数学九年级上册2.6 正多边形与圆课后作业题

这是一份数学九年级上册2.6 正多边形与圆课后作业题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年苏科版九年级数学上册2.6.1正多边形与圆的关系培优训练
一、选择题
1、我们把“各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形”，“顶点在圆上两边都与圆相交的角叫圆周角”，可利用“同圆中，相等的圆周角所对的弧相等”解决下列问题：若各内角都相等的圆内接边形是正边形，则的值一定可以是（ ）．
A．3，4 B．4，5 C．6，8 D．7，9
2、若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
3、如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ）

A． B． C． D．
4、半径为3的正六边形的周长为（　　）
A．18 B．18 C． D．
5、如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm， 则螺帽边长a等于（　　）

A．cm B．2cm C．2cm D．cm
6、如图，边长为2+的正方形，剪去四个角后成为一个正八边形，则这个正八边形的边长为（　　）

A．0.5 B． C．1 D．
7、若同一个圆的内接正三角形、正六边形的边长分别记作a3，a6，则a3：a6等于（　　）
A．1： B．1：3 C．3：1 D．：1
8、如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　）

A．8 B．10 C．12 D．15
9、如图，正五边形ABCD内接于⊙O，连接对角线AC，AD，则下列结论：①BC∥AD；②∠BAE=3∠CAD；③△BAC≌△EAD；④AC=2CD．其中判断正确的是（ ）

A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
10、如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中不正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11、各边_________、各角也_______的多边形叫做正多边；
一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形．正多边形的外接圆的________叫做正多边形的中心，外接圆的________叫做正多边形的半径
12、如图，正五边形ABCDE内接于，点P为DE上一点（点P与点D，E不重合），连接PC，PD，，垂足为G，则等于__________度.

13、如图，A、B、C是上顺次三点，若分别是内接正三角形、正方形的一边，
则__________．

14、如图，正六边形中，，连接，则的长为______

15、如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=____ .

16、如图，在正六边形ABCDEF中，连接CE，AD，AD与CE交于点O，连接OB，若正六边形边长为4，则OB的长为 　 　．

三、解答题
17、如图，正方形内接于，为上的一点，连接，．
（1）求的度数；
（2）当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值．





18、如图，已知正三角形ABC内接于，AD是的内接正十二边形的一条边长，连接CD，若，求的半径．




19、如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE．
（1）求∠AED的度数；
（2）当∠DOE＝90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．



20、正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．
（1）如图①，若点E在上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：△ADF≌△ABE；
（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-BE=AE．请说明理由；
（3）如图②，若点E在上．连接DE，CE，已知BC=5，BE=1，求DE及CE的长．





21、如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON
（1）求图1中∠MON的度数
（2）图2中∠MON的度数是　　，图3中∠MON的度数是　　
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____






答案一、选择题
1、我们把“各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形”，“顶点在圆上两边都与圆相交的角叫圆周角”，可利用“同圆中，相等的圆周角所对的弧相等”解决下列问题：若各内角都相等的圆内接边形是正边形，则的值一定可以是（ ）．
A．3，4 B．4，5 C．6，8 D．7，9
【答案】D
【分析】根据对于各内角都相等的圆内接n边形性质，逐一判断即可．
【解析】圆的内接三边形各内角都相等是正三边形，圆的内接四边形各内角都相等，不一定是正四边形，故A选项错误；
圆的内接四边形各内角都相等，不一定是正四边形，圆的内接五边形各内角都相等，是正五边形，故B选项错误；
圆的内接六边形各内角都相等，不一定是正六边形，圆的内接八边形各内角都相等，不一定是正八边形，故C选项错误；
圆的内接七边形各内角都相等，一定是正七边形，圆的内接九边形各内角都相等，一定是正九边形，故D选项正确；
故选D．

2、若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
解：∵⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，
∴这个多边形的中心角＝60°，
∴＝60°，
∴n＝6，
故选：C．

3、如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【分析】根据圆周角的性质即可求解.
【详解】连接CO、DO，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即∠COD=72°，
同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，
故∠CPD=,
故选B.


4、半径为3的正六边形的周长为（　　）
A．18 B．18 C． D．
解：∵正六边形的半径等于边长，
∴正六边形的边长a＝3，
正六边形的周长l＝6a＝18，
故选：A．

5、如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm， 则螺帽边长a等于（　　）

A．cm B．2cm C．2cm D．cm
【答案】A
【分析】根据正六边形的性质，可得∠ABC=120°，AB=BC=a，根据等腰三角形的性质，可得CD的长，根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理，可得答案．
【解析】如图，连接AC，过点B作BD⊥AC于D，

由正六边形，得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，
∴∠BCD＝∠BAC＝30°，
由AC＝3，得CD＝1.5，
Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，
∴BD＝AB＝a，
∴AD＝＝a，
即a＝1.5，
∴a＝（cm），
故选：A．

6、如图，边长为2+的正方形，剪去四个角后成为一个正八边形，则这个正八边形的边长为（　　）

A．0.5 B． C．1 D．
解：设正八边形的边长为x，则剪掉的等腰直角三角形的直角边为x，
∵正方形的边长为2+，
∴x+x+x＝2+，
解得x＝＝，
∴正八边形的边长为，
故选：D．

7、若同一个圆的内接正三角形、正六边形的边长分别记作a3，a6，则a3：a6等于（　　）
A．1： B．1：3 C．3：1 D．：1
【分析】从中心向边作垂线，构建直角三角形，通过解直角三角形可得．
【解析】设圆的半径是r，
则多边形的半径是r，
如图1，则内接正三角形的边长a3＝2rsin60°=r，

如图2，正六边形的边长是a6＝r，

因而半径相等的圆的内接正三角形、正六边形的边长之比a3：a6=：1．
故选：D．

8、如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　）

A．8 B．10 C．12 D．15
解：连接OA、OD、OF，如图，
∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOD＝＝90°，∠AOF＝＝120°，
∴∠DOF＝∠AOF﹣∠AOD＝30°，
∴n＝＝12，
即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故选：C．


9、如图，正五边形ABCD内接于⊙O，连接对角线AC，AD，则下列结论：①BC∥AD；②∠BAE=3∠CAD；③△BAC≌△EAD；④AC=2CD．其中判断正确的是（ ）

A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【分析】根据圆的正多边形性质及圆周角与弦的关系解题即可．
【详解】解：①∴BC∥AD，故本选项正确；
②∵BC=CD=DE，∴∠BAC=∠CAD=∠DAE，∴∠BAE=3∠CAD，故本选项正确；
③在△BAC和△EAD中，BA=AE，BC=DE，∠B=∠E，
∴△BAC≌△EAD(SAS)，故本选项正确；
④∵AB+BC>AC，∴2CD>AC，故本选项错误．
故答案为①②③．

10、如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中不正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】连接OB、OC，如图，利用等边三角形的性质得∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，再证明∠BOD＝∠COE，于是可判断△BOD≌△COE，所以BD＝CE，OD＝OE，则可对①进行判断；利用S△BOD＝S△COE得到四边形ODBE的面积＝ S△ABC＝ ，则可对③进行判断；作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，计算出S△ODE＝OE2，利用S△ODE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断；由于△BDE的周长＝BC+DE＝4+DE＝4+OE，根据垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断．
【解析】连接OB、OC，如图，

∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O是△ABC的中心，∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，
而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，∴∠BOD＝∠COE，
在△BOD和△COE中， ，∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD＝CE，OD＝OE，∴①正确；
∵△BOD≌△COE，∴S△BOD＝S△COE，
∴四边形ODBE的面积＝S△OBC═S△ABC＝××42＝，故③正确；
作OH⊥DE于H，如图，则DH＝EH，
∵∠DOE＝120°，∴∠ODE＝∠OEH＝30°，∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，
∴DE＝OE，∴S△ODE＝×OE×OE＝OE2，即S△ODE随OE的变化而变化，
而四边形ODBE的面积为定值，∴S△ODE≠S△BDE；故②错误；
∵BD＝CE，
∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝4+DE＝4+OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝，
∴△BDE周长的最小值＝4+2＝6，∴④正确.
故选：A.

二、填空题
11、各边_________、各角也_______的多边形叫做正多边；
一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形．正多边形的外接圆的________叫做正多边形的中心，外接圆的________叫做正多边形的半径
【答案】相等 相等 圆心 半径

12、如图，正五边形ABCDE内接于，点P为DE上一点（点P与点D，E不重合），连接PC，PD，，垂足为G，则等于__________度.

解析：如答图，连接OC，OD.五边形ABCDE是正五边形，，.，，.


13、如图，A、B、C是上顺次三点，若分别是内接正三角形、正方形的一边，
则__________．

【答案】15°
【分析】如图，连接OA，OC，OB．想办法求出中心角∠BOC即可解决问题．
【详解】解：如图，连接OA，OC，OB．

∵若AC、AB分别是⊙O内接正三角形、正方形的一边，
∴∠AOC=120°，∠AOB=90°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=30°，
∴∠BAC=15°，
故答案为15°．

14、如图，正六边形中，，连接，则的长为______

【答案】2
【分析】如图，连接AC，根据正六边形的性质可得∠ABC=∠BCD=120°，∠ADC=60°，AB=BC=CD，根据等腰三角形的性质可得∠BCA=30°，即可求出∠ACD=90°，可得∠CAD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质即可得答案．
【详解】如图，连接AC，
∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC=∠BCD=120°，∠ADC=60°，AB=BC=CD，
∴∠BCA=∠BAC=30°，∴∠ACD=∠BCD-∠BCA=90°，∴∠CAD=30°，
∵AB=CD=1，∴AD=2CD=2，
故答案为：2


15、如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=____ .

【分析】连接OB，先求得∠AOB的度数，然后利用360°除以∠AOB度数，根据所得的结果进行分析即可得.
【详解】
连接OB，∵AC是⊙O的内接正六边形的一边，
∴∠AOC=360°÷6=60°，
∵BC是⊙O的内接正十边形的一边，
∴∠BOC=360°÷10=36°，
∴∠AOB=60°-36°=24°，
即360°÷n=24°，∴n=15，
故答案为15.

16、如图，在正六边形ABCDEF中，连接CE，AD，AD与CE交于点O，连接OB，若正六边形边长为4，则OB的长为 　 　．

【思路引导】在Rt△BCO中，求出OC，可得结论．
【完整解答】解：在正六边形ABCDEF中，BC＝CD＝DE＝4，∠BCD＝∠CDE＝120°，
∴∠DCE＝∠DEC＝30°，
∵AD⊥CE，
∴OC＝OE＝CD•cos30°＝2，
∵∠BCO＝∠BCD﹣∠DCO＝90°，
∴OB＝＝＝2，
故答案为：2．


三、解答题
17、如图，正方形内接于，为上的一点，连接，．
（1）求的度数；
（2）当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值．

【答案】（1）45°；（2）8
【分析】
(1)连接，，由正方形内接于，可求中心角．．
(2)连接，，由正方形内接于，可求．由点为的中点，可求,可得，利用周角除以一个中心角即可求解
解：（1）连接，，
∵正方形内接于，∴．
∴；

（2）连接，，
∵正方形内接于，∴．
∵点为的中点，∴，∴∠COP=∠BOP，
∵∠COP+∠BOP=∠COB=90°，∴，
∴．

18、如图，已知正三角形ABC内接于，AD是的内接正十二边形的一条边长，连接CD，若，求的半径．


【解析】
【分析】首先连接OA、OD、OC，由等边△ABC内接于⊙O，AD为内接正十二边形的一边，可求得∠AOC，∠AOD的度数，进而证得△COD是等腰直角三角形，即可求得答案．
【详解】解：如图所示，连接OA、OD、OC，

等边内接于，AD为内接正十二边形的一边，
，，
，
，是等腰直角三角形，
，
即的半径为6cm．

19、如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE．
（1）求∠AED的度数；
（2）当∠DOE＝90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．

【答案】（1）∠AED=120°；（2）12.
【分析】
（1）如图，连接BD，由已知条件证△ABD是等边三角形，得到∠ABD=60°，从而由圆内接四边形的性质可得∠AED=120°；
（2）如图，连接OA，由∠ABD=60°，可得∠AOD=120°，结合∠DOE=90°，可得∠AOE=30°，从而可得；
解：（1）如图，连接BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠C=180°，
∵∠C=120°，∴∠BAD=60°，
∵AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD=60°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ABD=180°，∴∠AED=120°；
（2）连接OA，
∵∠ABD=60°，∴∠AOD=2∠ABD=120°，
∵∠DOE=90°，∴∠AOE=∠AOD﹣∠DOE=30°，
∴．


20、正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．
（1）如图①，若点E在上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：△ADF≌△ABE；
（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-BE=AE．请说明理由；
（3）如图②，若点E在上．连接DE，CE，已知BC=5，BE=1，求DE及CE的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）理由见解析；（3）DE=7，CE=
【解析】（1）如图，，，，
在正方形ABCD中，AB=AD
在△ADF和△ABE中∴△ADF≌△ABE（SAS）；
（2）由（1）结论得：△ADF≌△ABE，∴AF=AE，∠3=∠4
正方形ABCD中，∠BAD=90°
∴∠BAF+∠3=90°，∴∠BAF+∠4=90°，∴∠EAF=90°
∴△EAF是等腰直角三角形，∴EF2=AE2+AF2，∴EF2=2AE2
∴EF=AE，即DE-DF=AE，∴DE-BE=AE；

（3）连接BD，将△CBE绕点C顺时针旋转90°至△CDH
∵四边形BCDE内接于圆，∴∠CBE+∠CDE=180°，∴E，D，H三点共线
在正方形ABCD中，∠BAD=90°，∴∠BED=∠BAD=90°
∵BC=CD，∴
∴∠BEC=∠DEC=45°，∴△CEH是等腰直角三角形
在Rt△BCD中，由勾股定理得BD=BC=5
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE=
在Rt△CEH中，由勾股定理得：EH2=CE2+CH2
∴（ED+DH）2=2CE2，即（ED+BE）2=2CE2，∴64=2CE2，∴CE=4．

21、如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON
（1）求图1中∠MON的度数
（2）图2中∠MON的度数是　　，图3中∠MON的度数是　　
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____

【答案】（1）；（2），；（3）．
【分析】（1）如图（见解析），先根据圆内接正三角形的性质可得，再根据圆内接正三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据角的和差、等量代换即可得；
（2）如图（见解析），先根据圆内接正方形的性质可得，再根据（1）同样的方法可得；先根据圆内接正五边形的性质可得中心角，再根据（1）同样的方法可得；
（3）根据（1）、（2）归纳类推出一般规律即可得．
解：（1）如图，连接OB、OC，则，
是内接正三角形，中心角，
∵点O是内接正三角形ABC的内心，
∴，∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；

（2）如图1，连接OB、OC，
四边形ABCD是内接正方形，
中心角，
同（1）的方法可证：；
如图2，连接OB、OC，
五边形ABCDE是内接正五边形，
中心角，
同（1）的方法可证：，
故答案为：，；

（3）由上可知，的度数与正三角形边数的关系是，
的度数与正方形边数的关系是，
的度数与正五边形边数的关系是，
归纳类推得：的度数与正n边形边数n的关系是，
故答案为：．