高中数学第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线第1课时巩固练习

二十七　抛物线的简单几何性质

　　　　　　　　　　　　　　(15分钟　30分)

1．过抛物线C：y＝x2的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为M，则|AB|＝(　　)

A．      B．     C．13     D．9

【解析】选D.由题意可得抛物线的标准形式为：x2＝8y，所以准线方程为y＝－2，

由题意可得A，B的纵坐标之和为×2＝5，

所以弦长|AB|＝5＋4＝9.

【补偿训练】

 已知F是抛物线x2＝2y的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝6，则线段AB的中点到x轴的距离为________．

【解析】因为|AF|＋|BF|＝6，由抛物线的定义可得|AD|＋|BE|＝6，

又线段AB的中点到抛物线准线y＝－的距离为(|AD|＋|BE|)＝3，所以线段AB的中点到x轴的距离为.

答案：

2．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　)

A．(6，＋∞)       B．[6，＋∞)

C．(3，＋∞)       D．[3，＋∞)

【解析】选D.因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，所以＝3，即p＝6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，所以抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞).

3．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)

A．x＝1    B．x＝－1    C．x＝2    D．x＝－2

【解析】选B.抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，代入y2＝2px消去x，得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.

4．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________.

【解析】设线段的端点为(x1，y1)，(x2，y2)，

将y＝x－1代入y2＝4x，整理得x2－6x＋1＝0.

由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，

所以＝＝＝2，

所以所求点的坐标为(3，2).

答案：(3，2)

5．以抛物线C：y2＝2px(p>0)的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝2，|DE|＝2，求p的值．

【解析】如图：|AB|＝2，|AM|＝，

|DE|＝2，|DN|＝，|ON|＝，

所以xA＝＝，因为|OD|＝|OA|，

所以＝，

所以＋10＝＋6，解得：p＝.

　　　　　　　　　　　　　　(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．(2020·南昌高二检测)已知拋物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线－x2＝2的上焦点，则a＝(　　)

A．4    B．8    C．8    D．－8

【解析】选B.抛物线x2＝ay(a＞0)的焦点为，双曲线－x2＝2的焦点为，

因为a＞0，所以＝2，所以a＝8.

2．(2020·重庆高二检测)已知抛物线y2＝2px与圆x2＋y2＝5交于A，B两点，且＝4，则p＝(　　)

A．    B．1    C．2    D．4

【解析】选C.由题意知，抛物线与圆交于A，B两点，且＝4，因为两个曲线都关于x轴对称，所以A，B两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，

故可设A，B，代入圆的方程得m2＋22＝5，解得m＝1，

故A，B，代入抛物线方程可得4＝2p，即p＝2.

3．(2020·深圳高二检测)已知O为坐标原点，抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，过焦点F的直线交E于A，B两点，若△OFA的外接圆圆心为Q，Q到抛物线E的准线的距离为，则p＝(　　)

A．1      B．2       C．3      D．4

【解析】选A.由题意知，抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为y＝－，

因为Q在线段OF的垂直平分线上，故Q的纵坐标为，

所以＋＝，所以p＝1.

4．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为抛物线上不同的三点，点F是△ABC的重心，O为坐标原点，△OFA，△OFB，△OFC的面积分别为S1，S2，S3，则S＋S＋S＝(　　)

A．9    B．6    C．3    D．2

【解析】选C.设A，B，C三点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，

因为抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1，0)，

所以S1＝|y1|，S2＝|y2|，S3＝|y3|，

所以S＋S＋S＝(y＋y＋y)＝x1＋x2＋x3，

因为点F是△ABC的重心，

所以x1＋x2＋x3＝3，

所以S＋S＋S＝3.

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．点A(2，1)到抛物线y2＝ax准线的距离为1，则a的值可能为(　　)

A．－4    B．    C．－12    D．12

【解析】选AC.因为抛物线的标准方程为y2＝ax，若a>0，则准线方程为x＝－，由题设可得2＋＝1，则a＝－4，不合题意，舍去；若a<0，则准线方程为x＝－，由题设可得＝1，解得a＝－4或a＝－12.

6．(2020·济南高二检测)已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若＝4，则以下结论正确的是(　　)

A．p＝2        B．F为AD中点

C．＝2      D．＝2

【解析】选ABC.如图所示：作AC⊥准线于点C，AM⊥x轴于点M，BE⊥准线于点E.

直线的斜率为，故tan ∠AFM＝，∠AFM＝，

＝4，故＝2，＝2.

A，代入抛物线得到p＝2；

＝＝2，故△AMF≌△DNF，故F为AD的中点，

∠BDE＝，故＝2＝2，

＝2，＋＝＝＝4，故＝.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为______．

【解析】据题意知，△PMF为等边三角形时，PF＝PM，

所以PM垂直抛物线的准线，设P，

则M(－1，m)，

则等边三角形边长为1＋，

因为F(1，0)，

所以由PM＝FM，得1＋＝，

解得m2＝12，

所以等边三角形边长为4，其面积为4.

答案：4

8．已知直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且与抛物线相交，其中一个交点为(2p，2p)，则其焦点弦的长度为______．

【解析】由题意知，直线l过和(2p，2p)，

所以直线l：y＝.

设另一交点坐标为(x1，y1)，

联立整理得8x2－17px＋2p2＝0.

由根与系数的关系，得x1＋2p＝，

所以焦点弦的长度为x1＋2p＋p＝.

答案：

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．

【解析】当抛物线的焦点在x轴正半轴上时，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，焦点坐标为.

因为直线过点且倾斜角为135°，

所以直线方程为y＝－x＋p.

设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则|AB|＝x1＋x2＋p＝8.①

由消去y，得x2－3px＋＝0.

所以x1＋x2＝3p.②

由①②得p＝2，所以所求抛物线方程为y2＝4x.

当抛物线的焦点在x轴负半轴上时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.

综上，所求抛物线的方程为y2＝4x或y2＝－4x.

10．已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.

(1)求抛物线E的方程；

(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．

【解析】(1)由抛物线的定义，得|AF|＝2＋.

因为|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，

所以抛物线E的方程为y2＝4x.

(2)因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，

所以m＝±2，

由抛物线的对称性，不妨设 A(2，2).

由A(2，2)，F(1，0)可得，直线AF的方程为y＝

2(x－1).

由，得2x2－5x＋2＝0，

解得x＝2或x＝，

从而B.

又G(－1，0)，所以kGA＝＝，

kGB＝＝－，

所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．

【创新迁移】

1．(多选题)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其上的三个点A，B，C的横坐标之比为3∶4∶5，则以|FA|，|FB|，|FC|为边长的三角形不可能是(　　)

A．等腰直角三角形    B．必是锐角三角形

C．必是钝角三角形    D．必是直角三角形

【解析】选ACD.设A，B，C三点的横坐标分别为x1，x2，x3，x1＝3k，x2＝4k，x3＝5k(k>0)，由抛物线定义，得|FA|＝＋3k，|FB|＝＋4k，|FC|＝＋5k，易知三者能构成三角形，|FC|所对角为最大角，由余弦定理可证该角的余弦值为正数，故此三角形一定是锐角三角形．故不正确的为ACD.

2．如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.

(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|.

(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C的半径．

【解析】(1)抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1.

由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1，2)，

所以点C到准线l的距离d＝2，

又|CO|＝.

所以|MN|＝2＝2＝2.

(2)设C，则圆C的方程为＋(y－y0)2＝＋y，即x2－x＋y2－2y0y＝0.

由x＝－1，得y2－2y0y＋1＋＝0，

设M(－1，y1)，N(－1，y2)，

则

由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y1y2|＝4，所以＋1＝4，

解得y0＝±，此时Δ>0.

所以圆心C的坐标为或，

从而|CO|2＝，|CO|＝，

即圆C的半径为.