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高中北师大版1正整数指数函数练习
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这是一份高中北师大版1正整数指数函数练习，共15页。试卷主要包含了1 二次函数的图像，列表如下等内容，欢迎下载使用。
第二章 函 数
§4 二次函数性质的再研究
第4.1 二次函数的图像
第4.2 二次函数的性质
基础过关练
题组一 二次函数及其图像
1.函数y=12x2-5x+1图像的对称轴方程和顶点坐标分别是 ( )
A.x=5,5,-232 B.x=-5,-5,232 C.x=5,-5,232 D.x=-5,5,-232
2.已知关于x的函数y=ax2+bx+c(a,b,c∈R且a≠0),如果a>b>c,且a+b+c=0,那么它的图像是 ( )
3.(2021广东珠海二中高一上期中)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的一部分,图像过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④若y>0,则x∈(-3,1).其中正确的是 ( )
A.①④ B.②④ C.①③ D.①②③
4.函数y=3x2-x+2的图像向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得图像对应的函数解析式是 .
5.已知二次函数y=2x2-4x-6.
(1)确定此函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标,并画出图像;
(2)x为何值时,分别有y>0,y=0,y<0?
题组二 二次函数的性质及其应用
6.若函数f(x)=x2+bx+c的图像的对称轴为直线x=2,则 ( )
A.f(4)
A.-∞,12 B.(-∞,1) C.(-∞,2) D.(-∞,4)
8.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则x1+x2+…+xm= ( )
A.0 B.m C.2m D.4m
9.当0≤x≤2时,a<-x2+2x恒成立,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1] B.(-∞,0]
C.(-∞,0) D.(0,+∞)
10.已知函数f(x)=x2-2ax+5在区间[1,+∞)上为增函数,则f(-1)的取值范围是 .
11.若函数f(x)=1x2+2x-a的定义域为R,则实数a的取值范围为 .
12.(2021河南新乡高一上期中联考)某商场就一新款儿童玩具进行促销活动,活动时长是30天,这30天内第x(1≤x≤30,x∈N+)天的销售单价(单位:元)为p(x)=50+2x(1≤x≤10,x∈N+),80-x(10
(2)求这30天内单日销售额的最大值.
13.已知函数f(x)=x2-2x+2.
(1)求f(x)在区间12,3上的最大值和最小值;
(2)若g(x)=f(x)-mx在[2,4]上是单调函数,求实数m的取值范围.
能力提升练
一、选择题
1.(2020广东深圳罗湖高一上期末,)函数y=x(8-x)的最大值是 ( )
A.4 B.22 C.42 D.16
2.(2021安徽名校高一上期中联考,)若二次函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-2,3]上的最大值为6,则a=( )
A.13 B.-13或5 C.13或-5 D.-13
3.(2019四川成都石室中学高一上第一次月考,)若函数f(x)=x2-3x+4的定义域为[0,m],值域为74,4,则m的取值范围是 ( )
A.32,3 B.32,4
C.(0,4] D.32,+∞
4.()已知函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值,则实数k的取值范围是 ( )
A.[160,+∞)
B.(-∞,40]
C.(-∞,40]∪[160,+∞)
D.(-∞,20]∪[80,+∞)
5.(2021福建南安侨光中学高一上第二次段测,)函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2,对x1,x2∈(-∞,4),且x1≠x2恒有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则a的取值范围为 ( )
A.015
6.()若函数f(x)=1mx2+2(m-2)x+1的值域为(0,+∞),则实数m的取值范围是 ( )
A.(1,4) B.(-∞,1)∪(4,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞) D.[0,1]∪[4,+∞)
二、填空题
7.()把二次函数y=x2+bx+c的图像向上平移2个单位长度,再向左平移4个单位长度,得到函数y=x2的图像,则b= ,c= .
8.()已知f(x)=34x2-3x+4,若f(x)的定义域和值域都是[a,b],则a+b= .
9.()已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R且a≠0)有最小值,且f(1-x)=f(1)+f(x),若f(x)在区间[2m,m+1]上不单调,则实数m的取值范围为 .
三、解答题
10.()已知函数f(x)=(x-2)(x+a)(a∈R),f(x)的图像关于直线x=1对称.
(1)求a的值;
(2)求f(x)在区间[0,3]上的最小值.
11.(2019山东师大附中高一上第一次学分认定考试,)已知函数g(x)=x2-4x+2,x∈[t,t+2].
(1)当t=1时,求g(x)的值域;
(2)设g(x)的最小值为h(t),请写出h(t)的表达式,并求h(t)=2的解.
12.(2020浙江宁波九校联考,)定义在R上的函数f(x)=ax2+x.
(1)当a>0时,求证:对任意的x1,x2∈R都有12[f(x1)+f(x2)]≥fx1+x22成立;
(2)当x∈(0,2]时,|f(x)|≤1恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若a=14,点P(m,n2)(m∈Z,n∈Z)是函数y=f(x)图像上的点,求m,n.
答案全解全析
第二章 函 数
§4 二次函数性质的再研究
第4.1 二次函数的图像
第4.2 二次函数的性质
基础过关练
1.A
2.D
3.A
6.B
7.B
8.B
9.C
1.A ∵y=12x2-5x+1=12(x-5)2-232,
∴对称轴方程为x=5,顶点坐标为5,-232,故选A.
2.D 解法一:∵a+b+c=0且a>b>c,∴a>0,c<0,故选D.
解法二:由已知得a>0,Δ=b2-4ac=[-(a+c)]2-4ac=(a-c)2>0,图像与x轴有两个交点.故选D.
3.A 由题中函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像,可得函数的图像开口向下,与x轴有两个交点,
所以a<0,Δ=b2-4ac>0,所以b2>4ac,故①正确;由对称轴方程为x=-b2a=-1,可得2a=b,所以2a-b=0,故②不正确;由f(-1)>0,可得a-b+c>0,故③不正确;由题图可得f(-3)=0,根据函数的对称性,可得f(1)=0,若y>0,则-3
识别二次函数的图像应学会“三看”:
一看符号:看二次项系数的符号,它确定二次函数图像的开口方向;
二看对称轴:看对称轴和最值,它确定二次函数图像的具体位置;
三看特殊点:看函数图像上的一些特殊点,如函数图像与y轴的交点、与x轴的交点、函数图像的最高点或最低点等.
4.答案 y=3x2+5x+2
解析 函数y=3x2-x+2的图像向左平移1个单位长度,得函数y=3(x+1)2-(x+1)+2的图像,再向下平移2个单位长度,得函数y=3(x+1)2-(x+1)+2-2的图像,即所得图像对应的函数解析式是y=3x2+5x+2.
5.解析 (1)y=2x2-4x-6,配方,得y=2(x-1)2-8.
∵2>0,∴函数的图像开口向上,对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,-8).列表如下:
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
0
-6
-8
-6
0
…
描点并连线,得函数y=2x2-4x-6的图像如图所示:
(2)由图可得,当x<-1或x>3时,y>0;当x=-1或x=3时,y=0;当-1
8.B 由f(x)=f(2-x)可知f(x)的图像关于直线x=1对称,而y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|的图像也关于直线x=1对称,故两个图像的交点也关于直线x=1对称,∴x1+x2+…+xm=m,故选B.
9.C 令f(x)=-x2+2x,
则f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1.
∵x∈[0,2],∴f(x)min=f(0)=f(2)=0,
∴a<0
10.答案 (-∞,8]
解析 ∵函数f(x)=x2-2ax+5在区间[1,+∞)上为增函数,且函数f(x)的图像的对称轴为直线x=a,
∴a≤1,
∴f(-1)=1+2a+5=6+2a≤8.
11.答案 (-∞,-1)
解析 f(x)的定义域为R,则x2+2x-a>0在R上恒成立.
解法一:由x2+2x-a>0在R上恒成立,得Δ=22-4×1×(-a)<0,解得a<-1.
解法二:令g(x)=x2+2x-a,则g(x)=(x+1)2-1-a>0在R上恒成立,只需g(x)min=-1-a>0,解得a<-1.
解法三:由x2+2x-a>0在R上恒成立,得x2+2x>a恒成立,令F(x)=x2+2x,则F(x)min=F(-1)=-1>a,即a<-1.
12.信息提取 ①p(x)=
50+2x(1≤x≤10,x∈N+),80-x(10
则y=p(x)·q(x)=
(50+2x)(n-x),1≤x≤10,x∈N+,(80-x)(n-x),10
整理,得y=
-2x2+(2n-50)x+50n,1≤x≤10,x∈N+,x2-(n+80)x+80n,10
故y=
-2x2+50x+2500,1≤x≤10,x∈N+,x2-130x+4000,10
即第5天的销售额为2 700元.
(2)当1≤x≤10,x∈N+时,y=-2x2+50x+2 500单调递增,
则单日销售额的最大值为-2×102+50×10+2 500=2 800;
当10
综上所述,这30天内单日销售额的最大值为2 800元.
13.解析 (1)∵f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈12,3,
∴f(x)的最小值是f(1)=1,
又f12=54, f(3)=5,
∴f(x)的最大值是f(3)=5.
故f(x)在区间12,3上的最大值是5,最小值是1.
(2)∵g(x)=f(x)-mx=x2-(m+2)x+2,
∴m+22≤2或m+22≥4,即m≤2或m≥6.
故m的取值范围是(-∞,2]∪[6,+∞).
能力提升练
1.A
2.C
3.A
4.C
5.B
6.D
一、选择题
1.A ∵y=x(8-x)=-x2+8x=-(x-4)2+16,
∴当x=4时,y=x(8-x)取得最大值,最大值为4.
故选A.
2.C 显然a≠0,有f(x)=a(x+1)2-a+1,当a>0时,f(x)在区间[-2,3]上的最大值为f(3)=15a+1,由15a+1=6,解得a=13,符合题意;当a<0时,f(x)在[-2,3]上的最大值为f(-1)=1-a,由1-a=6,解得a=-5,所以a的值为13或-5.故选C.
3.A ∵f(x)=x2-3x+4=x-322+74,
∴f32=74,又f(0)=f(3)=4,
∴f(x)的图像如图所示:
由已知及二次函数图像可知,m的最小值为32,最大值为3,即m的取值范围是32,3,故选A.
4.C 由于二次函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值,因此函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上是单调函数.二次函数f(x)=4x2-kx-8图像的对称轴为直线x=k8,因此k8≤5或k8≥20,所以k≤40或k≥160.
5.B 根据题意,对x1,x2∈(-∞,4),且x1≠x2恒有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则函数在(-∞,4)上单调递减.当a=0时,f(x)=-2x+2符合题意;当a≠0时,二次函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2,其图像的对称轴为直线x=1-aa.若f(x)在(-∞,4)上为减函数,则必有a>0,1-aa≥4,解得0
6.D 令g(x)=mx2+2(m-2)x+1.由于函数f(x)=1mx2+2(m-2)x+1的值域为(0,+∞),故g(x)的值域包含(0,+∞).
①当m=0时,g(x)=-4x+1,值域为R⊇(0,+∞);
②当m≠0时,要使f(x)能取遍(0,+∞)内的每一个值,则需g(x)的最小值小于或等于0,
由此可得m>0,Δ=[2(m-2)]2-4m≥0,
解得0
二、填空题
7.答案 -8;14
解析 将函数y=x2的图像向右平移4个单位长度,得到y=(x-4)2的图像,再向下平移2个单位长度,得到y=(x-4)2-2的图像,即y=x2-8x+14的图像,所以b=-8,c=14.
8.答案 5
解析 f(x)=34x2-3x+4=34(x-2)2+1.①当b<2时, f(x)在[a,b]上递减.依题意有f(a)=b,f(b)=a,即34a2-3a+4=b,34b2-3b+4=a,解得a=b=43,与a≠b矛盾,故舍去.
②当a<2
9.答案 -12,14
解析 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R且a≠0)有最小值,则a>0.f(1-x)=f(1)+f(x),即a(1-x)2+b(1-x)+c=a+b+c+ax2+bx+c,即2(a+b)x=-c对任意x∈R恒成立,故a+b=0且c=0,∴f(x)图像的对称轴为直线x=-b2a=12.∵f(x)在[2m,m+1]上不单调,∴2m<12
三、解答题
10.解析 (1)f(x)=(x-2)(x+a)=x2-(2-a)·x-2a,
函数f(x)图像的对称轴为直线x=2-a2=1,故a=0.
(2)由(1)得f(x)=x2-2x=(x-1)2-1.
因为x∈[0,3],
所以f(x)min=f(1)=-1.
11.解析 (1)当t=1时,x∈[1,3],
由g(x)=x2-4x+2=(x-2)2-2得
g(x)min=-2,g(x)max=g(1)=g(3)=-1,
因此当t=1时,g(x)的值域为[-2,-1].
(2)当t≥2时,g(x)在[t,t+2]上为增函数,
∴h(t)=g(t)=t2-4t+2.
当t+2≤2,即t≤0时,g(x)在[t,t+2]上递减,
∴h(t)=g(t+2)=t2-2.
当t<2
综上所述,h(t)=t2-2,t≤0,-2,0
12.解析 (1)证明:原问题可化为证明12[f(x1)+f(x2)]-fx1+x22≥0对任意x1,x2∈R恒成立.∵a>0,∴12[f(x1)+f(x2)]-fx1+x22=a(x1-x2)24≥0,
∴原不等式成立.
(2)由题意得-1≤ax2+x≤1对任意x∈(0,2]恒成立,
即-1-xx2≤a≤1-xx2在(0,2]上恒成立,
即-1x2-1x≤a≤1x2-1x对任意x∈(0,2]恒成立.
在x∈(0,2]上,易求得-1x2-1x的最大值为-34,1x2-1x的最小值为-14,
∴-34≤a≤-14.
(3)由题意得14m2+m=n2,即(m+2)2-4n2=4,即(m+2-2n)(m+2+2n)=4.
∵(m+2-2n)+(m+2+2n)=2m+4为偶数,
∴m+2-2n,m+2+2n同奇同偶,
∴m+2-2n=2,m+2+2n=2或m+2-2n=-2,m+2+2n=-2,
解得m=0,n=0或m=-4,n=0.
第二章 函 数
§4 二次函数性质的再研究
第4.1 二次函数的图像
第4.2 二次函数的性质
基础过关练
题组一 二次函数及其图像
1.函数y=12x2-5x+1图像的对称轴方程和顶点坐标分别是 ( )
A.x=5,5,-232 B.x=-5,-5,232 C.x=5,-5,232 D.x=-5,5,-232
2.已知关于x的函数y=ax2+bx+c(a,b,c∈R且a≠0),如果a>b>c,且a+b+c=0,那么它的图像是 ( )
3.(2021广东珠海二中高一上期中)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的一部分,图像过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④若y>0,则x∈(-3,1).其中正确的是 ( )
A.①④ B.②④ C.①③ D.①②③
4.函数y=3x2-x+2的图像向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得图像对应的函数解析式是 .
5.已知二次函数y=2x2-4x-6.
(1)确定此函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标,并画出图像;
(2)x为何值时,分别有y>0,y=0,y<0?
题组二 二次函数的性质及其应用
6.若函数f(x)=x2+bx+c的图像的对称轴为直线x=2,则 ( )
A.f(4)
A.-∞,12 B.(-∞,1) C.(-∞,2) D.(-∞,4)
8.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则x1+x2+…+xm= ( )
A.0 B.m C.2m D.4m
9.当0≤x≤2时,a<-x2+2x恒成立,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1] B.(-∞,0]
C.(-∞,0) D.(0,+∞)
10.已知函数f(x)=x2-2ax+5在区间[1,+∞)上为增函数,则f(-1)的取值范围是 .
11.若函数f(x)=1x2+2x-a的定义域为R,则实数a的取值范围为 .
12.(2021河南新乡高一上期中联考)某商场就一新款儿童玩具进行促销活动,活动时长是30天,这30天内第x(1≤x≤30,x∈N+)天的销售单价(单位:元)为p(x)=50+2x(1≤x≤10,x∈N+),80-x(10
(2)求这30天内单日销售额的最大值.
13.已知函数f(x)=x2-2x+2.
(1)求f(x)在区间12,3上的最大值和最小值;
(2)若g(x)=f(x)-mx在[2,4]上是单调函数,求实数m的取值范围.
能力提升练
一、选择题
1.(2020广东深圳罗湖高一上期末,)函数y=x(8-x)的最大值是 ( )
A.4 B.22 C.42 D.16
2.(2021安徽名校高一上期中联考,)若二次函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-2,3]上的最大值为6,则a=( )
A.13 B.-13或5 C.13或-5 D.-13
3.(2019四川成都石室中学高一上第一次月考,)若函数f(x)=x2-3x+4的定义域为[0,m],值域为74,4,则m的取值范围是 ( )
A.32,3 B.32,4
C.(0,4] D.32,+∞
4.()已知函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值,则实数k的取值范围是 ( )
A.[160,+∞)
B.(-∞,40]
C.(-∞,40]∪[160,+∞)
D.(-∞,20]∪[80,+∞)
5.(2021福建南安侨光中学高一上第二次段测,)函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2,对x1,x2∈(-∞,4),且x1≠x2恒有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则a的取值范围为 ( )
A.0
6.()若函数f(x)=1mx2+2(m-2)x+1的值域为(0,+∞),则实数m的取值范围是 ( )
A.(1,4) B.(-∞,1)∪(4,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞) D.[0,1]∪[4,+∞)
二、填空题
7.()把二次函数y=x2+bx+c的图像向上平移2个单位长度,再向左平移4个单位长度,得到函数y=x2的图像,则b= ,c= .
8.()已知f(x)=34x2-3x+4,若f(x)的定义域和值域都是[a,b],则a+b= .
9.()已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R且a≠0)有最小值,且f(1-x)=f(1)+f(x),若f(x)在区间[2m,m+1]上不单调,则实数m的取值范围为 .
三、解答题
10.()已知函数f(x)=(x-2)(x+a)(a∈R),f(x)的图像关于直线x=1对称.
(1)求a的值;
(2)求f(x)在区间[0,3]上的最小值.
11.(2019山东师大附中高一上第一次学分认定考试,)已知函数g(x)=x2-4x+2,x∈[t,t+2].
(1)当t=1时,求g(x)的值域;
(2)设g(x)的最小值为h(t),请写出h(t)的表达式,并求h(t)=2的解.
12.(2020浙江宁波九校联考,)定义在R上的函数f(x)=ax2+x.
(1)当a>0时,求证:对任意的x1,x2∈R都有12[f(x1)+f(x2)]≥fx1+x22成立;
(2)当x∈(0,2]时,|f(x)|≤1恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若a=14,点P(m,n2)(m∈Z,n∈Z)是函数y=f(x)图像上的点,求m,n.
答案全解全析
第二章 函 数
§4 二次函数性质的再研究
第4.1 二次函数的图像
第4.2 二次函数的性质
基础过关练
1.A
2.D
3.A
6.B
7.B
8.B
9.C
1.A ∵y=12x2-5x+1=12(x-5)2-232,
∴对称轴方程为x=5,顶点坐标为5,-232,故选A.
2.D 解法一:∵a+b+c=0且a>b>c,∴a>0,c<0,故选D.
解法二:由已知得a>0,Δ=b2-4ac=[-(a+c)]2-4ac=(a-c)2>0,图像与x轴有两个交点.故选D.
3.A 由题中函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像,可得函数的图像开口向下,与x轴有两个交点,
所以a<0,Δ=b2-4ac>0,所以b2>4ac,故①正确;由对称轴方程为x=-b2a=-1,可得2a=b,所以2a-b=0,故②不正确;由f(-1)>0,可得a-b+c>0,故③不正确;由题图可得f(-3)=0,根据函数的对称性,可得f(1)=0,若y>0,则-3
识别二次函数的图像应学会“三看”:
一看符号:看二次项系数的符号,它确定二次函数图像的开口方向;
二看对称轴:看对称轴和最值,它确定二次函数图像的具体位置;
三看特殊点:看函数图像上的一些特殊点,如函数图像与y轴的交点、与x轴的交点、函数图像的最高点或最低点等.
4.答案 y=3x2+5x+2
解析 函数y=3x2-x+2的图像向左平移1个单位长度,得函数y=3(x+1)2-(x+1)+2的图像,再向下平移2个单位长度,得函数y=3(x+1)2-(x+1)+2-2的图像,即所得图像对应的函数解析式是y=3x2+5x+2.
5.解析 (1)y=2x2-4x-6,配方,得y=2(x-1)2-8.
∵2>0,∴函数的图像开口向上,对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,-8).列表如下:
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
0
-6
-8
-6
0
…
描点并连线,得函数y=2x2-4x-6的图像如图所示:
(2)由图可得,当x<-1或x>3时,y>0;当x=-1或x=3时,y=0;当-1
8.B 由f(x)=f(2-x)可知f(x)的图像关于直线x=1对称,而y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|的图像也关于直线x=1对称,故两个图像的交点也关于直线x=1对称,∴x1+x2+…+xm=m,故选B.
9.C 令f(x)=-x2+2x,
则f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1.
∵x∈[0,2],∴f(x)min=f(0)=f(2)=0,
∴a<0
10.答案 (-∞,8]
解析 ∵函数f(x)=x2-2ax+5在区间[1,+∞)上为增函数,且函数f(x)的图像的对称轴为直线x=a,
∴a≤1,
∴f(-1)=1+2a+5=6+2a≤8.
11.答案 (-∞,-1)
解析 f(x)的定义域为R,则x2+2x-a>0在R上恒成立.
解法一:由x2+2x-a>0在R上恒成立,得Δ=22-4×1×(-a)<0,解得a<-1.
解法二:令g(x)=x2+2x-a,则g(x)=(x+1)2-1-a>0在R上恒成立,只需g(x)min=-1-a>0,解得a<-1.
解法三:由x2+2x-a>0在R上恒成立,得x2+2x>a恒成立,令F(x)=x2+2x,则F(x)min=F(-1)=-1>a,即a<-1.
12.信息提取 ①p(x)=
50+2x(1≤x≤10,x∈N+),80-x(10
则y=p(x)·q(x)=
(50+2x)(n-x),1≤x≤10,x∈N+,(80-x)(n-x),10
整理,得y=
-2x2+(2n-50)x+50n,1≤x≤10,x∈N+,x2-(n+80)x+80n,10
故y=
-2x2+50x+2500,1≤x≤10,x∈N+,x2-130x+4000,10
即第5天的销售额为2 700元.
(2)当1≤x≤10,x∈N+时,y=-2x2+50x+2 500单调递增,
则单日销售额的最大值为-2×102+50×10+2 500=2 800;
当10
综上所述,这30天内单日销售额的最大值为2 800元.
13.解析 (1)∵f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈12,3,
∴f(x)的最小值是f(1)=1,
又f12=54, f(3)=5,
∴f(x)的最大值是f(3)=5.
故f(x)在区间12,3上的最大值是5,最小值是1.
(2)∵g(x)=f(x)-mx=x2-(m+2)x+2,
∴m+22≤2或m+22≥4,即m≤2或m≥6.
故m的取值范围是(-∞,2]∪[6,+∞).
能力提升练
1.A
2.C
3.A
4.C
5.B
6.D
一、选择题
1.A ∵y=x(8-x)=-x2+8x=-(x-4)2+16,
∴当x=4时,y=x(8-x)取得最大值,最大值为4.
故选A.
2.C 显然a≠0,有f(x)=a(x+1)2-a+1,当a>0时,f(x)在区间[-2,3]上的最大值为f(3)=15a+1,由15a+1=6,解得a=13,符合题意;当a<0时,f(x)在[-2,3]上的最大值为f(-1)=1-a,由1-a=6,解得a=-5,所以a的值为13或-5.故选C.
3.A ∵f(x)=x2-3x+4=x-322+74,
∴f32=74,又f(0)=f(3)=4,
∴f(x)的图像如图所示:
由已知及二次函数图像可知,m的最小值为32,最大值为3,即m的取值范围是32,3,故选A.
4.C 由于二次函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值,因此函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上是单调函数.二次函数f(x)=4x2-kx-8图像的对称轴为直线x=k8,因此k8≤5或k8≥20,所以k≤40或k≥160.
5.B 根据题意,对x1,x2∈(-∞,4),且x1≠x2恒有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则函数在(-∞,4)上单调递减.当a=0时,f(x)=-2x+2符合题意;当a≠0时,二次函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2,其图像的对称轴为直线x=1-aa.若f(x)在(-∞,4)上为减函数,则必有a>0,1-aa≥4,解得0
6.D 令g(x)=mx2+2(m-2)x+1.由于函数f(x)=1mx2+2(m-2)x+1的值域为(0,+∞),故g(x)的值域包含(0,+∞).
①当m=0时,g(x)=-4x+1,值域为R⊇(0,+∞);
②当m≠0时,要使f(x)能取遍(0,+∞)内的每一个值,则需g(x)的最小值小于或等于0,
由此可得m>0,Δ=[2(m-2)]2-4m≥0,
解得0
二、填空题
7.答案 -8;14
解析 将函数y=x2的图像向右平移4个单位长度,得到y=(x-4)2的图像,再向下平移2个单位长度,得到y=(x-4)2-2的图像,即y=x2-8x+14的图像,所以b=-8,c=14.
8.答案 5
解析 f(x)=34x2-3x+4=34(x-2)2+1.①当b<2时, f(x)在[a,b]上递减.依题意有f(a)=b,f(b)=a,即34a2-3a+4=b,34b2-3b+4=a,解得a=b=43,与a≠b矛盾,故舍去.
②当a<2
9.答案 -12,14
解析 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R且a≠0)有最小值,则a>0.f(1-x)=f(1)+f(x),即a(1-x)2+b(1-x)+c=a+b+c+ax2+bx+c,即2(a+b)x=-c对任意x∈R恒成立,故a+b=0且c=0,∴f(x)图像的对称轴为直线x=-b2a=12.∵f(x)在[2m,m+1]上不单调,∴2m<12
三、解答题
10.解析 (1)f(x)=(x-2)(x+a)=x2-(2-a)·x-2a,
函数f(x)图像的对称轴为直线x=2-a2=1,故a=0.
(2)由(1)得f(x)=x2-2x=(x-1)2-1.
因为x∈[0,3],
所以f(x)min=f(1)=-1.
11.解析 (1)当t=1时,x∈[1,3],
由g(x)=x2-4x+2=(x-2)2-2得
g(x)min=-2,g(x)max=g(1)=g(3)=-1,
因此当t=1时,g(x)的值域为[-2,-1].
(2)当t≥2时,g(x)在[t,t+2]上为增函数,
∴h(t)=g(t)=t2-4t+2.
当t+2≤2,即t≤0时,g(x)在[t,t+2]上递减,
∴h(t)=g(t+2)=t2-2.
当t<2
综上所述,h(t)=t2-2,t≤0,-2,0
12.解析 (1)证明:原问题可化为证明12[f(x1)+f(x2)]-fx1+x22≥0对任意x1,x2∈R恒成立.∵a>0,∴12[f(x1)+f(x2)]-fx1+x22=a(x1-x2)24≥0,
∴原不等式成立.
(2)由题意得-1≤ax2+x≤1对任意x∈(0,2]恒成立,
即-1-xx2≤a≤1-xx2在(0,2]上恒成立,
即-1x2-1x≤a≤1x2-1x对任意x∈(0,2]恒成立.
在x∈(0,2]上,易求得-1x2-1x的最大值为-34,1x2-1x的最小值为-14,
∴-34≤a≤-14.
(3)由题意得14m2+m=n2,即(m+2)2-4n2=4,即(m+2-2n)(m+2+2n)=4.
∵(m+2-2n)+(m+2+2n)=2m+4为偶数,
∴m+2-2n,m+2+2n同奇同偶,
∴m+2-2n=2,m+2+2n=2或m+2-2n=-2,m+2+2n=-2,
解得m=0,n=0或m=-4,n=0.
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