北师大版必修12集合的基本关系教案及反思

集合的关系与运算

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1、  掌握两个集合之间的包含关系和相等关系，能识别给定集合的子集。

2、  了解空集的含义与性质。

3、  理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

4、  理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。

一、子集：

一般地，对于两个集合与，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，我们就说集合包含于集合，或集合包含集合。 

记作: ，   读作：包含于或包含。

特别提醒：1、“是的子集”的含义是：集合的任何一个元素都是集合的元素，即由，能推出。如：；。2、当“不是的子集”时，我们记作：“”，读作：“不包含于，（或不包含）”。如：。3、任何集合都是它本身的子集。即对于任何一集合，它的任何一个元素都属于集合本身，记作。4、我们规定：空集是任何集合的子集，即对于任一集合，有。5、在子集的定义中，不能理解为子集是集合中部分元素组成的集合。因为若，则中不含有任何元素；若=，则中含有中的所有元素，但此时都说集合是集合的子集。

二、集合相等：

一般地，对于两个集合与，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素，我们就说集合等于集合，记作=。

特别提醒：集合相等的定义实际上给出了我们判断或证明两个集合相等的办法，即欲证，只需证与都成立即可。

三、真子集：

对于两个集合与，如果，并且，我们就说集合是集合的真子集，

记作：AB或BA, 读作A真包含于B或B真包含A

特别提醒：1、空集是任何非空集合的真子集。2、对集合，，，如果，，那么。3、两个集合、之间的关系：

四、并集：

1、并集的概念：

一般地，由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，叫做与的并集。

记作：AB，读作：并。

符号语言表达式为： 。

韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分）

如：｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝。

特别提醒：（1）定义中“或”字的意义：用“或”字连接的并列成份之间不一定是互相排斥的。“”这一条件包含下列三种情况：；；。（2）对于，不能认为是由的所有元素和的所有元素组成的集合，因为与可能有公共元素，所以上述看法，从集合元素的互异性看是错误的。

2、并集的性质：

（1）； （2）； （3）；  （4）。

3、讨论两集合在各种关系下的并集情况：

   （1）若，则，如图①；  

   （2）若，则，如图②；         ①              ②            ③

（3）若，则（），如图③；

 （4）若与相交，则图④中的阴影部分；           

 （5）若与相离，则图⑤中的阴影部分。       

④                ⑤

五、交集：

1、交集的概念：

一般地，由所有属于且属于的元素所组成的集合,叫做与的交集。

记作：；读作：交。

 符号语言表达式为：

韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分）：

如：｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．

特别提醒：对于，是指中的任一元素都是与的公共元素，同时这些公共元素都属于。还有并不是任何两个集合总有公共元素，当集合与集合没有公共元素时，不能说与没有交集，而是。

2、交集的运算性质：

（1）；（2）；（3）；（4）。

3、讨论两集合在各种关系下的交集情况：

（1）若，则，如图①； 

 （2）若，则，如图②；          ①             ②            ③

（3）若，则（），如图③；

 （4）若与相交，则图④中的阴影部分；

 （5）若与相离，则，如图⑤。            

                                                              ④                 ⑤

六：全集与补集：

1、全集的概念：

如果一个给定的集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用表示。

2、补集的概念：

一般地，设是一个集合，是的一个子集（即），由中所有不属于的元素组成的集合，叫做中子集的补集（或余集）。

记作：∁UA；读作：在中的补集；

符号语言表达式为：∁UA ；

韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分）：   

类型一 子集、真子集的概念

例1：已知集合M满足{1,2}⊆M {1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合M.

练习1：写出满足{3,4}P⊆{0,1,2,3,4}的所有集合P.

练习2： (2014～2015学年度重庆一中高一上学期期中测试)以下表示正确的是(　　)

A．∅＝0　　　　　　 B．∅＝{0}

C．∅∈{0}          D．∅⊆{0}

类型二 集合相等关系的应用

例2：已知集合{x2，x＋y,0}＝{x，，1}，求x2 015＋y2 015的值为________．

练习1：已知集合A＝{2，a，b}，集合B＝{2a,2，b2}，若A＝B，求a、b的值．

练习2：将下列两集合相等的组的序号填在横线上              。

①     ；

②    

③    

类型三 由集合关系求参数取值范围

例3：已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A．求实数m的取值范围．

练习1：若{x|2x－a＝0}{x|－1<x<3}，则实数a的取值范围是________．

练习2：(2014～2015学年河南洛阳市高一上学期期中测试)设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若B⊆A，求实数a的取值范围．

类型四 交集的概念

例4：设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝(　　)

A．{－2}　　　　　　 B．{2}      C．{－2,2}          D．∅

练习1：(2015·广东理)若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，则M∩N＝(　　)
          A．{1,4}      B．{－1，－4}      C．{0}      D．∅

练习2：(2015·广东文)若集合M＝{－1,1}，N＝{－2,1,0}，则M∩N＝(　　)
A．{0，－1}   B．{0}　   C．{1} 　 D．{－1,1}

类型五 并集的概念

例5：集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为(　　)
A．0　　　 B．1　　　C．2　　　 D．4

练习1：(2014～2015学年度江西临川一中高一上学期期中测试)若集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{1,2,4}，则A∪B＝(　　)
             A．{0,1,2,3,4}  B．{1,2,3,4}       C．{1,2}  D．{0}

练习2：(2014～2015学年度广东珠海斗门一中高一上学期期中测试)已知集合M＝{－1,1,2}，N＝{1,4}，则M∪N＝(　　)
         A．{1}　　 B．{1,4}     C．{－1,1,2,4}  D．∅

类型六 补集的运算

例6：设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，∁UA＝{5}，则a的值为__________．

练习1：(2014～2015学年度山西朔州一中高一上学期期中测试)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,6}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(∁UB)等于(　　)
          A．{2,4,6}  B．{1,3,5}       C．{2,4,5}  D．{2,5}

练习2：(2014·湖北文，1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则 ∁UA＝(　　)
A．{1,3,5,6}　 B．{2,3,7}   C．{2,4,7}  D．{2,5,7}

类型七 应用Venn图进行集合间的交、并、补运算

例7：全集U＝{不大于15的正奇数}，M∩N＝{5,15}，∁U(M∪N)＝{3,13}，(∁UM)∩N＝{9,11}，求M.

练习1：已知M、N为集合I的非空真子集，且M、N不相等，若N∩(∁IM)＝∅，则M∪N＝(　　)
A．M　　　 B．N　　C．I　　　 D．∅

练习2：(2015·湖南文，11)已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(∁UB)＝

________.

1. (2014～2015学年度江西临川一中高一上学期期中测试)下列集合中，只有一个子集的集合是(　　)

A．{x|x＋3＝3}　　　 B．{(x，y)|y2＝－x2，x、y∈R}

C．{x|x2≤0}  D．{x|x2－x＋1＝0}

2. 已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A⊆B，则a＝(　　)

A．1  B．0

C．－2  D．－3

3. (2014～2015学年度北京市丰台二中高一上学期期中测试)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝(　　)

A．{0}　　　　　　　　 B．{0,1}

C．{0,2}  D．{0,1,2}

4. (2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是(　　)

A．4　　　 B．3　　　

C．2　　　 D．1

5．(2014～2015学年度宁夏银川一中高一上学期期中测试)如果U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2,3}，N＝{2,3,5}，那么(∁UM)∩N＝(　　)

A．∅  B．{1,3}

C．{1}  D．{5}

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基础巩固

1.集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集个数是(　　)

A．16　　　 B．8　　　

C．7　　　 D．4

2. 满足{a，b}⊆A{a，b，c，d}的集合A有________个(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

3. (2014～2015学年度广东肇庆市高一上学期期中测试)已知P＝{x|－1<x<3}，Q＝{x|－2<x<1}，则P∩Q＝(　　)

A．{x|－2<x<1}  B．{x|－2<x<3}

C．{x|1<x<3}  D．{x|－1<x<1}

4. (2014～2015学年度山西太原市高一上学期期中测试)设全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|－1≤x≤3}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)

A．{x|－2≤x≤3} B．{x|－1≤x≤2}

C．{x|0≤x≤2} D．{x|－1≤x≤2}

5. (2015·安徽文)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∩(∁UB)＝(　　)

A．{1,2,5,6}  B．{1}

C．{2}  D．{1,2,3,4}

6. (2014·江西文)设全集为R，集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|－1<x≤5}，则A∩(∁RB)＝(　　)

A．(－3,0)  B．(－3，－1)

C．(－3，－1]  D．(－3,3)

能力提升

7. 若集合A＝{1,3，x}，B＝{x2,1}，且B⊆A，则实数x的值是________．

8. 已知集合M含有三个元素1,2，x2，则x的值为______________．

9. 已知集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．

(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；

(2)若x∈N，求集合A的子集的个数．

10. (2014～2015学年度湖北重点中学高一上学期期中测试)已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|1≤x≤6}，求(∁UA)∩(∁UB)．