北师大版必修1第二章 函数5简单的幂函数第1课时同步测试题

第二章　函　数

§5　简单的幂函数

第1课时　幂函数

基础过关练

题组一　幂函数的概念

1.下列函数为幂函数的是 (　　)

A.y=2x2 B.y=x3+x 

C.y=3x D.y=

2.已知幂函数f(x)=k·xα的图像过点,,则k+α等于 (　　)

A. B.1 C. D.2

3.(2019湖北黄冈中学高一上期中)函数f(x)=(1-x+(2x-1)0的定义域是 (　　)

A.(-∞,1] B.∪

C.(-∞,1) D.

4.已知函数f(x)=(m2+2m)·,m为何值时,函数f(x)是:

(1)正比例函数?(2)反比例函数?(3)幂函数?

题组二　幂函数的图像及其应用

5.(2021广东珠海二中高一上期中)下列命题中正确的是 (　　)

A.当α=0时,函数y=xα的图像是一条直线

B.幂函数的图像不可能出现在第四象限

C.幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)

D.若幂函数y=xα的图像关于原点对称,则y=xα是定义域上的减函数

6.在同一坐标系中,函数y=xa(a≠0)和y=ax+(a≠0)的图像可能是 (　　)

7.如图是幂函数y=xm和y=xn在第一象限内的图像,则(　　)

A.-1<n<0,0<m<1 B.n<-1,0<m<1

C.-1<n<0,m>1 D.n<-1,m>1

8.已知x2>,则x的取值范围是　　　　　　　. 

9.已知幂函数y=xm-2(m∈N)的图像与x轴、y轴都无交点,且关于y轴对称,求m的值,并画出函数的图像.

题组三　幂函数的性质及综合应用

10.(2021福建福州一中高一上期中)幂函数的图像过点2,,则它的单调增区间是 (　　)

A.(-∞,0) B.(0,+∞)

C.[0,+∞) D.(-∞,+∞)

11.(2021河北定州二中高一上月考)若(a+1<,则实数a的取值范围是 (　　)

A. B.

C.-∞, D.

12.已知f(x)=,若0<a<b<1,则下列各式中正确的是 (　　)

A.f(a)<f(b)<f<f

B.f<f<f(b)<f(a)

C.f(a)<f(b)<f<f

D.f<f(a)<f<f(b)

13.幂函数y=(m2-m-1)在(0,+∞)上为减函数,则 (　　)

A.m=2           B.m=-1

C.m=-1或2  D.m≠

能力提升练

一、选择题

1.(2021湖北武汉华中师大一附中高一上期末,)若幂函数y=f(x)的图像经过点(-2,4),则在定义域内函数f(x)              (　　)

A.有最小值 B.有最大值

C.为增函数 D.为减函数

2.(2020山东济南一中高一上期末,)若f(x)是幂函数,且满足=4,则f= (　　)

A.-4      B.4      C.-    D.

3.()函数y=-1的图像关于x轴对称的图像大致是(　　)

4.(2021湖南常德淮阳中学高一上期中,)已知幂函数y=(a2-2a-2)xa在实数集R上单调,那么实数a等于              (　　)

A.-1或3        B.3           C.-3       D.1

5.()对于幂函数f(x)=,若0<x1<x2,则f,的大小关系是(　　)

A.f >

B.f <

C.f =

D.无法确定

二、填空题

6.()已知幂函数f(x)的图像经过点(4,2),则f=　　　　. 

7.()已知实数a,b满足等式=,下列五个关系式:①0<b<a<1;②-1<a<b<0;③1<a<b;④-1<b<a<0;⑤a=b.其中可能成立的式子有　　　　.(填上所有可能成立的式子的序号) 

8.(2019江西赣州十四县(市)高一上期中联考,)已知幂函数f(x)=(m2-3m+1)的图像不过原点,则实数m的值为　　　　. 

三、解答题

9.(2021河北邢台高一上期中联考,)已知幂函数f(x)=(m2+2m-2)xm+2,且在(0,+∞)上是减函数.

(1)求f(x)的解析式;

(2)若(3-a)m>(a-1)m,求a的取值范围.

10.(2021福建泉州一中高一上期中,)已知m是整数,幂函数f(x)=在[0,+∞)上是单调递增函数.

(1)求幂函数f(x)的解析式;

(2)作出函数g(x)=|f(x)-1|的大致图像;

(3)写出g(x)的单调区间,并用定义法证明g(x)在区间[1,+∞)上的单调性.

答案全解全析

第二章　函　数

§5　简单的幂函数

第1课时　幂函数

基础过关练

1.D　由幂函数的定义知,y=是幂函数,故选D.

2.C　由幂函数的定义知k=1,又f=,所以=,解得α=,从而k+α=.

3.B　依题意得解得x<1,且x≠,因此f(x)的定义域是∪,故选B.

4.解析　(1)若函数f(x)为正比例函数,则∴m=1.

(2)若函数f(x)为反比例函数,则∴m=-1.

(3)若函数f(x)为幂函数,则m2+2m=1,

∴m=-1±.

5.B　当α=0时,函数y=xα的定义域是{x|x≠0},其图像是去掉点(0,1)的一条直线,故A错误;由正数的任何次方都是非负数可知,幂函数的图像不可能出现在第四象限,故B正确;幂函数y=x-1的图像不过点(0,0),故C错误;幂函数y=x3的图像关于原点对称,则y=x3是定义域上的增函数,故D错误.故选B.

6.B　∵a与同号,∴排除A、C,在选项B、D中,a<0,由幂函数的图像性质可知,选B.

7.B　由题图知,y=xm在[0,+∞)上是增函数,y=xn在(0,+∞)上为减函数,所以m>0,n<0.又当x>1时,y=xm的图像在y=x的下方,y=xn的图像在y=x-1的下方,所以m<1,n<-1,从而得0<m<1,n<-1.

8.答案　(-∞,0)∪(1,+∞)

解析　作出函数y=x2和y=的图像(如图所示).

由图像易知,x<0或x>1时,x2>.

故x的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞).

9.解析　∵幂函数y=xm-2的图像与x轴、y轴都无交点,∴m-2≤0,即m≤2.

又m∈N,∴m=0,1,2.

∵幂函数y=xm-2的图像关于y轴对称,

∴m=0或m=2.

当m=0时,幂函数为y=x-2,图像如图①所示;

当m=2时,幂函数为y=x0=1(x≠0),图像如图②所示.

图①　　　　　　　　图②

10.A　设幂函数为y=xα,由图像过点2,,知2α=,得α=-2,

∴幂函数为y=x-2,故其单调增区间为(-∞,0).

11.B　因为(a+1<(3-2a,

所以解得-1≤a<.

故选B.

易错警示

在利用幂函数的单调性解不等式时,还需要注意考虑幂函数的定义域.

12.C　因为0<a<b<1,所以0<a<b<<,又因为函数f(x)=在(0,+∞)上是增函数,所以f(a)<f(b)<f<f.故选C.

13.A　依题意得m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.

当m=-1时,m2-2m-3=0,y=x0=1(x≠0)在(0,+∞)上为常数函数(舍去);

当m=2时,m2-2m-3=-3,y=x-3在(0,+∞)上为减函数.

故实数m的值为2,故选A.

能力提升练

一、选择题

1.A　设幂函数f(x)=xα,则4=(-2)α,所以α=2,所以f(x)=x2,其定义域为R,故在定义域内函数f(x)有最小值.故选A.

2.D　设f(x)=xα,则f(4)=4α=22α, f(2)=2α.

∵==2α=4=22,∴α=2,

∴f(x)=x2,∴f==,故选D.

3.B　y=-1的定义域为[0,+∞)且为增函数,所以函数图像是上升的,所以y=-1的图像关于x轴对称的图像是下降的,故选B.

4.B　根据题意,得a2-2a-2=1,解得a=3或a=-1,

当a=-1时,y=不符合题意,舍去;当a=3时,y=x3符合题意.因此a=3.

故选B.

5.A　幂函数f(x)=在(0,+∞)上是增函数,大致图像如图所示.

设A(x1,0),C(x2,0),其中0<x1<x2,则AC的中点E的坐标为,且AB=f(x1),CD=f(x2),EF=f.∵EF>(AB+CD),∴f>,故选A.

二、填空题

6.答案　

解析　设f(x)=xα,依题意得f(4)=4α=2,即22α=2,解得α=,

因此f(x)=,则f==.

7.答案　①③⑤

解析　画出y=与y=的图像(如图),设==m,作直线y=m.

从图像知,若m=0或m=1,则a=b;

若0<m<1,则0<b<a<1;

若m>1,则1<a<b.

故其中可能成立的是①③⑤.

8.答案　3

解析　依题意得m2-3m+1=1,解得m=0或m=3.当m=0时, f(x)=x,其图像经过原点,不符合题意;当m=3时, f(x)=x-2,符合题意.因此m的值为3.

三、解答题

9.解析　(1)∵函数f(x)是幂函数,

∴m2+2m-2=1,即m2+2m-3=0,

解得m=1或m=-3.

∵幂函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,

∴m+2<0,即m<-2,

∴m=-3.

∴f(x)=x-1.

(2)令g(x)=x-3,因为g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(-∞,0)和(0,+∞)上均为减函数.

∵(3-a)-3>(a-1)-3,

∴3-a<a-1<0或0<3-a<a-1或3-a>0>a-1,解得2<a<3或a<1,

故a的取值范围为{a|2<a<3或a<1}.

10.解析　(1)由题意可知,-m2+m+2>0,

即-1<m<2.

因为m是整数,所以m=0或m=1,

当m=0时,f(x)=x2;

当m=1时,f(x)=x2.

综上所述,幂函数f(x)的解析式为f(x)=x2.

(2)由(1)可知f(x)=x2,

则g(x)=|x2-1|,作函数g(x)的图像如图所示:

(3)由(2)可知,函数g(x)的减区间为(-∞,-1],[0,1],增区间为[-1,0],[1,+∞).

当x∈[1,+∞)时,g(x)=|x2-1|=x2-1,

设任意的x1,x2∈[1,+∞)且x1-x2>0,

则g(x1)-g(x2)=(-1)-(-1)=-=(x1-x2)(x1+x2).

∵x1,x2∈[1,+∞)且x1-x2>0,

∴g(x1)-g(x2)>0,

即g(x)在区间[1,+∞)上单调递增.