数学必修 第二册6.4 平面向量的应用精品第1课时同步达标检测题

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第1课时 余弦定理


课后篇巩固提升


基础巩固


1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=13,b=3,A=60°,则c=( )





A.1B.2C.4D.6


答案C


解析由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccs A,即13=9+c2-3c,即c2-3c-4=0,解得c=4(负值舍去).


2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-c2+b2=ab,则sin C的值为( )


A.12B.22C.32D.33


答案C


解析由余弦定理,得cs C=a2+b2-c22ab=12.因为C∈(0,π),所以C=π3,sin C=32.故选C.


3.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,则下列等式正确的是( )


A.a=bcs C+ccs BB.a=bcs C-ccs B


C.a=bsin C+csin BD.a=bsin C-csin B


答案A


解析bcs C+ccs B=b·a2+b2-c22ab+c·a2+c2-b22ac=2a22a=a.


4.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,那么新三角形的形状是( )


A.锐角三角形B.直角三角形


C.钝角三角形D.由增加的长度确定


答案A


解析设直角三角形的三条边长分别为a,b,c,且a2+b2=c2,三条边均增加同样的长度m,三边长度变为a+m,b+m,c+m,此时最长边为c+m,设该边所对角为θ,则由余弦定理,得cs θ=(a+m)2+(b+m)2-(c+m)22(a+m)(b+m)=m2+2m(a+b-c)2(a+m)(b+m).因为m2>0,a+b-c>0,所以cs θ>0,所以θ为锐角,其他各角必为锐角,故新三角形是锐角三角形.


5.在△ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,则边AC上的高为( )


A.322B.332C.32D.33


答案B


解析在△ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,由余弦定理,得cs A=AB2+AC2-BC22AB·AC=32+42-132×3×4=12,


∴A=60°.∴边AC上的高h=AB·sin A=3sin 60°=332.故选B.


6.在△ABC中,a=3,b=5,c=7,则其最大内角为 .


答案2π3


解析由题意,得c>b>a,则角C最大.∵cs C=a2+b2-c22ab=32+52-722×3×5=-12,且0

7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=C,2b=3a,则cs A= .


答案13


解析由B=C,得b=c=32a.由余弦定理,得cs A=b2+c2-a22bc=32a2+32a2-a22·32a·32a=13.


8.在△ABC中,已知a-b=4,a+c=2b,且最大内角为120°,则该三角形的周长为 ;最小角的余弦值为 .


答案30 1314


解析由a-b=4,a+c=2b,得b=a-4,c=a-8,所以a>b,a>c,即a是最长边,所以角A最大.由余弦定理,得cs 120°=(a-4)2+(a-8)2-a22(a-4)(a-8),解得a=14(a=4舍去),所以b=10,c=6,故△ABC的周长为30.最小内角为C,cs C=142+102-622×14×10=2602×14×10=1314.


9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=3ac,则角B的度数为 .


答案60°或120°


解析由余弦定理,得2accs B·tan B=3ac,整理,得sin B=32,所以B=60°或120°.


10.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边长,若(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3asin B, 求角C的大小.


解由题意,得(a+b+c)(a+b-c)=3ab,整理,得a2+2ab+b2-c2=3ab,即a2+b2-c22ab=12,所以cs C=12,所以C=60°.


能力提升


1.在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,AB=3,BC=2,AC=7,则sin∠ABD= .


答案12


解析因为BD为∠ABC的平分线,所以∠ABD=12∠ABC.由余弦定理,得cs∠ABC=AB2+BC2-AC22AB·BC=32+22-(7)22×3×2=12,所以cs∠ABC=1-2sin2∠ABD=12,所以sin∠ABD=12.





2.如图,在△ABC中,已知点D在边BC上,AD⊥AC于点A,sin∠BAC=223,AB=32,AD=3,则BD的长为 .


答案3


解析因为sin∠BAC=223,且AD⊥AC,所以sinπ2+∠BAD=223,所以cs∠BAD=223.





在△BAD中,由余弦定理,得


BD=AB2+AD2-2AB·ADcs∠BAD


=(32)2+32-2×32×3×223=3.


3.若2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围.


解因为2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,


所以2a+1>0,a>0,2a-1>0,解得a>12,此时2a+1最大.要使2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,还需a+2a-1>2a+1,解得a>2.设最长边2a+1所对的角为θ,则θ>90°,所以cs θ=a2+(2a-1)2-(2a+1)22a(2a-1)=a(a-8)2a(2a-1)<0,解得12

综上可知实数a的取值范围是(2,8).