数学必修 第二册第四章 三角恒等变换2 两角和与差的三角函数公式2.3 三角函数的叠加及其应用第2课时练习题

课后素养落实(二十二)　正弦定理

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是(　　)

A．    B．    C．    D．

A　[根据正弦定理得＝＝.故选A.]

2．在△ABC中，a＝b sin A，则△ABC一定是(　　)

A．锐角三角形     B．直角三角形

C．钝角三角形     D．等腰三角形

B　[由题意有＝b＝，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．故选B.]

3．(多选题)在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B为(　　)

A．60°    B．30°    C．120°    D．150°

AC　[由正弦定理可知＝，

∴sin B＝＝＝.

∵B∈(0°，180°)，∴B＝60°或120°.]

4．在△ABC中，若＝，则B的值为(　　)

A．30°    B．45°    C．60°    D．90°

B　[根据正弦定理知＝，结合已知条件可得sin B＝cos B，即tan B＝1，又因0°＜B＜180°，所以B＝45°，故选B.]

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝b sin A，则sin B＝(　　)

A．    B．    C．    D．－

B　[由正弦定理得a＝2R sin A，b＝2R sin B，所以sin A＝sin B sin A，故sin B＝.]

二、填空题

6．在△ABC中，若BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝________．

2　[由正弦定理，得AB＝BC＝2BC＝2.]

7．在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝________．

　[由题意，知B＝180°－105°－30°＝45°.

由正弦定理，得c＝＝＝.]

8．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin A＝________．

　[∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，∴B＝，

∴由正弦定理＝，

得＝.

∴sin A＝.]

三、解答题

9．在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc.

(1)求角A的大小；

(2)求的值．

[解]　(1)由题意知，b2＝ac，a2－c2＝ac－bc，

∴cos A＝＝＝，

∵A∈(0，π)，∴A＝.

(2)由b2＝ac，得＝，

∴＝sin B·＝sin B·＝sin A＝.

10．已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C＋c＝b.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝1，b＝，求c的值．

[解]　(1)由a cos C＋c＝b，

得sin A cos C＋sin C＝sin B.

因为sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C，

所以sin C＝cos A sin C.

因为sin C≠0，所以cos A＝.

因为0＜A＜π，所以A＝.

(2)由正弦定理，得sin B＝＝.

所以B＝或.

①当B＝时，由A＝，得C＝，所以c＝2；

②当B＝时，由A＝，得C＝，所以c＝a＝1.

综上可得c＝1或2.

11．(多选题)下列命题中，正确的是(　　)

A．在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B

B．在锐角△ABC中，不等式sin A＞cos B恒成立

C．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC必是等腰直角三角形

D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形

ABD　[对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B，故A正确；对于B，在锐角△ABC中，A，B∈(0，)，且A＋B＞，则＞A＞－B＞0，所以sin A＞sin (－B)＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由a cos A＝b cos B，根据余弦定理得a·＝b·，化简得(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，即a＝b或a2＋b2＝c2，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2ac cos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c，又因为B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．故选A、B、D.]

12．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为4(＋1)，且sin B＋sin C＝sin A，则a＝(　　)

A．    B．2    C．4    D．2

C　[根据正弦定理，sin B＋sin C＝sin A可化为b＋c＝a，

∵△ABC的周长为4(＋1)，

∴解得a＝4.故选C.]

13．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________．

7　[∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，

∴＝＝＝2R＝2，

∴＋＋＝2＋1＋4＝7.]

14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________．

　3　[由正弦定理＝，

得sin B＝·sin A＝×＝.

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，

得7＝4＋c2－4c×cos 60°，

即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去).]

15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c满足2bc sin A＝(a2＋c2－b2).

(1)求B的大小；

(2)若△ABC外接圆的半径为，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

[解]　(1)由余弦定理及2bc sin A＝(a2＋c2－b2)，

可得b sin A＝a cos B，

又由正弦定理，可得

sin B sin A＝sin A cos B，

因为0＜A＜π，所以sin A≠0，所以sin B＝cos B，所以tan B＝，又因为0＜B＜π，

所以B＝.

(2)由(1)可知sin B＝，又知△ABC外接圆的半径为，

则由正弦定理得b＝2R sin B＝2××＝3.

又由S＝ac sin B＝，可得ac＝9，

根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－3ac，

所以(a＋c)2＝b2＋3ac＝9＋3×9＝36

所以a＋c＝6，

所以△ABC的周长为a＋b＋c＝9.