初中第22章 一元二次方程综合与测试综合训练题

第22章  一元二次方程

一、选择题(每题3分，共30分)

1．下列方程是一元二次方程的是(　　)

A．9x＋2＝0   B．z2＋x＝1   C．3x2－8＝0     D.＋x2＝0

2．若关于x的一元二次方程8x2－16x－25＋a2＝0没有常数项，则a的值是(　　)

A．5     B．－5    C．±5      D．0或2

3．方程x2－2＝0的根为(　　)

A．x1＝x2＝2   B．x1＝x2＝  C．x1＝－2，x2＝2  D．x1＝－，x2＝

4．已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则m的值及另一个根是(　　)

A．1，3    B．－1，3   C．1，－3     D．－1，－3

5．一个等腰三角形的两条边长分别为方程x2－7x＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是(　　)

A．12    B．9     C．13     D．12或9

6．某城市2018年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2020年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x.由题意，所列方程正确的是(　　)

A．300(1＋x)＝363    B．300(1＋x)2＝363

C．300(1＋2x)＝363    D．363(1－x)2＝300

7．在等腰三角形ABC中，BC＝8，AB，AC的长是关于x的方程x2－10x＋m＝0的两根，则m的值是(　　)

A．16    B．24    C．25     D．16或25

8．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是(　　)

9．若关于x的一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2－ab＋b2＝18，则＋的值是(　　)

A．3    B．－3    C．5    D．－5

10．一个矩形纸片内放入两个边长分别为3 cm和4 cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分(阴影部分)的面积为8 cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11 cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为(　　)

A．6 cm2   B．7 cm2    C．12 cm2  D．19 cm2

二、填空题(每题3分，共30分)

11．把方程(2x＋1)(x－2)＝5－3x整理成一般形式后，得______________．

12．方程x2－2x－3＝0的根为________________．

13．已知x＝1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，则(a＋b)2 022的值为________．

14．若关于x的一元二次方程(a－1)x2－x＋1＝0有实数根，则a的取值范围是____________．

15．已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的两个实数根为x1，x2，若x21＋x22＝4，则m的值为____________．

16．对于任意实数a，b，定义：a*b＝a(a＋b)＋b，已知a*2.5＝28.5，则实数a的值是__________．

17．若x，y满足(x2＋y2＋2)(x2＋y2－2)＝0，则x2＋y2的值为________．

18．已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程(a－c)x2＋2bx＋a＋c＝0有两个相等的实数根，则△ABC是________三角形．

19．若x2－3x＋1＝0，则的值为________．

20．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是________．

三、解答题(21，26题每题12分，22，23题每题8分，其余每题10分，共60分)

21．用适当的方法解下列方程：

(1)x2－2x＝5；　　　　　　　　　　　(2)(7x＋3)2＝2(7x＋3)；

(3)x2－x－＝0;                  (4)(y＋1)(y－1)＝2y－1.

22.已知关于x的方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0的一个根为x＝3.

(1)求a的值及方程的另一个根；

(2)如果一个三角形的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．

23．已知关于x的方程(k－2)xk2－2＋3x－5＝0是一元二次方程，求直线y＝kx－k与两坐标轴围成的三角形的面积．

24．关于x的一元二次方程x2＋2(m－1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.

(1)求实数m的取值范围；

(2)是否存在实数m，使得x21＋x22＝16＋x1x2成立？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．

25．俗语有言“冬腊风腌，蓄以御冬”，没有腊味，如何能算得上是过冬？腊肉一直享有“一家煮肉百家香”的赞语，腌制好的腊肉，吃起来味道醇香，肥而不腻口，瘦而不塞牙，不论是煎、蒸、炒、炸，皆成美味．三口村店为迎接新年的到来，12月份购进了一批腊肉和香肠，已知用4 000元购进腊肉的数量与用5 000元购进香肠的数量一样多，其中每袋香肠的进价比每袋腊肉的进价多10元．

(1)每袋腊肉和香肠的进价分别是多少元？

(2)12月份上半月，该店每袋腊肉和香肠的售价分别为60元和80元，销售量之比为4：3，销售利润为3 400元.12月份下半月，该店调整了销售价格，在上半月的基础上，每袋腊肉的售价增加了a%(a>0)，每袋香肠的售价减少了a元，结果腊肉的销售量比上半月腊肉的销售量增加了a%，香肠的销售量比上半月香肠的销售量增加了，下半月的销售利润比上半月的销售利润多864元．求a的值．

26．如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2 cm/s的速度向点D移动．问：

(1)P，Q两点出发多长时间后，四边形PBCQ的面积是33 cm2?

(2)P，Q两点出发多长时间后，点P与点Q之间的距离是10 cm?

答案

一、1.C　2.C　3.D　4.C　5.A　6.B

7．D　8.B　9.D  10．B　

二、11.2x2－7＝0　12.x1＝3，x2＝－1

13．1　　

14．a≤且a≠1

15．－1或－3　

16．－或4　17.2　18.直角

19.　

20．6

三、21.解：(1)配方，得x2－2x＋1＝6，

即(x－1)2＝6.

∴x－1＝±.

∴x1＝1＋，x2＝1－.

(2)原方程变形为(7x＋3)2－2(7x＋3)＝0.

分解因式，得(7x＋3)(7x＋3－2)＝0.

∴x1＝－，x2＝－.

(3)∵a＝1，b＝－，c＝－，

∴Δ＝b2－4ac＝(－)2－4×1×＝12.

∴x＝＝.

∴x1＝ ，x2＝－ .

(4)原方程化为y2－2y＝0.

分解因式，得y(y－2)＝0.

∴y1＝2，y2＝0.

22．解：(1)将x＝3代入方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0中，得9(a－1)－12－1＋2a＝0，解得a＝2.

将a＝2代入原方程中得x2－4x＋3＝0，

分解因式，得(x－1)(x－3)＝0，

∴x1＝1，x2＝3.

∴方程的另一个根是x＝1.

(2)∵三角形的三边长都是这个方程的根，

∴①当三边长都为1时，周长为3；

②当三边长都为3时，周长为9；

③当两边长为3，一边长为1时，周长为7；

④当两边长为1，一边长为3时，不满足三角形三边关系，不能构成三角形．

故三角形的周长为3或9或7.

23．解：∵(k－2)xk2－2＋3x－5＝0是关于x的一元二次方程，

∴解得k＝－2.

∴直线对应的函数表达式为y＝－2x＋2.

把x＝0代入直线对应的函数表达式，得y＝2；

把y＝0代入直线对应的函数表达式，得x＝1.

∴直线y＝－2x＋2与两坐标轴的交点坐标分别为(1，0)，(0，2)．

∴直线与两坐标轴围成的三角形的两直角边的长分别为1和2.

∴所求面积为×1×2＝1.

24．解：(1)∵方程x2＋2(m－1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，

∴[2(m－1)]2－4(m2－1)>0，

即－8m＋8>0，

∴m<1.

(2)存在．易知x1＋x2＝－2(m－1)，

x1·x2＝m2－1.

∵x21＋x22＝16＋x1x2，

∴(x1＋x2)2＝16＋3x1x2，

∴4(m－1)2＝16＋3(m2－1)，

解得m1＝－1，m2＝9.

∵m<1，∴m＝9舍去，

∴m＝－1.

25．解：(1)设每袋腊肉的进价为x元，则每袋香肠的进价为(x＋10)元．

根据题意可列方程＝，

解得x＝40，经检验x＝40是原方程的解且符合实际．

40＋10＝50(元)．

故每袋腊肉的进价为40元，每袋香肠的进价为50元．

(2)设上半月腊肉销售量为m袋，则上半月香肠销售量为m袋．

根据题意可列方程60m＋80×m－40m－50×m＝3 400，

解得m＝80，80×＝60(袋)．

故上半月腊肉销售量为80袋，香肠销售量为60袋．

下半月调整售价后，腊肉的售价为60×元，销售量为80×(1＋a%)袋；香肠的售价为元，销售量为60×＝80(袋)，下半月的利润为3 400＋864＝4 264(元)．

可列方程[60×－40]×[80×(1＋a%)]＋×80＝4 264，

即(a－10)(a＋110)＝0，

解得a1＝10，a2＝－110(舍去)．

故a的值为10.

26．解：(1)设P，Q两点出发x s后，四边形PBCQ的面积是33 cm2，则由题意得(16－3x＋2x)×6×＝33，

解得x＝5.

即P，Q两点出发5 s后，四边形PBCQ的面积是33 cm2.

(2)设P，Q两点出发t s后，点P与点Q之间的距离是10 cm，过点Q作QH⊥AB于点H.

在Rt△PQH中，有(16－5t)2＋62＝102，解得t1＝1.6，t2＝4.8(均符合题意)．

所以P，Q两点出发1.6 s或4.8 s后，点P与点Q之间的距离是10 cm.