高中数学北师大版必修15简单的幂函数当堂达标检测题

课时作业12　简单的幂函数

时间：45分钟

——基础巩固类——

一、选择题

1．下列函数为幂函数的是(　A　)

A．y＝x2    B．y＝－x2

C．y＝2x    D．y＝2x2

解析：由幂函数的定义可知A符合题意．

2．函数f(x)＝x3的图像(　C　)

A．关于直线y＝x对称    B．关于x轴对称

C．关于原点对称    D．关于y轴对称

解析：易知f(x)＝x3是奇函数，∴f(x)的图像关于原点对称．

3．函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为幂函数，则实数m的值为(　C　)

A．m＝2    B．m＝－1

C．m＝－1或m＝2    D．m＝0

解析：由幂函数的定义可得m2－m－1＝1，

∴m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.

4．给定下列命题：

①当α＝0时，函数y＝xα的图像是一条直线

②幂函数的图像都经过(0,0)，(1,1)两点

③幂函数y＝xα的图像不可能在第四象限内

④若幂函数y＝xα为奇函数，则y＝xα为定义域内的增函数

其中正确命题的个数是(　B　)

A．0    B．1

C．2    D．3

解析：由幂函数的图像和性质知只有③是正确的．

5．下列幂函数中，既是奇函数又在区间(0，＋∞)上是增函数的是(　C　)

A．f(x)＝x－1    B．f(x)＝x－2

C．f(x)＝x3    D．f(x)＝x

解析：∵y＝在(0，＋∞)上为减函数，y＝x－2为偶函数，y＝x是非奇非偶的函数．均不合题意，故选C.

6．设a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系是(　A　)

A．a>c>b    B．a>b>c

C．c>a>b    D．b>c>a

解析：∵y＝x在(0，＋∞)上是增函数，∴a>c，∵b＝＝<＝＝c，∴c>b.∴a>c>b.

7．f(x)为定义在R上的奇函数，下列结论不正确的是(　D　)

A．f(－x)＋f(x)＝0

B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)

C．f(－x)f(x)≤0

D.＝－1

解析：∵f(x)为R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)－f(x)＝－2f(x)，

f(－x)f(x)＝－[f(x)]2≤0.

∴选项A，B，C正确；

而选项D不一定成立，如f(x)＝x，则＝＝－1(x≠0)，而当x＝0时，无意义．

8．已知f(x)＝ax7＋bx5＋cx3＋6，f(－2)＝10，则f(2)＝(　B　)

A．－10    B．2

C．0    D．－4

解析：设g(x)＝ax7＋bx5＋cx3，则g(x)为奇函数，

又f(－2)＝g(－2)＋6＝10.∴g(－2)＝4，

∴g(2)＝－4，∴f(2)＝g(2)＋6＝2.选B.

二、填空题

9．函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(x)的解析式为f(x)＝x3.

解析：根据幂函数定义，得m2－m－1＝1，

解得m＝2或m＝－1.

当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；

当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合题意．故f(x)＝x3.

10．幂函数y＝f(x)的图像经过点，则满足f(x)＝27的x的值是.

解析：设f(x)＝xα(α是常数)，因为y＝f(x)的图像经过点，所以(－2)α＝－＝(－2)－3，

解得α＝－3，所以f(x)＝x－3.

从而有x－3＝27＝－3，得x＝.

11．偶函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，试比较大小： f(－4)≥ f(a2＋4)(a∈R)．

解析：由f(x)是偶函数知f(－4)＝f(4)．

∵a2≥0，∴a2＋4≥4.又f(x)在[0，＋∞)上为减函数，

∴f(4)≥f(a2＋4)，即f(－4)≥f(a2＋4)．

三、解答题

12．比较下列各组数的大小：

解：

13．点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图像上，当x为何值时，有①f(x)>g(x)？②f(x)＝g(x)？③f(x)<g(x)?

解：设f(x)＝xα，g(x)＝xβ，则()α＝2，(－2)β＝－，所以α＝2，β＝－1.所以f(x)＝x2，g(x)＝x－1.

分别作出它们的图像如图，

由图像可知，①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；

②当x＝1时，f(x)＝g(x)；

③当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．

——能力提升类——

14．定义函数f(x)＝max{x2，x－2}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f(x)的最小值为1.

解析：在同一坐标系中作出函数y＝x2(x≠0)与y＝x－2(x≠0)的图像(如图)．

由题意知f(x)＝

由图可知f(x)在x＝－1与x＝1时均取最小值1，故f(x)的最小值为1.

15．解答下列各题：

(1)若奇函数y＝f(x)是定义在[－7,7]上的减函数，且f(1－2a)＋f(1＋a)>0，求a的取值范围；

(2)设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围．

解：(1)由奇函数的性质，f(1－2a)＝－f(2a－1)，

故原不等式化为f(1＋a)>f(2a－1)．

由f(x)是定义在[－7,7]上的减函数，

∴∴2<a≤4.

(2)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．

∴不等式f(1－m)<f(m)等价于f(|1－m|)<f(|m|)．

又当x∈[0,2]时，f(x)是减函数，

∴∴

解得－1≤m<.