高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第2课时当堂达标检测题

二十五　双曲线方程及性质的应用

　　　　　　　　　　　　　　(15分钟　30分)

1．已知m＜1且m≠0，则二次曲线－＝1与＋＝1必有(　　)

A．不同的顶点       B．不同的焦距

C．相同的离心率       D．相同的焦点

【解析】选D.若m＜0，则1－m＞－m＞0，则二次曲线－＝1表示焦点在x轴上的椭圆，此时c2＝a2－b2＝1－m－(－m)＝1，故焦点坐标为(±1，0)，

因此与椭圆＋＝1具有相同的焦点．

当0<m<1时，－＝1表示焦点在x轴上的双曲线c2＝1－m＋m＝1，故焦点坐标为(－1，0)和(1，0)，也与＋＝1有相同焦点．

2．已知双曲线E的中心在原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)

A．－＝1        B．－＝1

C．－＝1        D．－＝1

【解析】选B.由已知条件易得直线l的斜率k＝＝1，

设双曲线E的方程为－＝1(a>0，b>0)，

A(x1，y1)，B(x2，y2)，则－＝1①，

－＝1②，

x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30，

由①②得＝，从而＝1，

又因为a2＋b2＝c2＝9，

故a2＝4，b2＝5，所以E的方程为－＝1.

3．设F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过点F作斜率为3的直线l与双曲线左、右支均相交，则双曲线离心率的取值范围为(　　)

A．(1，)        B．(1，)

C．(，＋∞)       D．(，＋∞)

【解析】选C.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，

由斜率为3的直线l过双曲线的右焦点，

且与双曲线左、右支各有一个交点，

则＞3，即b2＞9a2，c2＞10a2，可得e＞.

4．(2019·全国Ⅲ卷)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为(　　)

A．    B．    C．2    D．3

【解析】选A.由双曲线的方程－＝1可得一条渐近线方程为y＝x；

在△PFO中|PO|＝|PF|，过点P作PH⊥OF.

因为tan ∠POF＝，OF＝，OH＝OF，

所以PH＝；

所以S△PFO＝××＝.

5．(2020·天津高二检测)已知双曲线－＝1的两条渐近线分别为直线l1，l2，经过右焦点F且垂直于l1的直线l分别交l1，l2于A，B两点，且＝2，求该双曲线的离心率．

【解析】双曲线的渐近线的方程为y＝±x.

不妨设直线l的方程为y＝－，

由可得，所以A.

由可得，

所以B，

因为＝2，故，

整理得到c2＝2a2－2b2，即3c2＝4a2，故e＝.

　　　　　　　　　　　　　　(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．(2020·池州高二检测)与椭圆C：＋＝1共焦点且过点的双曲线的标准方程为(　　)

A．x2－＝1        B．y2－2x2＝1

C．－＝1        D．－x2＝1

【解析】选C.设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，

根据题意得

解得a2＝b2＝2，

所以该双曲线的标准方程为－＝1.

2．(2020·长沙高二检测)设点M，N均在双曲线C：－＝1上运动，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，则的最小值为(　　)

A．2       B．4

C．2       D．以上都不对

【解析】选B.由题意，设O为F1F2的中点，

根据向量的运算，可得＝＝2，

又由N为双曲线C：－＝1上的动点，可得≥a，

所以

＝2≥2a＝4，

即的最小值为4.

3．(2020·沈阳高二检测)若圆x2＋(y－)2＝r2与双曲线－＝1没有公共点，则半径r的取值范围是(　　)

A．0<r<       B．0<r<

C．0<r<       D．0<r<

【解析】选C.若圆x2＋2＝r2与双曲线－＝1没有公共点，则半径r小于双曲线上的点到圆心距离的最小值，设双曲线上任意点P，圆心A，

＝＝＝，当y＝时，的最小值为，

所以半径r的取值范围是0<r<.

4．(2020·全国Ⅰ卷)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为(　　)

A．    B．3    C．    D．2

【解析】选B.由已知，不妨设F1(－2，0)，F2(2，0)，

则a＝1，c＝2，因为|OP|＝2＝|F1F2|，

所以点P在以F1F2为直径的圆上，

即△F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形，

故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，

即|PF1|2＋|PF2|2＝16，又||PF1|－|PF2||＝2a＝2，

所以4＝||PF1|－|PF2||2＝|PF1|2＋|PF2|2－

2|PF1||PF2|＝16－2|PF1||PF2|，

解得|PF1||PF2|＝6，

所以S△F1F2P＝|PF1||PF2|＝3.

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．(2020·泰安高二检测)已知双曲线C过点且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是(　　)

A．C的方程为－y2＝1

B．C的离心率为

C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点

D．直线x－y－1＝0与C有两个公共点

【解析】选AC.对于选项A：由已知y＝±x，可得y2＝x2，从而设所求双曲线方程为x2－y2＝λ，

又由双曲线C过点，从而×32－()2＝λ，即λ＝1，从而选项A正确；

对于选项B：由双曲线方程可知a＝，b＝1，c＝2，从而离心率为e＝＝＝，所以B选项错误；

对于选项C：双曲线的右焦点坐标为，满足y＝ex－2－1，从而选项C正确；

对于选项D：联立，

整理，得y2－2y＋2＝0，由Δ＝(2)2－4×2＝0，知直线与双曲线C只有一个交点，选项D错误．

6．(2020·济南高二检测)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是(　　)

A．C的渐近线上的点到F距离的最小值为4

B．C的离心率为

C．C上的点到F距离的最小值为2

D．过F的最短的弦长为

【解析】选AC.由题意知，2a＝6，2c＝10，即a＝3，c＝5，因为b2＝c2－a2，所以b2＝25－9＝16，解得b＝4，

所以右焦点为F，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，

对于选项A：由点F向双曲线C的渐近线作垂线时，垂线段的长度即为C的渐近线上的点到F距离的最小值，由点到直线的距离公式可得，d＝＝4，故选项A正确；

对于选项B：因为a＝3，c＝5，所以双曲线C的离心率为e＝＝，故选项B错误；

对于选项C：当双曲线C上的点为其右顶点时，此时双曲线C上的点到F的距离最小为2，故选项C正确；

对于选项D：过点F且斜率为零的直线与双曲线的交点为A，B，此时过点F的最短弦为AB＝6，故选项D错误．

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．如果双曲线－＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是__________.

【解析】如图，

因为OA＝AF，F(c，0)，所以xA＝，

因为A在右支上且不在顶点处，

所以>a，所以e＝>2.

答案：(2，＋∞)

8．已知双曲线C的方程为－＝1(a＞0)，过原点O的直线l与双曲线C相交于A，B两点，点F为双曲线C的左焦点，且AF⊥BF，则△ABF的面积为__________．

【解析】双曲线C的方程为－＝1(a＞0)，过原点O的直线l与双曲线C相交于A，B两点，

点F为双曲线C的左焦点，且AF⊥BF，

设AF＝m，BF＝n，可得m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，

可得：m2＋n2－2mn＝4a2，可得：mn＝c2－a2＝b2＝9.

答案：9

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，虚轴长为4.

(1)求双曲线的标准方程．

(2)过点(0，1)，倾斜角为45°的直线l与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．

【解析】(1)依题意可得

解得a＝1，b＝2，c＝，

所以双曲线的标准方程为x2－＝1.

(2)直线l的方程为y＝x＋1，

联立

消去y得3x2－2x－5＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)

由根与系数的关系可得x1＋x2＝，x1x2＝－，

则|AB|＝|x1－x2|＝

＝×＝，

原点到直线l的距离为d＝，

所以S△OAB＝·|AB|·d＝××＝.

所以△OAB的面积为.

10．已知双曲线C：－＝1.

(1)求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为6的双曲线的标准方程．

(2)P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是(4，0)，求|PA|的最小值．

【解析】(1)由题可设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)，

①当λ＞0时，方程为－＝1，

令4λ＝得λ＝，即双曲线方程为－＝1，

②当λ＜0时，方程为－＝1，

令－3λ＝得λ＝－3，

即双曲线方程为－＝1，

所以双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.

(2)设P(x0，y0)(x0≥2)，满足－＝1，

|PA|＝＝＝＝.

则当x0＝时，|PA|有最小值，为.

【创新迁移】

1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为__________.

【解析】由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a，又已知

|PF1|＝4|PF2|，所以|PF1|＝a，|PF2|＝a，

在△PF1F2中，由余弦定理得

cos ∠F1PF2＝＝－e2，要求e的最大值，即求cos ∠F1PF2的最小值，

因为cos ∠F1PF2≥－1，

所以cos ∠F1PF2＝－e2≥－1，

解得e≤，即e的最大值为.

答案：

2．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点．

(1)求双曲线C2的方程．

(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·＞2，求k的取值范围．

【解析】(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则a2＝4－1＝3，c2＝4，

再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，

故双曲线C2的方程为－y2＝1.

(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，

得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.

由直线l与双曲线C2交于不同的两点，

得

所以k2＜1且k2≠.①

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝.

所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)

＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.

又因为·＞2，即x1x2＋y1y2＞2，

所以＞2，即＞0，

解得＜k2＜3.②

由①②得＜k2＜1，

故k的取值范围为∪.