，BC>2，AC＝AB＋1，当△ABC的周长最短时，BC的长是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，csB＝－eq \f(1,2).
(1)求b，c的值；
(2)求sin(B＋C)的值．
18. (本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋eq \r(3)csA＝0，a＝2eq \r(7)，b＝2.
(1)求角A和边长c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
19．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且eq \f(csA,a)＋eq \f(csB,b)＝eq \f(sinC,c).
(1)证明：sinAsinB＝sinC；
(2)若b2＋c2－a2＝eq \f(6,5)bc，求tanB.
20．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若asinB＝eq \r(3)bcsA.
(1)求角A；
(2)若△ABC的面积为2eq \r(3)，a＝5，求△ABC的周长．
21．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(bsinC－\f(ccsB,tanC)))＝a.
(1)求角A；
(2)若△ABC的内切圆面积为4π，求△ABC面积S的最小值．
22．(本小题满分12分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量csA＝eq \f(12,13)，csC＝eq \f(3,5).
(1)求索道AB的长；
(2)问：乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？
第九章 章末质量检测(一) 解三角形
1．解析：余弦定理AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcsC将各值代入得AC2＋3AC－4＝0，
解得AC＝1或AC＝－4(舍去)，故选A.
答案：A
2．解析：∵在△ABC中a＝eq \f(\r(5),2)b，∴由正弦定理可得sinA＝eq \f(\r(5),2)sinB ①，又∵A＝2B，∴sinA＝sin2B＝2sinBcsB ②，由①②可得eq \f(\r(5),2)sinB＝2sinBcsB，可得csB＝eq \f(\r(5),4)，故选B.
答案：B
3．解析：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accsB，则6＝a2＋2＋eq \r(2)a，即a2＋eq \r(2)a－4＝0，解得a＝eq \r(2)或a＝－2eq \r(2)(舍)．故选D.
答案：D
4．答案：D
5．解析：当△ABC为锐角三角形时，C一定为锐角，此时a2＋b2>c2成立，当a2＋b2>c2成立时，由余弦定理可得csC＞0，即C为锐角，但此时△ABC形状不能确定，故△ABC为锐角三角形”是“a2＋b2>c2”的充分不必要条件，故选A.
答案：A
6．解析：AC＝120，AB＝eq \f(60,sin75°)，eq \f(AB,sin30°)＝eq \f(BC,sin45°)，
所以BC＝eq \f(ABsin45°,sin30°)＝eq \f(60×\r(2),sin30°＋45°)＝120(eq \r(3)－1)．
故选C.
答案：C
7．解析：sin(A＋C)＋2sinBcsC＝2sinAcsC＋csAsinC
所以2sinBcsC＝sinAcsC⇒2sinB＝sinA⇒2b＝a，故选A.
答案：A
8．解析：因为tanA＋tanB＋eq \r(3)＝eq \r(3)tanA·tanB，
所以tanA＋tanB＝－eq \r(3)(1－tanA·tanB)，
即tan(A＋B)＝eq \f(tanA＋tanB,1－tanA·tanB)＝－eq \r(3)，
所以A＋B＝eq \f(2π,3)，C＝eq \f(π,3)，
又因为a＝4，b＋c＝5.
所以(5－b)2＝42＋b2－2×4b×eq \f(1,2).
解得b＝eq \f(3,2)，则△ABC的面积为S＝eq \f(1,2)×4×eq \f(3,2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2).故选C.
答案：C
9．解析：因为c2＝(a－b)2＋6，C＝eq \f(π,3)，所以由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcseq \f(π,3)，即－2ab＋6＝－ab，ab＝6，因此△ABC的面积为eq \f(1,2)absinC＝3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2)，故选C.
答案：C
10．解析：设AC＝x,0
故选B.
答案：B
11．解析：△ABC的外接圆的面积为πR2＝3π，∴R＝eq \r(3).
cs2A－cs2B＋cs2C＝1＋sinAsinC则1－sin2A－1＋sin2B＋1－sin2C＝1＋sinAsinC，
sin2A－sin2B＋sin2C＋sinAsinC＝0，
根据正弦定理：a2＋c2－b2＋ac＝0
根据余弦定理：a2＋c2－b2＝2accsB＝－ac，∴csB＝－eq \f(1,2)，∴∠B＝120°
故b为最长边：b＝2RsinB＝3
故选B.
答案：B
12．答案：D
解析：取AB的中点E，连DE，设飞机飞行了15分钟到达F点，连BF，如图所示：则BF即为所求．
因为E为AB的中点，且AB＝120km，所以AE＝60km，
又∠DAE＝60°，AD＝60km，所以三角形DAE为等边三角形，所以DE＝60km，∠ADE＝60°，
在等腰三角形EDB中，∠DEB＝120°，所以∠EDB＝∠EBD＝30°，
所以∠ADB＝90°，由勾股定理得BD2＝AB2－AD2＝1202－602＝10800，
所以BD＝60eq \r(3)km，
因为∠CBE＝90°＋30°＝120°，∠EBD＝30°，所以∠CBD＝90°，
所以CD＝eq \r(BD2＋BC2)＝eq \r(10800＋602×13)＝240km，
所以cs∠BDC＝eq \f(BD,CD)＝eq \f(60\r(3),240)＝eq \f(\r(3),4)，
因为DF＝360×eq \f(1,4)＝90km，
所以在三角形BDF中，
BF2＝BD2＋DF2－2BD·DF·cs∠BDF
＝(60eq \r(3))2＋902－2×60eq \r(3)×90×eq \f(\r(3),4)
＝10800，
所以BF＝60eq \r(3)km.
故一架飞机从城市D出发以360km/h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有60eq \r(3)km.
故选D.
答案：D
13．解析：由正弦定理，得sinBsinA＋sinAcsB＝0.∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，∴sinA≠0，得sinB＋csB＝0，即tanB＝－1，∴B＝eq \f(3π,4).
答案：eq \f(3π,4)
14．解析：在Rt△DAM中DM＝200，∠MAD＝45°
∴AM＝200eq \r(2)，
∵△AMC中，∠MAC＝75°，∠AMC＝60°，∴∠ACM＝45°
∵eq \f(AM,sin45°)＝eq \f(AC,sin60°)，∴AC＝200eq \r(3)，∴BC＝300.
答案：300
15.
解析：如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合于E点时，AB最长，在△BCE中，∠B＝∠C＝75°，∠E＝30°，BC＝2，由正弦定理可得eq \f(BC,sin∠E)＝eq \f(BE,sin∠C)，即eq \f(2,sin30°)＝eq \f(BE,sin75°)，解得BE＝eq \r(6)＋eq \r(2)；平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B＝∠BFC＝75°，∠FCB＝30°，由正弦定理知，eq \f(BF,sin∠FCB)＝eq \f(BC,sin∠BFC)，即eq \f(BF,sin30°)＝eq \f(2,sin75°)，解得BF＝eq \r(6)－eq \r(2)，所以AB的取值范围为(eq \r(6)－eq \r(2)，eq \r(6)＋eq \r(2))．
答案：(eq \r(6)－eq \r(2)，eq \r(6)＋eq \r(2))
16．解析：设A，B，C所对的边a，b，c，根据余弦定理可得eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝csC＝eq \f(1,2)，
所以a2＋b2－c2＝ab
将b＝c＋1代入上式，可得a2＋2c＋1＝ac＋a,
化简可得c＝eq \f(a2－a＋1,a－2)，
所以△ABC的周长L＝a＋b＋c＝a＋2c＋1＝a＋1＋2eq \f(a2－a＋1,a－2).
设a－2＝t(t>0)，则a＝t＋2，
可得L＝t＋3＋2eq \f(t＋22－t＋2＋1,t)＝3t＋eq \f(6,t)＋9≥2eq \r(3t·\f(6,t))＋9＝9＋6eq \r(2)，
当且仅当3t＝eq \f(6,t)，即t＝eq \r(2)此时a＝eq \r(2)＋2，
可得周长的最小值为9＋6eq \r(2)，BC的长是2＋eq \r(2).
故答案为2＋eq \r(2).
答案：2＋eq \r(2)
17．解析：(1)由余弦定理可得csB＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝－eq \f(1,2)，
因为a＝3，所以c2－b2＋3c＋9＝0，因为b－c＝2，所以解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝7,c＝5)).
(2)由(1)知a＝3，b＝7，c＝5，所以csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(13,14)；
因为A为△ABC的内角，所以sinA＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(3\r(3),14).
因为sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA＝eq \f(3\r(3),14).
18．解析：(1)∵sinA＋eq \r(3)csA＝0，∴tanA＝－eq \r(3)，∵0
(2)∵c2＝b2＋a2－2abcsC，∴16＝28＋4－2×2eq \r(7)×2×csC，
∴csC＝eq \f(2,\r(7))，∴CD＝eq \f(AC,csC)＝eq \f(2,\f(2,\r(7)))＝eq \r(7)，∴CD＝eq \f(1,2)BC，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)AB·AC·sin∠BAC＝eq \f(1,2)×4×2×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)，∴S△ABD＝eq \f(1,2)S△ABC＝eq \r(3).
19．解析：(1)根据正弦定理，设eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)＝k(k>0)．
则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC.
代入eq \f(csA,a)＋eq \f(csB,b)＝eq \f(sinC,c)中，有eq \f(csA,ksinA)＋eq \f(csB,ksinB)＝eq \f(sinC,ksinC)，
变形可得sinAsinB＝sinAcsB＋csAsinB＝sin(A＋B)．
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，
所以sinAsinB＝sinC.
(2)由已知，b2＋c2－a2＝eq \f(6,5)bc，根据余弦定理，有csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(3,5).
所以sinA＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(4,5).
由(1)，sinAsinB＝sinAcsB＋csAsinB，
所以eq \f(4,5)sinB＝eq \f(4,5)csB＋eq \f(3,5)sinB，
故tanB＝eq \f(sinB,csB)＝4.
20．解析：(1)由题意，在△ABC中，因为asinB＝eq \r(3)bcsA，
由正弦定理，可得sinAsinB＝eq \r(3)sinBcsA，
又因为B∈(0，π)，可得sinB≠0，
所以sinA＝eq \r(3)csA，即tanA＝eq \r(3)，
因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3)；
(2)由(1)可知A＝eq \f(π,3)，且a＝5，
又由△ABC的面积2eq \r(3)＝eq \f(1,2)bcsinA＝eq \f(\r(3),4)bc，解得bc＝8，
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccsA，可得25＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－24，
整理得(b＋c)2＝49，解得b＋c＝7，
所以△ABC的周长a＋b＋c＝5＋7＝12.
21．解析：(1)因为eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(bsinC－\f(ccsB,tanC)))＝a
所以eq \r(3)(sinBsinC－csBcsC)＝sinA
即－eq \r(3)cs(B＋C)＝sinA，所以eq \r(3)csA＝sinA，即tanA＝eq \r(3)，因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3)；
(2)由题意知△ABC内切圆的半径为2，
如图，内切圆的圆心为I，M，N为切点，
则AI＝4，AM＝AN＝2eq \r(3)，
从而a＝b＋c－4eq \r(3)，
由余弦定理得(b＋c－4eq \r(3))2＝b2＋c2－bc，
整理得3bc＋48＝8eq \r(3)(b＋c)≥16eq \r(3)eq \r(bc)，
解得bc≥48或bc≤eq \f(16,3)(舍去)，
从而S＝eq \f(1,2)bcsinA≥eq \f(1,2)×48×eq \f(\r(3),2)＝12eq \r(3)，
即△ABC面积S的最小值为12eq \r(3).
22．解析：(1)在△ABC中，因为csA＝eq \f(12,13)，csC＝eq \f(3,5)，
所以sinA＝eq \f(5,13)，sinC＝eq \f(4,5)，
从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcsC＋sinCcsA＝eq \f(5,13)×eq \f(3,5)＋eq \f(12,13)×eq \f(4,5)＝eq \f(63,65).
由正弦定理eq \f(AB,sinC)＝eq \f(AC,sinB)，得AB＝eq \f(AC,sinB)×sinC＝eq \f(1260,\f(63,65))×eq \f(4,5)＝1040(m)．
所以索道AB的长为1040m.
(2)假设乙出发tmin后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，
所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×eq \f(12,13)＝200(37t2－70t＋50)＝200eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(37\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(35,37)))2＋\f(625,37)))，
由于0≤t≤eq \f(1040,130)，即0≤t≤8，
故当t＝eq \f(35,37)min时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由正弦定理eq \f(BC,sinA)＝eq \f(AC,sinB)，
得BC＝eq \f(AC,sinB)×sinA＝eq \f(1260,\f(63,65))×eq \f(5,13)＝500(m)．
乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C.
设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3≤eq \f(500,v)－eq \f(710,50)≤3，解得eq \f(1250,43)≤v≤eq \f(625,14)，
所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1250,43)，\f(625,14)))(单位：m/min)范围内．
相关试卷
数学必修 第四册第九章 解三角形本章综合与测试单元测试同步训练题： 这是一份数学必修 第四册第九章 解三角形本章综合与测试单元测试同步训练题，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高中数学模块质量检测含解析新人教B版必修第四册： 这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册全册综合精练，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步本章综合与测试课时练习： 这是一份人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步本章综合与测试课时练习，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
