高中人教A版 (2019)3.2 双曲线精练

课后素养落实(二十七)　双曲线的简单几何性质

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若实数k满足0＜k＜5，则双曲线－＝1与双曲线－＝1的(　　)

A．实半轴长相等　 B．虚半轴长相等

C．离心率相等 D．焦距相等

D　[由于16＋(5－k)＝(16－k)＋5，所以焦距相等．]

2．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)

A．(，＋∞) B．(，2)

C．(1，) D．(1,2)

C　[由题意得双曲线的离心率e＝.

即e2＝＝1＋.

∵a＞1，∴0＜＜1，∴1＜1＋＜2，

∴1＜e＜.故选C．]

3．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为(　　)

A．－＝1 B．－＝1

C．－＝1 D．－＝1

A　[双曲线C的渐近线方程为－＝0，又点P(2,1)在C的渐近线上，所以－＝0，即a2＝4b2，①

又a2＋b2＝c2＝25，②

由①②，得b2＝5，a2＝20，所以双曲线C的方程为－＝1，故选A．]

4．过双曲线－＝1的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是左焦点，若∠PF1Q＝90°，则双曲线的离心率是(　　)

A． B．1＋

C．2＋ D．3－

B　[由题意知|F1F2|＝|PF2|，即2c＝，

∴2ac＝c2－a2，

∴e2－2e－1＝0，

解得e＝1±，又e>1，∴e＝＋1，故选B．]

5．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为(　　)

A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝9

C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝25

B　[设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a>0)，与y＝x联立，得x2＝a2，∴|AB|＝×a＝2，

∴a＝3，故选B．]

二、填空题

6．若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________，渐近线方程是________．

2　y＝±x　[a2＝1，b2＝m，e2＝＝＝1＋m＝3，m＝2.渐近线方程是y＝±x＝±x.]

7．以y＝±x为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为________．

－＝1　[以y＝±x为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)，代入点(2,0)得λ＝4，∴x2－y2＝4，即－＝1.]

8．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．

－y2＝1　[法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，

∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．

∵双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4，

∴双曲线的标准方程为－y2＝1.

法二：∵渐近线y＝x过点(4,2)，而＜2，

∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，

在y＝－x的上方(如图)．

∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．

由已知条件可得

解得

∴双曲线的标准方程为－y2＝1.]

三、解答题

9．已知圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆C：＋＝1有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．

[解]　椭圆C：＋＝1的两焦点为

F1(－5,0)，F2(5,0)，

故双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，

且c＝5.

设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，则G的渐近线方程为y＝±x，

即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25.

∵圆M的圆心为(0,5)，半径为r＝3，

∴＝3，∴a＝3，b＝4.

∴双曲线G的方程为－＝1.

10．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点是F(2,0)，离心率e＝2.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．

[解]　(1)由已知得c＝2，e＝2，所以a＝1，b＝.

所以所求双曲线方程为x2－＝1.

(2)设直线l的方程为y＝x＋m，点M(x1，y1)，N(x2，y2)．

联立整理得2x2－2mx－m2－3＝0.(*)

设MN的中点为(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝x0＋m＝，所以线段MN垂直平分线的方程为

y－＝－，即x＋y－2m＝0，

与坐标轴的交点分别为(0,2m)，(2m,0)，

可得|2m|·|2m|＝4，得m2＝2，m＝±，此时(*)的判别式Δ＞0，故直线l的方程为y＝x±.

1．(多选题)关于双曲线C1：4x2－9y2＝－36与双曲线C2：4x2－9y2＝36的说法正确的是(　　)

A．有相同的焦点 B．有相同的焦距

C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线

BD　[两方程均化为标准方程为－＝1和－＝1，这里均有c2＝4＋9＝13，所以有相同的焦距，而焦点一个在x轴上，另一个在y轴上，所以A错误，B正确；又两方程的渐近线均为y＝±x，故D正确．C1的离心率e＝，C2的离心率e＝，故C错误．]

2．设点F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x B．y＝±x

C．y＝±x D．y＝±x

D　[设F1(－c,0)，A(－c，y0)，

则－＝1，

∴＝－1＝＝＝，

∴y＝，

∴|AB|＝2|y0|＝.

又S△ABF2＝2，

∴·2c·|AB|＝·2c·＝＝2，

∴＝，

∴＝＝.

∴该双曲线的渐近线方程为y＝±x.]

3．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e＝________.

1＋　[以线段F1F2为边作正△MF1F2，则M在y轴上，可设|F1F2|＝2c，M在y轴正半轴，则M(0，c)，又F1(－c,0)，则边MF1的中点为，代入双曲线方程，可得－＝1，由于b2＝c2－a2，e＝，则有e2－＝4，即有e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4±2，由于e>1，即有e＝1＋.]

4．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．

　[双曲线－＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x.不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝，y＝－，

所以B.

所以S△AFB＝|AF||yB|＝(c－a)·|yB|＝×(5－3)×＝.]

(1)过点P(，5)与双曲线－＝1有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程；

(2)已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，当a为何值时，A，B在双曲线的同一支上？当a为何值时，A，B分别在双曲线的两支上？

[解]　(1)若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝，此时直线与双曲线仅有一个交点(，0)，满足条件．

若直线的斜率存在，设直线的方程为y－5＝k(x－)，则y＝kx＋5－k，代入双曲线方程，得－＝1，

∴25x2－7(kx＋5－k)2＝7×25，

∴(25－7k2)x2－7×2k(5－k)x－7(5－k)2－7×25＝0.

当k＝时，方程无解，不满足条件．

当k＝－时，方程为2×5x×10＝875，有一解，满足条件．

当k≠±时，令Δ＝[14k(5－k)]2－4(25－7k2)·[－7(5－k)2－175]＝0，化简后知无解，所以不满足条件．

所以满足条件的直线有两条，方程为x＝和y＝－x＋10.

(2)把y＝ax＋1代入3x2－y2＝1中整理，得(3－a2)x2－2ax－2＝0.①

当a≠±时，Δ＝24－4a2.

当Δ>0，即－<a<且a≠±时，方程①有两解，故直线与双曲线有两个交点．

若A，B在双曲线的同一支上，需x1x2＝>0，解得a<－或a>.故当－<a<－或<a<时，A，B两点在双曲线的同一支上．

若A，B分别在双曲线的两支上，需x1x 2＝<0，解得－<a<.故当－<a<时，A，B两点在双曲线的两支上．