高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第九章 解三角形9.2 正弦定理与余弦定理的应用一等奖作业课件ppt

9.2　正弦定理与余弦定理的应用

9.3　数学探究活动：得到不可达两点之间的距离

1．实际测量中的有关名词、术语

2.方位角

从指北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α(如图所示)．

方位角的取值范围：0°～360°.

3．方向角

从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.

1．如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为(　　)

A．a km   B．a km

C．a km D．2a km

B　[在△ABC中，因为AC＝BC＝a，

∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，

由余弦定理可得AB2＝a2＋a2－2a×a×cos 120°＝3a2，所以AB＝a，故选B.]

2．已知两座建筑A，B与规划测量点C的距离相等，A在C的北偏东40°，B在C的南偏东60°，则A在B的(　　)

A．北偏东10°　　 B．北偏西10°

C．南偏东10° D．南偏西10°

B　[因为△ABC为等腰三角形，

所以∠CBA＝(180°－80°)＝50°，

60°－50°＝10°.

即北偏西10°.]

3．某人从A处出发、沿北偏西60°行走2 km到达B处，再沿正东方向行走2 km到达C处，则A、C两地的距离为________km.

2　[如图所示，∠ABC＝30°，又AB＝2，BC＝2，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcos∠ABC＝12＋4－2×2×2×＝4，

AC＝2，所以A、C两地的距离为2 km.]

4．在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，求A，C两点之间的距离．

[解]　如图所示，∵∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，又AB＝2，

∴由正弦定理＝，得＝，解得AC＝，即A，C两点之间的距离为千米．

【例1】　要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之间的距离．

[思路探究]　将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形．

[解]　如图所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，

∴AC＝CD＝ km.

在△BCD中，∠BCD＝45°，

∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.

∴BC＝＝.

在△ABC中，由余弦定理，得

AB2＝()2＋－2×××cos 75°

＝3＋2＋－＝5，

∴AB＝(km)，∴A，B之间的距离为 km.

三角形中与距离有关的问题的求解策略

1．解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．

2．解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．

1．如图，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点观测灯塔A的方位角为65°.问货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？

 [解]　在△ABC中，BC＝40×＝20(km)，

∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，

故∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°.

由正弦定理得AC＝＝＝10(km)．

答：货轮到达C点时，与灯塔A的距离是10 km.

【例2】　如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是C点到水平面的垂足，求山高CD.

[解]　由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.

因此只需在△ABD中求出AD即可，

在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，

由＝，

得AD＝＝＝800(＋1)(m)．

即山的高度为800(＋1)m.

解决测量高度问题的一般步骤

1．画图：根据已知条件画出示意图．

2．分析三角形：分析与问题有关的三角形．

3．求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．

2．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是(　　)

A．100 m　　 B．400 m

C．200 m D．500 m

D　[由题意画出示意图，设塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知得BD＝h m，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m)．]

【例3】　如图，甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的警报后，测得甲船是沿着北偏西15°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近，如果乙船要在40分钟内追上甲船，则乙船应以多大速度，以何方位角航行？(已知cos 68°13′≈0.37)

[解]　设乙船速度为x海里/时，且乙船在40分钟后在点C处追上甲船，则BC＝x＝x(海里)，

AC＝×9＝6(海里)．

由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC，即＝102＋62－2×10×6×cos(90°－15°＋45°)，∴x＝21，BC＝14.

由正弦定理得＝，

∴sin B＝sin 120°≈0.37，

∴B≈21°47′.

答：乙船应以每小时21海里的速度沿北偏东23°13′航行．

测量角度问题画示意图的基本步骤：

3．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶了多少海里？

[解]　设甲船沿直线AC与乙船同时到达C点，则A，B，C三点构成△ABC，如图．设乙船速度为v海里/时，则甲船速度为v海里/时，用时为t h.

由题意得BC＝vt，AC＝vt，∠ABC＝120°.

由余弦定理知

AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos 120°，

∴3v2t2＝a2＋v2t2＋avt，

∴2v2t2－avt－a2＝0，解得vt＝－(舍去)或vt＝a，

∴BC＝a海里．

在△ABC中，AB＝BC＝a海里，∴∠BAC＝∠ACB＝30°.

故甲船应沿北偏东30°的方向前进才能在最短时间内追上乙船，此时乙船行驶了a海里.

[探究问题]

1．某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是50°，距离是4 km，从B到C，方位角是80°，距离是8 km，从C到D，方位角是150°，距离是6 km，试画出示意图．

[提示]　如图所示：

2．在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C，则此人的速度至少是多少？

[提示]　如探究1图，在△ABC中，∠ABC＝50°＋(180°－80°)＝150°，由余弦定理得AC＝＝，则此人的最小速度为v＝＝8(km/h)．

3．在探究1中若投递员以24 km/h的速度匀速沿大路从A到D前进，10分钟后某人以16 km/h的速度沿小路直接由A到C追投递员，问在C点此人能否与投递员相遇？

[提示]　投递员到达C点的时间为t1＝＝(小时)＝30(分钟)，追投递员的人所用时间由探究2可知t2＝≈0.28小时＝16.5分钟；由于30＞16.5＋10，所以此人在C点能与投递员相遇．

【例4】　如图所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？

[思路探究]　根据已知图形构造三角形，利用余弦定理建立速度与时间的函数求解．

[解]　作MI垂直公路所在直线于点I，则MI＝3，∵OM＝5，∴OI＝4，∴cos∠MOI＝.

设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，追上汽车的时间为t小时，

由余弦定理得(vt)2＝52＋(50t)2－2×5×50t×，

即v2＝－＋2 500＝25＋900≥900，

∴当t＝时，v取得最小值为30，

∴其行驶距离为vt＝＝(公里)．

故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了公里．

解决实际问题应注意的问题

1．首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步．

2．将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题．

4．一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向上，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，则此船的航行速度为(　　)

A．8(＋)海里/时 B．8(－)海里/时

C．16(＋)海里/时 D．16(－)海里/时

D　[如图，由题意得，在△SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.

由正弦定理得＝，

即＝，得AB＝8(－)海里，

因此该船的航行速度为＝16(－)(海里/时)．]

1．测量距离问题包括两种情况

(1)测量一个可到达点到另一个不可到达点之间的距离．

(2)测量两个不可到达点之间的距离．

第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于第二种情况，首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BC，AC转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问题(如图2)．

图1　　　　　　图2

2．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．

3．测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)一般来说，在测量过程中基线越长，测量精确度越低． (　　)

(2)已知三角形的三个角，能够求其三条边． (　　)

(3)两个不可到达的点之间的距离无法求得． (　　)

(4)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°方向． (　　)

(5)如图所示，该角可以说成北偏东110°. (　　)

[解析]　(1)×.因为在测量过程中基线越长，测量的精确度越高．

(2)×.因为要解三角形，至少要知道这个三角形的一条边．

(3)×.两个不可到达的点之间的距离我们可以借助余弦定理求得．

(4)×.若P在Q的北偏东44°，则Q应在P的南偏西44°.

(5)×.题图中所标角应为方位角，可以说成点A的方位角为110°.

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×

2. 如图所示，在河岸AC上测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是(　　)

A．a，c，α　　 B．b，c，α

C．c，a，β D．b，α，γ

D　[由α，γ可求出β，由α，β，b，可利用正弦定理求出BC.故选D.]

3．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为(　　)

A．0.5 h　 B．1 h

C．1.5 h D．2 h

B　[设台风中心移动t h，城市B处在危险区，则(20t)2＋402－2×20 t×40×cos 45°≤900，

解得－≤t≤＋，

所以B城市处在危险区的时间为1 h．]

4．如图所示，某海轮以60海里/时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离．

[解]　因为AB＝40，∠BAP＝120°，∠ABP＝30°，

所以∠APB＝30°，所以AP＝40，

所以BP2＝AB2＋AP2－2AP·AB·cos 120°

＝402＋402－2×40×40×＝402×3，

所以BP＝40.

又∠PBC＝90°，BC＝80，

所以PC2＝BP2＋BC2＝(40)2＋802＝11 200，

所以PC＝40海里．