高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.2 对数与对数函数本节综合与测试课堂检测

4.2对数与对数函数同步练习人教  B版（2019)高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设函数的定义域为A，函数的定义域为B，则

A.  B.  C.  D.

2. 设，，，则

A.  B.  C.  D.

3. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为

A.  B.  C.  D.

4. 已知函数的图象如图所示，那么该函数可能为   

A.
B.
C.
D.
 

5. 已知定义在R上的偶函数在上单调递增，则   

A.
B.
C.
D.

6. 若不等式在上有解，则a的取值范围是     

A.  B.
C.  D.

7. 若，，，则的最小值为   

A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

8. 设且，则“”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

9. 设且，则“”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

10. 设正数x，y，z满足，则下列关系中正确的是   

A.  B.  C.  D.

11. 良渚文化遗址位于杭州城北18公里处杭州市余杭区瓶窑镇．因首次发现的良渚时期黑陶罐于浙江杭州市余杭区良渚街道，于1959年依照考古惯例，按发现地点良渚命名．1936年发现的良渚遗址，中心地区在太湖流域，而遗址分布最密集的地区则在太湖流域的东北部、东部和东南部．这里的巨型城址，面积约630万平方米，包括水坝和多处高等级建筑．考古学家利用遗址中遗存物中碳14的残留量进行测定．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减称为衰减率，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡时间单位：年之间满足关系式，，若其中有一遗存物的碳14含量为，则该遗存物的死亡时间距今约为    年．参考数据：，

A. 1719 B. 1910 C. 3438 D. 3820

12. 已知函数，则  

A. 的图像关于直线对称
B. 的图像关于点对称
C. 在单调递减
D. 在上不单调

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 已知函数的图象如图，则          ．

14. 已知是上的减函数，那么a的取值范围是          ．
15. 已知函数，若，则          ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 已知函数，则          ；若，则          ．
17. 已知，若，，则          ，          ．
18. 若，，则          ；          

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 已知集合A是函数的定义域，集合B是不等式的解集．p：，q：．
    若，求a的取值范围；
    若，且r是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知．
    若的定义域为R，求a的取值范围
    若的值域为R，求a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知奇函数在处有定义．
    求m、n的值；
    判断的单调性，并说明理由，
    
    
    
    
    
    
     
22. 计算下列各式的值：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
23. 求下列代数式值：

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查函数定义域的求法，交集及其运算，考查计算能力．
求出函数的定义域，即可求得A和B，进而求得．

【解答】

解：由，解得：，
则函数的定义域为，即，
由对数函数的定义域可知：，解得：，
则函数的定义域为，即，
则．
故选D．

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】

根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论．
本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．

【解答】

解：，，，
即，，，
，
故选：C．

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了对数与指数的互化问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
把代入中，直接求解即可．

【解答】

解：在中，，
所以，即，
解得，
所以其视力的小数记录法的数据约为．
故选：C．

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的图象，一般从函数的单调性、奇偶性和特殊点处的函数值等方面着手考虑，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．
由图可知，函数为奇函数，结合函数奇偶性的概念可排除选项A；由时，时，的取值，排除C；对比B和D选项，发现当时，两个函数对应的函数值的正负性恰好相反，利用对数函数的图象，验证后即可得解．

【解答】

解：由图可知，函数为奇函数，而选项A中对应的函数是非奇非偶函数，于是排除选项A；
当时，时，，排除C；
当时，从图象可知，，
而对于选项D，，，所以，与图象不符，排除选项D．
故选：B．

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的单调性与单调区间，函数的奇偶性，指数函数及其性质，对数函数及其性质和对数与对数运算．
利用对数函数的单调性及指数函数的图象得 ，再利用偶函数在关于原点对称的区间的单调性得函数在上单调递减，再利用函数在上单调递减得，再利用偶函数的性质得结论．

【解答】

解：因为，，而函数是增函数，
所以，
而由函数的图象得，
因此．
又因为定义在R上的偶函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
因此，
即．
故选D．

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查指数函数，对数函数的性质及不等式的解法．
利用及指数函数的性质得到，再利用题中条件有解将其转化成的最小值小于的最大值即可．

【解答】

解：因为
所以
又因为有解，
令，，
所以只要的最小值小于的最大值2即可，
当时，在上的最小值趋于负无穷大，一定小于2，
所以时一定有解
当时，在上的最小值为，
所以，解得．
综上，a的取值范围是．
故答案为C．

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了利用基本不等式求最值及对数运算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由对数运算可得，则，从而利用基本不等式求解即可．

【解答】

解：由，，，得，
即，则有，
所以

，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为9．
故选A．

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合对数函数的单调性是解决本题的关键．
根据对数函数的单调性，讨论a的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【解答】

解：由得，
若，则，
若，则，即充分性不成立，
若时，若，则，即必要性不成立，
则即“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：D．

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了充分、必要、充要条件的判断，属于一般题．
分析可得：充分性不成立，必要性不成立，即可得解．

【解答】

解：充分性：当且“”时有“”，故充分性不成立．
必要性：当时，若，则，故必要性不成立．
综上，“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：D．

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查指对互化，对数运算，利用对数函数的单调性比较大小，属于中档题．
根据，，，，然后根据对数函数的单调性比较大小．

【解答】

解：设，
所以，，，
由已知得，且，
，，
所以；
故选D．

11.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查指数与对数之间的互化以及对数运算，属于一般题．
结合题意将题中指数式化为对数式，然后结合换底公式展开运算代值求解即可．

【解答】

解：将指数式，化为对数式得．
，．
当时，
．
故选D．

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的奇偶性，对称性，复合函数的单调性以及对数函数的性质．
根据题意对函数化简，可设，先判断函数的性质，再由平移关系得到函数的性质，即可得解．

【解答】

解：，
则，即函数的定义域为，
设，，
，
函数为奇函数，关于点对称，
又在上单调递增，
在定义域上单调递增，
函数向右平移2个单位，向上平移1个单位得到函数，
关于点对称，且在定义域上单调递增，
故选B．

13.【答案】8
 

【解析】

【分析】

本题考查对数型函数图象、对数方程、对数的运算．
将图象上点的坐标代入函数解析式即可求出．

【解答】

解：由图象可知：点、在函数且的图象上，
所以，解得，，
所以．
故答案为：8．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了分段函数、函数的单调性和对数函数及其性质，属于中档题．
由分段函数的性质，若是上的减函数，则分段函数在每一段上的图象都是下降的，且在分界点即时，第一段函数的函数值应大于等于第二段函数的函数值．由此不难判断a的取值范围．

【解答】

解：是上的减函数，
，解得，
实数a 的取值范围是
故答案为 ．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的解析式的应用，对数方程，属于基础题．
直接利用函数的解析式，求解函数值即可．

【解答】

解：函数，若，
可得：，可得．
故答案为：．

16.【答案】4

【解析】

【分析】

本题考查分段函数的运用：求函数值和自变量的值，考查对数和指数的运算性质，考查运算能力，属于基础题．
由分段函数的各段的解析式，计算可得所求函数值，解方程可得的解．

【解答】

解：函数，
则，
若，
若，可得，解得舍去；
若，可得，解得，
综上可得．
故答案为：4，．

17.【答案】4 

2

【解析】

【分析】

本题考查对数的运算性质，以及换元法在解方程中的应用，属于拔高题．
设并由条件求出t的范围，代入化简后求出t的值，得到a与b的关系式代入化简后列出方程，求出a、b的值．

【解答】

解：设，由知，
代入得，
即，解得或舍去，
所以，即，
因为，所以，则，
解得，，
故答案为4；2．

18.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了对数恒等式以及对数的运算性质，属于中档题．
由知；由知，再利用指、对数的运算性质即可解答．

【解答】

解：，

．
，
，

．
故答案为；1．

19.【答案】解：由条件得：，
或，
若，则必须满足，
解得，
所以a的取值范围为：；
由r：，
可得r：，
是q的充分不必要条件，
是或的真子集，
则且等号不同时成立，
解得，
的取值范围为：．
 

【解析】本题考查了函数的定义域的求法，考查了一元二次不等式的解法，考查了必要条件、充分条件的判断，是中档题．
分别求得集合A，集合B，由，得到，即可得解；
求出r对应的x的取值范围，由r是q的充分不必要条件得到对应集合之间的关系，由区间端点值的关系列不等式组求解a的范围．
 

20.【答案】解：若的定义域为R，则对任意实数x恒成立，
当时，若恒成立，

则需满足．

当时，，，不满足定义域为R，

综上，a的取值范围为

若的值域为R，则能取全体正实数，

则或，
综上，a的取值范围为．

【解析】本题考查对数型函数的定义域和值域，注意定义域取R与值域取R的不同．

当时根据恒成立的条件，即可求得a的取值范围；当时，不满足定义域为R，即可求得a的取值范围

根据值域为R，可得能取全体正实数，分和两种情况求解，即可得a的取值范围．

21.【答案】解：奇函数在处有定义．
故有，
故，，
由可得，，
解得，或，
当时，显然不成立，故，，
在定义域上单调递减，理由如下：
，定义域为，任取，

因为，则有，
故，
所以，即，，
故，
即．
所以，
即在上单调递减．
 

【解析】本题主要考查了函数奇偶性定义的应用及函数单调性定义在单调性判断中的应用．
由奇函数性质可知，可求n，然后代入结合可求m，
任取，然后结合单调性定义比较与的大小，即可判断．
 

22.【答案】解：原式
．
原式



．
 

【解析】本题考查指数、对数化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力．
利用指数的性质、运算法则直接求解．
利用对数的性质、运算法则直接求解．
 

23.【答案】解：原式；

原式
．

【解析】本题考查对数运算及指数幂的运算，属于基础题，
利用对数运算性质运算即可；
利用指数幂的运算性质运算即可．