高中数学北师大版必修12集合的基本关系测试题

2 集合的基本关系

[A组　学业达标]

1．(2019·山东师大附中高一模拟)已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列式子表示正确的有(　　)

①{1}∈A　②－1⊆A　③∅⊆A　④{1，－1}⊆A

A．1个     B．2个       C．3个  D．4个

解析：∵A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，

则{1}∈A，集合与集合之间不能与属于符号，所以①不正确；

－1⊆A，元素与集合之间不能用包含于符号，所以②不正确；

∅⊆A，符合子集的定义，所以③正确；

{－1,1}⊆A符合子集的定义，所以④正确，

因此，正确的式子有2个，故选B.

答案：B

2．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则有(　　)

A．A⊆B  B．C⊆B

C．D⊆C  D．A⊆D

解析：正方形是邻边相等的矩形．

答案：B

3．已知集合A＝{2，－1}，B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m＝(　　)

A．2     B．－1       C．2或－1  D．4

解析：∵A＝B，∴m2－m＝2，即m2－m－2＝0，∴m＝2或m＝－1.

答案：C

4．能正确表示集合M＝{x|0≤x≤2}和集合N＝{x|x2－x＝0}的关系的Venn图是

(　　)

解析：解x2－x＝0，得x＝1或x＝0，则N＝{0,1}．又M＝{x|0≤x≤2}，则NM，故M和N对应的Venn图如选项B所示．

答案：B

5．(2019·四川攀枝花高三月考)若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，则实数a的取值范围是(　　)

A．{a|0＜a＜4}  B．{a|0≤a＜4}

C．{a|0＜a≤4}  D．{a|0≤a≤4}

解析：由题意知a＝0时，满足条件．

当a≠0时，由

得0＜a≤4.所以0≤a≤4.

答案：D

6．已知集合A{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有________个．

解析：∵A{1,2,3}，∴A中至多含有2个元素．

∵A中至少有一个奇数，∴A可能为{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共5个．

答案：5

7．已知∅{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．

解析：∵∅{x|x2－x＋a＝0}，∴{x|x2－x＋a＝0}≠∅，即方程x2－x＋a＝0有解，∴Δ＝1－4a≥0，∴a≤.

答案：a≤

8．已知集合A＝{2,9}，集合B＝{1－m,9}，且A＝B，则实数m＝________.

解析：∵A＝B，∴1－m＝2，∴m＝－1.

答案：－1

9．设集合P＝{x|－2＜x＜3}，Q＝{x|x－a≥0}．若P⊆Q，求实数a的取值范围．

解析：∵Q＝{x|x－a≥0}＝{x|x≥a}，P⊆Q，将集合P，Q在数轴上表示出来，如图：

由图可得a≤－2.

故实数a的取值范围是{a|a≤－2}．

[B组　能力提升]

10．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　)

A．1  B．2

 C．3  D．4

解析：由题意知：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．又A⊆C⊆B，则集合C可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．

答案：D

11．若A＝，B＝{(x，y)|y＝ax2＋1}，且A⊆B，则a＝________.

解析：A＝＝{(2，－1)}，

∵A⊆B，∴－1＝a×22＋1，∴a＝－.

答案：－

12．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．

解析：因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根．

当a＝0时，方程化为2x＝0，

∴x＝0.此时A＝{0}，符合题意．

当a≠0时，Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，∴a＝±1.

此时A＝{－1}或A＝{1}，符合题意．

∴a＝0或a＝±1.

答案：{0,1，－1}

13．已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，问：同时满足BA，C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b所有的值；若不存在，请说明理由．

解析：A＝{1,2}．

∵BA，∴B＝∅或B＝{1}或B＝{2}．

∵x2－ax＋(a－1)＝0，Δ＝a2－4(a－1)＝(a－2)2≥0，∴B≠∅.

若B＝{1}，由根与系数的关系，得

解得a＝2；

若B＝{2}，由根与系数的关系，得此方程组无解．

∵C⊆A，∴C＝∅或C＝{1}或C＝{2}或C＝{1,2}．

当C＝∅时，Δ＝b2－8＜0，解得－2＜b＜2；

当C＝{1}时，1×1＝2不成立；

当C＝{2}时，2×2＝2不成立；

当C＝{1,2}时，解得b＝3，符合题意．

综上所述，当a＝2，b＝3或－2＜b＜2时满足要求．