苏教版 (2019)必修 第二册第11章 解三角形11.1 余弦定理第1课时导学案

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册第11章 解三角形11.1 余弦定理第1课时导学案，共9页。学案主要包含了思路导引等内容，欢迎下载使用。


2.三角形的元素与解三角形
(1)三角形的元素
三角形的三个角A，B，C和它们的对边__a，b，c叫作三角形的元素．
(2)解三角形
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形．
1．在△ABC中，已知B＝120°，a＝3，c＝5，则b等于( )
A．4 eq \r(3) B． eq \r(7)
C．7 D．5
【解析】选C.b2＝a2＋c2－2ac cs B
＝32＋52－2×3×5×cs 120°＝49，
所以b＝7(负值舍去).
2．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C＝60°，a＝4b，c＝ eq \r(13) ，则b＝( )
A．1 B．2 C．3 D． eq \r(13)
【解析】选A.由余弦定理知
( eq \r(13) )2＝a2＋b2－2ab cs 60°，
因为a＝4b，
所以13＝16b2＋b2－2×4b×b× eq \f(1,2) ，
解得b＝1(负值舍去).
3．(教材练习改编)已知a，b，c是△ABC的三边长，若满足等式(a＋b－c)·(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为( )
A．60° B．90°
C．120° D．150°
【解析】选C.由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，
得(a＋b)2－c2＝ab，
所以c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2ab cs C，
所以cs C＝－ eq \f(1,2) ，所以C＝120°.
4．在△ABC中，若2a cs B＝c，则△ABC的形状一定是( )
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【解析】选C.因为2a cs B＝c，
所以2a· eq \f(a2＋c2－b2,2ac) ＝c，
所以a2＝b2，
所以a＝b.故△ABC为等腰三角形．
5．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝________．
【解析】由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2×cs 60°＝3，所以c＝ eq \r(3) .
答案： eq \r(3)
6．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长．
【解析】5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)·(x＋2)＝0，
所以x1＝ eq \f(3,5) ，x2＝－2，所以cs C＝ eq \f(3,5) .
根据余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab cs C＝52＋32－2×5×3× eq \f(3,5) ＝16，所以c＝4，
即第三边c的长为4.
一、单选题
1．在△ABC中，若AB＝ eq \r(13) ，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选A.由余弦定理得，AB2＝BC2＋AC 2－2BC·AC cs C，将各值代入得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去).
2．在△ABC中，a＝7，b＝4 eq \r(3) ，c＝ eq \r(13) ，则△ABC的最小角为( )
A． eq \f(π,3) B． eq \f(π,6) C． eq \f(π,4) D． eq \f(π,12)
【解析】选B.由三角形边角关系可知，角C为△ABC的最小角，则cs C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) ＝ eq \f(72＋（4\r(3)）2－（\r(13)）2,2×7×4\r(3)) ＝ eq \f(\r(3),2) ，因为C∈(0，π)，所以C＝ eq \f(π,6) .
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，b＝3，c＝ eq \r(13) ，则C＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
【解析】选C.由题可知cs C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
＝ eq \f(42＋32－（\r(13)）2,2×4×3) ＝ eq \f(1,2) ，因为C∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，π)) ，故C＝60°.
4．在△ABC中，若a＝3，c＝7，C＝60°，则b为( )
A．5 B．8
C．5或－8 D．－5或8
【解析】选B.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cs C，
即49＝9＋b2－3b，所以(b－8)(b＋5)＝0.
因为b>0，所以b＝8.
5．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋ eq \r(3) bc，则A等于( )
A．60° B．45° C．120° D．150°
【解析】选D.在△ABC中，因为a2＝b2＋c2＋ eq \r(3) bc
所以b2＋c2－a2＝－ eq \r(3) bc，
由余弦定理可得cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ＝ eq \f(－\r(3)bc,2bc) ＝－ eq \f(\r(3),2) .又因为A∈(0，π)，所以A＝150°.
6．在△ABC中，AB＝3，BC＝ eq \r(13) ，AC＝4，则AC边上的高为( )
A． eq \f(3\r(2),2) B． eq \f(3\r(3),2) C． eq \f(3,2) D．3 eq \r(3)
【解析】选B.由BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cs A，可得13＝9＋16－2×3×4×cs A，
得cs A ＝ eq \f(1,2) .
因为A为△ABC的内角，
所以A＝ eq \f(π,3) ，
所以AC边上的高为AB·sin A＝3× eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(3\r(3),2) .
二、填空题
7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c＝________．
【解析】由题意得：a＋b＝5，ab＝2.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cs C＝a2＋b2－ab
＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝ eq \r(19) .
答案： eq \r(19)
8．在△ABC中，已知b＝3，c＝3 eq \r(3) ，B＝30°，则角C＝______.
【解析】由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cs B，
得32＝a2＋(3 eq \r(3) )2－2a×3 eq \r(3) ×cs 30°，
所以a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.
当a＝3时，A＝30°，所以C＝120°.
当a＝6时，因为32＋(3 eq \r(3) )2＝9＋27＝36＝62.
所以A＝90°，所以C＝60°.
答案：60°或120°
9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cs B＝________；sin B＝______．
【解析】因为b2＝ac，且c＝2a，
所以cs B＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac) ＝ eq \f(a2＋4a2－2a2,2a·2a) ＝ eq \f(3,4) ，
sin B＝ eq \r(1－cs2B) ＝ eq \r(1－\f(9,16)) ＝ eq \f(\r(7),4) .
答案： eq \f(3,4) eq \f(\r(7),4)
10．在点O的正上方有气球P，从点O的正西方A点，测得气球P的仰角为30°，同时从点O南偏东60°的B点，测得气球P的仰角为45°.若A，B两点的距离为10 eq \r(7) m，则气球P离地面的距离为________m.
【解析】依题意可得图形，且∠OAP＝30°，∠AOB＝150°，∠OBP＝45°，AB＝10 eq \r(7) ，∠AOP＝∠POB＝90°，
设OP＝x，则OB＝x，AO＝ eq \r(3) x，在△AOB中由余弦定理可得AB2＝AO2＋BO2－2AO·BO·cs ∠AOB，
即(10 eq \r(7) )2＝( eq \r(3) x)2＋x2－2· eq \r(3) x·x·cs 150°，
解得x＝10或x＝－10(舍去).
答案：10
三、解答题
11．在△ABC中，已知a＝2 eq \r(6) ，b＝6＋2 eq \r(3) ，c＝4 eq \r(3) ，求A，B，C.
【解析】根据余弦定理的推论得，cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ＝ eq \f(（6＋2\r(3)）2＋（4\r(3)）2－（2\r(6)）2,2×（6＋2\r(3)）×4\r(3)) ＝ eq \f(\r(3),2) .
因为A∈(0，π)，所以A＝ eq \f(π,6) ，cs C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) ＝ eq \f(（2\r(6)）2＋（6＋2\r(3)）2－（4\r(3)）2,2×2\r(6)×（6＋2\r(3)）) ＝ eq \f(\r(2),2) ，因为C∈(0，π)，所以C＝ eq \f(π,4) .
所以B＝π－A－C＝π－ eq \f(π,6) － eq \f(π,4) ＝ eq \f(7π,12) ，
所以A＝ eq \f(π,6) ，B＝ eq \f(7π,12) ，C＝ eq \f(π,4) .
12．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－ eq \f(3,4) ac.
(1)求cs B的值；
(2)若b＝ eq \r(13) ，且a＋c＝2b，求ac的值．
【解析】(1)由(a－c)2＝b2－ eq \f(3,4) ac，
可得a2＋c2－b2＝ eq \f(5,4) ac.
所以 eq \f(a2＋c2－b2,2ac) ＝ eq \f(5,8) ，即cs B＝ eq \f(5,8) .
(2)因为b＝ eq \r(13) ，cs B＝ eq \f(5,8) ，
由余弦定理得b2＝13＝a2＋c2－ eq \f(5,4) ac＝(a＋c)2－ eq \f(13,4) ac，又a＋c＝2b＝2 eq \r(13) ，
所以13＝52－ eq \f(13,4) ac，解得ac＝12.
一、选择题
1．已知三角形三边之比为5∶7∶3，则最大角为( )
A．90° B．120°
C．135° D．150°
【解析】选B.因为三角形三边之比为5∶7∶3，
所以设三边长分别为5a，7a，3a，
所以长为7a的边对的角最大，设这个角为α，
由余弦定理得cs α＝ eq \f(25a2＋9a2－49a2,2×5a×3a) ＝－ eq \f(1,2) ，
因为α是三角形的内角，所以α＝120°.
2．在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A等于( )
A．90° B．60°
C．120° D．150°
【解析】选B.因为(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ＝ eq \f(1,2) .
因为0°3．李华要去投放两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60°方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走( )
A．50米 B．57米 C．64米 D．70米
【思路导引】画出图形，在△ABC中，利用余弦定理，即可求解AC的长，得到答案．
【解析】选D.由题意，设李华家为A，有害垃圾点为B，可回收垃圾点为C，
则李华的行走路线，如图所示在△ABC中因为AB＝80，BC＝30，B＝60°，
由余弦定理可得AC＝ eq \r(AB2＋BC2－2AB·BC cs 60°)
＝ eq \r(802＋302－2×80×30×\f(1,2)) ＝70米，
即李华回到自家楼下至少还需走70米．
4．(多选)在△ABC中，a＝5，b＝7，c＝8，则下列角的正弦值等于 eq \f(\r(3),2) 的是( )
A．角B B．角C
C．角A＋B D．角A＋C
【解析】选AD.cs B＝ eq \f(82＋52－72,2×8×5) ＝ eq \f(1,2) ，则B＝60°，A＋C＝120°，则sin B＝ eq \f(\r(3),2) ，sin (A＋C)＝ eq \f(\r(3),2) .
二、填空题
5．已知△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2 eq \r(3) ，a＝2，B＝60°，则边c＝________．
【解析】由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cs B＝4＋c2－2c＝12，解得c＝－2(舍去)或c＝4.
答案：4
6．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是________．
【解析】cs B＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac) ＝ eq \f(（a－c）2＋ac,2ac) ＝ eq \f(（a－c）2,2ac) ＋ eq \f(1,2) ≥ eq \f(1,2) ，因为0答案： eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))
7．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c.若c＝ eq \r(2) b，
cs B＝ eq \r(2) cs C，a＝ eq \r(3) ，则S△ABC＝________．
【解析】因为cs B＝ eq \r(2) cs C，
所以 eq \f(a2＋c2－b2,2ac) ＝ eq \f(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2＋b2－c2)),2ab) ，结合c＝ eq \r(2) b，
化简得a＝ eq \r(3) b，从而有b2＋c2＝a2，
即△ABC为直角三角形，将c＝ eq \r(2) b，a＝ eq \r(3)
代入b2＋c2＝a2，得b＝1，于是c＝ eq \r(2) ，
所以S△ABC＝ eq \f(1,2) bc＝ eq \f(\r(2),2) .
答案： eq \f(\r(2),2)
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝4，c＝6，则bc cs A＋ac cs B＋bc cs C的值是________．
【解析】因为cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ，
所以bc cs A＝ eq \f(1,2) (b2＋c2－a2)，同理ac cs B＝ eq \f(1,2) (a2＋c2－b2)，ab cs C＝ eq \f(1,2) (a2＋b2－c2)，
所以bc cs A＋ac cs B＋ab cs C＝ eq \f(1,2) (a2＋b2＋c2)＝ eq \f(61,2) .
答案： eq \f(61,2)
三、解答题
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b)) 2＝c2＋3ab.
(1)求C的值；
(2)若△ABC的面积为 eq \f(3\r(3),2) ，c＝ eq \r(7) ，求a，b的值．
【解析】(1)将等式(a＋b)2＝c2＋3ab变形为a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理得cs C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) ＝ eq \f(ab,2ab) ＝ eq \f(1,2) ，
因为0(2)由题意有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)ab×\f(\r(3),2)＝\f(3\r(3),2)，,a2＋b2－ab＝7，))
整理得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ab＝6，,a2＋b2＝13，))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝3)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝2.))
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝2a cs B.
(1)判断△ABC的形状；
(2)若c＝1，C＝ eq \f(π,6) ，求△ABC的面积．
【解析】(1)因为c＝2a cs B，
所以c＝2a· eq \f(a2＋c2－b2,2ac) ，
所以a2＋c2－b2＝c2，即a2＝b2，
所以a＝b，△ABC为等腰三角形．
(2)由(1)知a＝b，
所以cs C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) ＝ eq \f(2a2－1,2a2) ＝ eq \f(\r(3),2) ，
解得a2＝2＋ eq \r(3) ，
所以S△ABC＝ eq \f(1,2) ab sin C＝ eq \f(1,2) a2sin C＝ eq \f(2＋\r(3),4) .
余弦
定理
公式
表达
a2=b2+c2-2bccs A,
b2=a2+c2-2accs B,
c2=a2+b2-2abcs C
语言
叙述
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
推论
cs A=,
cs B=,
cs C=