高中数学苏教版 (2019)必修 第二册11.1 余弦定理精品课时练习

11.1余弦定理同步练习苏教版（ 2019）高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是       

A.  B.  C.  D.

2. 在中，，，，则       

A.  B.  C.  D.

3. 在中，角A，B、C所对的边分别为a、b、c，且，若，则的形状是     

A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

4. 在中，，，，则的最小角为     

A.  B.  C.  D.

5. 在中，，，，则

A.  B.  C.  D.

6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B的值为     

A.  B.  C. 或 D. 或

7. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，外接圆半径为R，若，且的面积为，则    

A.  B.  C.  D.

8. 若中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则角   

A.  B.  C.  D.

9. 在中，三条边分别为，若，，，则三角形的形状 

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定

10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，那么这个三角形最大角的度数是       

A.  B.  C.  D.

11. 在中，角的对边分别为，且，，，则的周长为      

A.  B.  C.  D.

12. 在中，已知，，，则

A. 1 B.  C.  D. 3

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 的内角为A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，，，则边长          ．
14. 为锐角三角形，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知，且，则a的取值范围是          ．
15. 在中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若，，则B的大小为______．
16. 如图，在直三棱柱中，，，点E是棱上一点，且异面直线与AE所成角的余弦值为，则的长为__________．
     

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

17. 椭圆的焦点为、，点P在椭圆上．若，则          ，          ．
18. 如图所示，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD，BC，，则          ，          ．
19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则          ，          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

20. 在中，已知，D是BC边上一点，，，．

求AB的长；

求的值．






 

21. 在平面四边形ABCD中，，，，．
    求；
    若，求BC．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

求A；

若的面积为，求a的最小值．






 

23. 在中，角所对应的边分别为，且满足，．
    求的面积；
    若，求a的值．
    
    
    
    
    
    
     
24. 已知椭圆的两个焦点分别是，，且．

求此椭圆的标准方程；

若点P在这个椭圆上，且，求的余弦值．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用余弦定理即可得出．

【解答】

解：边长7所对应的角满足：，，
．
可得边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和．
故选：D．

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了余弦定理的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．
先根据余弦定理求出AB，再代入余弦定理求出结论．

【解答】
解：在中，，，，
由余弦定理可得
，
故AB，

，
故选：A．  

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了余弦定理，正弦定理，属于基础题．
利用余弦定理可得，可得，由，利正弦定理可得：，代入，可得，即可得解．

【解答】

解：在中，因为，
所以，
因为，所以，
因为，
所以，代入，
所以，所以，
所以的形状是等边三角形．
故选C．

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】

 本题考查余弦定理的运用，属于基础题．
利用余弦定理和三角形的边角对应关系求解即可．

【解答】

解：，，，
由大边对大角可得C角最小，
，
，
故选 B．

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的内角和定理，诱导公式，二倍角的正切函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanC的值，利用余弦定理可求AB的值，可得，利用三角形的内角和定理可求，利用诱导公式，二倍角的正切函数公式即可求解tanB的值．

【解答】

解：，，，

，
，可得，
，
则．
故选：C．

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了余弦定理的应用，考查同角三角函数基本关系，属于基础题．
原式整理为，接下来用余弦定理解答．

【解答】

解：，

，
即，
即，所以，
又， 或．
故选C．

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了正弦定理与余弦定理，三角形面积公式．
根据正弦定理与三角形面积公式化简题干条件得到且，再由余弦定理求解即可．

【解答】

解：，
由正弦定理得，，
的面积为，
，则，
代入得，，
由余弦定理得，，
故选D．

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
由已知利用余弦定理可求得，结合范围可得C的值．

【解答】

解：，，，
，
，
．
故选：C．

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握余弦定理是解题的关键，属于基础题．
由已知利用余弦定理可求三角形最大值的余弦值，利用余弦函数的性质判断角的范围即可得解．

【解答】

解：，，，
为三角形最大边，C为三角形最大角，由余弦定理可得：，又，
为锐角，可得三角形为锐角三角形．
故选A．

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】

根据正弦定理和余弦定理求解即可，属基础题．
由已知结合正弦定理可得a：b：，设，，，由三角形中大边对大角可知C为最大内角，则由余弦定理求解cosC，即可得C的度数．

【解答】

解：由正弦定理得，
不妨设，
显然，三角形的最大角为C，
所以
，
因为，
所以，
故选C．

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
由已知利用正弦定理可得：，利用余弦定理可得，联立解得b，c的值，即可得解的周长．

【解答】

解：在中，，
由正弦定理可得：，
又，，
由余弦定理可得：，解得：，
，
的周长为．
故选C．

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了余弦定理，属于基础题．
设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，利用余弦定理得到关于a的方程，解方程即可求得a的值，从而得到BC的长度．

【解答】

解：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
结合余弦定理，可得，
即，解得，或舍去，
所以．
故选：D．

13.【答案】2或4
 

【解析】

【分析】

本题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．
由余弦定理得到，将a，c及cosA的值代入，得到关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值．

【解答】

解：，，，
由余弦定理，
得：，即，
因式分解得：，
解得：或，经检验都符合题意，
则或4．
故答案为：2或4．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，余弦函数的图象和性质，熟练掌握相关公式及定理是解题的关键，难度稍大．
由，，展开可得，解得，由正弦定理可得：，根据余弦定理可得，结合C的范围，可求得：，又由余弦定理可得，结合，即可解得a的范围．

【解答】

解：，，
，
，
当时，解得舍去，
当时，，
由正弦定理可得：，
由，根据余弦定理可得：，解得：，
，，，解得：．
又由余弦定理可得：，
可得，
可得，，可得．
综上．
故答案为：．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于一般题．
由已知及余弦定理可得cosA，可得A，利用三角函数恒等变换的应用可求tanB，由，可得B的值．
【解答】
解：，
由余弦定理可得：
，
，可得，
，
，可得：，
可得：，
，由，可得：．
故答案为：．  

16.【答案】1
 

【解析】

【分析】
本题考查异面直线所成的角，属于中档题．
将AE向下平移至A与重合，再利用余弦定理求出CE，即可得出答案．
【解答】
解：设，将AE向下平移至A与重合，此时A，E下移后的对应的点与B构成一个钝角三角形，
由余弦定理有
则，
解得，
故C．
故答案为1．  

17.【答案】2 

【解析】

【分析】

本题考查了椭圆的定义以及余弦定理的综合应用，属于基础题．
根据椭圆的定义求解，然后利用椭圆中的焦点三角形中的边长以及余弦定理即可求解．

【解答】

解：由题意可知，椭圆中，，，
，
中，，
则由余弦定理可得，
所以．
故答案为2； ．

18.【答案】2

【解析】

【分析】
本题考查正弦、余弦定理以及同角三角函数间的基本关系，属于基础题．
首先利用同角三角函数间的基本关系求得cosA，sinA的值，在中，由余弦定理表示出cosA，进而确定出BD的值，再由AB，BC，以及sinA的值，利用正弦定理求出sinC的值即可．
【解答】
解：由，可得，
由题意得，解得
在中，由余弦定理可得，
解得，
在中，由正弦定理可得，
故答案为2；  

19.【答案】

3

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理、余弦定理等知识，考查运算求解能力，属于基础题．
由正弦定理得，由此能求出sinB，由余弦定理得，由此能求出c．

【解答】

解：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
，，，
由正弦定理得：，即，
解得．
由余弦定理得：，即，
解得或舍，
，．
故答案为：；3．

20.【答案】解：在中，由余弦定理，
得，解得，
又因为，所以，所以．
在中，由正弦定理，
得，解得；
在中，由余弦定理，
得，解得．
又因为，所以，
因为，
所以


．
 

【解析】此题考查了正弦定理，余弦定理，诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数的应用．属中档题．
在中，利用余弦定理表示出，把三角形的三边长代入，化简可得值，由的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出，再利用正弦定理即可求出AB的长；
利用余弦定理求出，利用同角三角函数的基本关系求出，最后根据，利用两角和的正弦公式即可解答．
 

21.【答案】解：，，，．
由正弦定理得：，即，
，
，，
．
，，
，

．
 

【解析】本题考查三角函数中角的余弦值、线段长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
由正弦定理得，求出，由此能求出；
由，得，再由，利用余弦定理能求出BC．
 

22.【答案】解：由已知得，
．
．
由正弦定理，得．
又因为A，，
，
，
．
由的面积为，得，
由余弦定理得，
当且仅当时，取得等号，
所以a的最小值为2．
 

【解析】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
由三角函数恒等变换的应用、正弦定理化简已知等式，结合，可求，即可求解A的值．
由已知利用三角形的面积公式可求bc的值，进而根据余弦定理、基本不等式即可求解a的最小值．
 

23.【答案】解：因为，
，，
又由，
得，，

解法1：对于，又，

或，
由余弦定理得，

解法2：，又，
由余弦定理得，．

【解析】本题主要考查了解三角形的问题．涉及了三角函数中的倍角公式、余弦定理和三角形面积公式等，属于基础题．
利用二倍角公式利用求得cosA，进而求得sinA，进而根据求得bc的值，进而根据三角形面积公式求得答案．
解法，1，根据bc和的值求得b和c，进而根据余弦定理求得a的值．
解法2，根据bc和的值，利用求出答案．
 

24.【答案】解：依题意：，焦点在y轴上，

又，且，

，，，

椭圆的标准方程为；

在椭圆上，

，

，

，

又，

由余弦定理得：

，

的余弦值为．

【解析】本题考查了椭圆的标准方程以及解三角形中余弦定理的应用，属于基础题．

根据题意可得到，焦点在y轴上，求出，即可得到椭圆方程；

根据椭圆定义可得，结合条件得到，应用余弦定理可求得结果．