数学必修13函数的单调性课后测评

2.3函数的单调性同步练习北师大版高中数学必修一

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 如果函数在区间上是单调函数，那么实数a的取值范围是

A. 或 B. 或 C. 或 D.

2. 若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是

A. 2 B.  C. 2或 D. 0

3. 己知是定义域为R的单调函数，且对任意实数x，都有，则的值为 

A. 0 B.  C.  D. 1

4. 若，e为自然对数底数，则有   

A.  B.  C.  D.

5. 为偶函数，则在区间上   

A. 是增函数 B. 是减函数 C. 有增有减 D. 增减性不确定

6. 已知定义在上的减函数满足条件：对任意x，，总有，则关于x的不等式的解集是   

A.  B.  C.  D.

7. 若不等式对一切都成立，则a的最小值为   

A. 0 B.  C.  D.

8. 函数在上单调递减，且为奇函数．若，则满足的x的取值范围是     

A.  B.  C.  D.

9. 已知函数，若，则实数a的取值范围是

A.  B.
C.  D.

10. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是 

A.  B.  C.  D.

11. 已知函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则

A.  B. 1 C. 17 D. 25

12. 已知定义在R上的函数在内为减函数，且为偶函数，则，，的大小关系为    ．

A.  B.
C.  D.

二、单空题（本大题共2小题，共10.0分）

13. 已如函数其中，若对任意的恒成立，则实数a的取值范围是________．
14. 若与在区间上都是减函数，则实数a的取值范围是          ．

三、多空题（本大题共2小题，共10.0分）

15. 已知则          ，的最小值为          
16. 已知定义在上的函数，对于任意，，当时，都有，又满足，，，则          ，          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

17. 已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．
     

现已画出函数在y轴左侧的图像，请补全函数的图像，并根据图像写出函数的单调递增区间；

写出函数的值域；

求出函数的解析式．






 

18. 已知函数是奇函数，且．

求函数的解析式；              

判断函数在上的单调性，并加以证明．






 

19. 已知函数．

若函数在上是单调函数，求实数a的取值范围；

当，时，不等式恒成立，求实数m的范围．






 

20. 已知函数为奇函数，且．

求函数的解析式；

判断函数在上的单调性，并加以证明






 

21. 已知函数，其中e为自然对数的底数．
    证明：在上单调递增；
    函数，如果总存在，对任意，都成立，求实数a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知定义域为R的函数是奇函数．
    求实数m的值，并判断的单调性提示：只需简单说明理由；
    若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数单调性的应用，以及二次函数的性质，属于基础题．
函数的对称轴为，可以得到对称轴不在区间内，即或，由此可以得到a的取值范围．

【解答】

解：由题意知，函数图象的对称轴方程为，
在区间上是单调函数，

或，
或，
故选A．

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查一次函数的单调性及其应用，考查一次函数最值问题，属基础题．
分类讨论，解出即可．

【解答】

解：当时，，不符合题意；
当时，在上递增，
因为函数在上的最大值与最小值之差为2，
所以，解得；
当时，在上递减，
因为函数在上的最大值与最小值之差为2，
所以，解得．
综上，得，
故选C．

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了函数解析式的求法和函数值的求解问题，其中解答中涉及到函数的恒成立问题的计算，函数解析式的应用等知识点的综合考查，考查学生的运算、求解能力，属于中档题．
根据函数为单调函数，设，求解出a，即可求解出函数解析式，即可求解出的值．
【解答】
解：因为函数是R上的单调函数，且对任意实数x，都有，
所以恒成立，且，
即，
则，
将代入，等式成立，所以是的一个解，
因为随a的增大而增大，可以判断为增函数，
所以可知函数有唯一解，

所以，
所以，
故选B．

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查函数的单调性，属于基础题．
通过移项可得，根据单调性可得即可得到最终答案．
【解答】
解：由，
可得
即
因为函数与为增函数，
所以为增函数，
所以即．
故选D．  

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查函数的奇偶性，二次函数的基本性质，考查基本知识的应用．利用函数是偶函数求出m，通过二次函数的性质求解即可．
【解答】
解：为偶函数，
所以，
所以，开口向下，
在区间上是减函数．
故选：B．  

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查函数单调性、不等式求解、抽象函数，属于中档题．
由题意得，故所求不等式等价于，根据函数单调性，解得．

【解答】

解：令，得，则，
故所求不等式等价于
又函数在上为减函数，
故上述不等式组变为解得．
故选B．

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查不等式的恒成立问题，考查函数的单调性的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
由题意，可得对于一切恒成立，由函数在上单调递减，求出函数的最小值，即可求出结果．
【解答】
解：不等式对于一切恒成立，
即有对于一切恒成立，
令，
由对勾函数的单调性可得，函数在上单调递减，
则当时，y取得最小值，最小值为，
则有，解得，
则a的最小值为．
故选D．  

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，属于中档题．
由题干中函数的单调性及奇偶性，可将不等式化为，即可解得答案．

【解答】

解：函数为奇函数，
若，则，
又函数在上单调递减，，
，
，
解得：，
所以x的取值范围是．
故选D．

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查函数的单调性及不等式的解法，考查化归与转化的数学思想，属于中等题．
分析出函数在R上为减函数，再由得出，解此不等式即可得出实数a的取值范围．
【解答】

解：当时，单调递减；当时，单调递减．

又，则函数在R上连续，则函数在R上单调递减．

由，可得，即，解得．

因此，实数a的取值范围是．

故选：D．

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查函数单调性与奇偶性的结合，属于基础题．
对于A，函数是奇函数；
对于B，函数是偶函数，在区间上函数单调递减；
对于C，函数是偶函数，在区间上函数单调递增；
对于D，函数是偶函数，在区间上，不是单调函数．
【解答】
解：对于A，函数是奇函数，不满足题意；
对于B，，定义域为
函数是偶函数
又在区间上，，
函数单调递减，故满足题意；
对于C，，定义域为R
函数是偶函数，
又在区间上，，
函数单调递增，故不满足题意；
对于D，函数是偶函数，在区间上，不是单调函数，故不满足题意
故选：B．  

11.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查二次函数的单调性，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
利用二次函数的性质得，则，从而求出．

【解答】

解：由题意知函数的对称轴方程为，
，
，
．
故选D．

12.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题．
为偶函数，可得函数的图象关于对称，则函数的图象关于对称，利用在内为减函数，即可得出结论．

【解答】

解：函数为偶函数，则函数的图象关于对称，
则函数的图象关于对称，，，
，，即．
故选 A．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查函数的奇偶性以及单调性的运用；首先判断函数为R上的奇函数，然后根据单调性得到可化为，
即对任意恒成立，利用分离参数，得到对任意恒成立，而在上为增函数，得到其最小值，即求得a的范围．
【解答】
解：当时，

，即，
为R上的奇函数；
当时，单调递增，则单调递增，又单调递增，
在上单调递增，
由奇函数对称性可知，在R上单调递增，
可化为，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
当时， ，
   ；
故答案为  

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查由二次函数与反比例函数的单调性求参数范围．
先判断的单调性，再利用区间是和的减区间的子集即可求解．

【解答】

解：由在上是减函数
可得，
由在上是减函数
可得．
综上可知：．
故答案为：．

15.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质和函数的单调性，属中档题．
由分段函数的特点易得的值；由二次函数和对勾函数的单调性即可得到答案．

【解答】

解： 因为，
所以；
由题易知，函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以的最小值为，
故答案为；．

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查抽象函数，函数的单调性，属于较难题．
先令，求得，再结合已知求出，令，则可求出，因为对于任意，，当时，都有，且，所以，从而得出的值．
【解答】
解：令，则，即，
又，所以由，得．
令，则．
因为对于任意，，当时，都有，
且，所以，
所以．
故答案为：；  

17.【答案】解：函数的图象补充完整后，图象如下图所示：

由图可得，递增区间为，；
结合函数的图象可得，
当或时，函数取得最小值为，
函数没有最大值，
故函数的值域为；
当时，，
再根据时，，
可得，
再根据函数为偶函数，
可得，
函数的解析式为．
 

【解析】本题考查函数图象的作法、函数解析式的确定与函数的单调性，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．
根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出的图象，由图象可得的单调递增区间；
结合函数的图象可得值域．
令，则，根据条件可得，利用函数是定义在R上的偶函数，可得，从而可得函数的解析式．
 

18.【答案】解：函数是奇函数，．
，
化为：，对于定义域内的任意实数x都成立，则．
又，
，解得．
，．
函数在上的单调递增．
证明：任取，
则
，
，
，，
，
，
，
函数在上的单调递增．
 

【解析】本题考查了函数的奇偶性与单调性的判定义定及其判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
利用奇函数的性质可得：，与联立解出p，q即可得出．
函数在R上单调递增．下面给出证明分析：任取，只要证明即可．
 

19.【答案】解：函数 的对称轴为，
又函数在上是单调函数，或 ，
解得或．
实数的取值范围为；

当，时，恒成立，
即恒成立，
令，恒成立，
函数的对称轴，
，即，
的范围为．

【解析】本题考查二次函数的性质以及不等式恒成立问题，属于基础题．
利用二次函数的性质，得函数的对称轴不在区间内，建立不等式即求出实数a的取值范围；
根据题意，不等式等价于当时恒成立，通过构造函数，将问题转化为恒成立，即可求出实数m的范围．
 

20.【答案】解：函数是奇函数，．
，
化为：，对于定义域内的任意实数x都成立，则．
又，，解得．
，．
函数在上的单调递增．
证明：设，
则，
，，，
，
，
，
函数在上的单调递增．
 

【解析】本题考查了函数的奇偶性与单调性的判定义定及其判定方法，考查了计算能力，属于基础题．
利用奇函数的性质可得：，与联立解出p，q即可得出．
函数在R上单调递增．下面给出证明分析：设，只要证明即可．
 

21.【答案】证明：设，
则，
，
，
，
，
故在上单调递增，
解：由题意可得，即为偶数，同理也是R上的偶函数，
总存在对任意，都成立，
即函数在上最大值不小于的最大值，
由可知在上单调递增，，
，
令，则，，
解可得，
即，
．
 

【解析】结合函数单调性的定义，设，利用作差法比较与的大小即可判断，
结合函数的奇偶性及恒成立与最值关系的相互转化即可求解．
本题主要考查了函数单调性的定义及利用单调性求解函数最值及恒成立与最值关系的相互转化，属于中档试题．
 

22.【答案】解：是R上的奇函数，所以，即，解得，
此时是R上的递减函数；
不等式
等价于，
等价于，
等价于
等价于对任意实数t都成立，
所以
解得，
所以实数a的取值范围是
 

【解析】本题考查了函数的奇偶性、单调性，不等式恒成立，属基础题．
根据奇函数的定义域中含0，则解得；分离常数后，根据复合函数单调性可得；
用函数的奇偶性和单调性解抽象不等式，等价于，再用判别式即可．