压轴题12关于二次函数性质与最值的推理计算综合问题-2023年中考数学压轴题专项训练（全国通用）

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2023年中考数学压轴题专项训练
压轴题12关于二次函数性质与最值的推理计算综合问题

例1．（2023•海曙区一模）对于抛物线y＝ax2﹣4x+3（a＞0）．
（1）若抛物线过点（4，3）．
①求顶点坐标；
②当0≤x≤6时，直接写出y的取值范围为 　﹣1≤y≤15　；
（2）已知当0≤x≤m时，1≤y≤9，求a和m的值．
【分析】（1）①解析式化成顶点式，即可求得抛物线的顶点坐标；
②求得x＝6时的函数值，根据二次函数的性质即可求解；
（2）抛物线开口向上，对称轴为直线x=2a，由当0≤x≤m时，1≤y≤9可知抛物线顶点坐标为（2a，1）且过点（m，9），把顶点坐标代入解析式即可求得a＝2，然后把点（m，9）代入解析式即可求得m的值．
【解答】解：（1）若抛物线过点（4，3），则3＝16a﹣16+3，
解得a＝1，
∴y＝x2﹣4x+3；
①∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标为（2，﹣1）；
②当x＝6时，y＝x2﹣4x+3＝15，
∴当0≤x≤6时，直y的取值范围为﹣1≤y≤15，
故答案为：﹣1≤y≤15；
（2）抛物线y＝ax2﹣4x+3（a＞0）对称轴为直线x=--42a=2a，
∵当0≤x≤m时，1≤y≤9，且x＝0时，y＝3，
∴x=2a时，y＝1为函数最小值，即抛物线顶点坐标为（2a，1），
∴1=4a-8a+3，
解得a＝2，
∴y＝2x2﹣4x+3，
把x＝m，y＝9代入得9＝2m2﹣4m+3，
解得m1＝3，m2＝﹣1，
∴m＞0，
∴m＝3，
故a的值为2，m的值为3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
例2．（2023春•上城区校级月考）设二次函数y＝ax2+4ax+4a+1，a为常数，且a＜0．
（1）写出该函数的对称轴和顶点坐标．
（2）若该函数图象经过点P（n，y1），Q（n+1，y2），当n≥1时，试比较y1和y2的大小关系．
（3）若该函数图象经过点P（x1，y1），Q（x2，y2），设n≤x1≤n+1，当x2≥3时均有y1≥y2，请求出实数n的取值范围．
【分析】（1）画出顶点时，即可求得对称轴和顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）利用函数图象，结合函数的对称性即可得出n的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+4ax+4a+1＝a（x+2）2+1，
∴二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣2，顶点为（﹣2，1）；

（2）∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，
∴当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，
∵该函数图象经过点P（n，y1），Q（n+1，y2），
∴当n≥1时，y1＞y2；

（3）∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x2≥3时均有y1≥y2，
∴|x1+2|≤|x2+2|，即|x1+2|≤x2+2，
∴x1+2≤x2+2，或x1+2≥﹣2﹣x2，
∴x1≤x2，或x1≥﹣4﹣x2
∵x2≥3，
∴﹣4﹣x2≤﹣7，
∵该二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），
设n≤x1≤n+1，当x2≥3时均有y1≥y2，
∴n≥-7n+1≤3，
∴﹣7≤n≤2．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，关键是灵活应用二次函数的性质解题．
例3．（2023春•顺义区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）上的两点．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；
（3）若当t﹣1＜x1＜t且t+1＜x2＜t+2时，存在y1＝y2，求t的取值范围．
【分析】（1）将关系式化为顶点式，即可得出答案；
（2）根据x的大小判断点A，点B与对称轴的距离，再讨论a，即可得出答案；
（3）根据题意可知点A和点B在对称轴的两侧，可判断t的取值范围，再根据两点到对称轴的距离相等得出范围即可．
【解答】解：（1）由y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，
∴抛物线的对称轴是直线x＝1；
（2）∵﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2，对称轴是直线x＝1，
∴点A比点B离对称轴远，
若a＞0，抛物线开口向上，y1＞y2，
若a＜0，抛物线开口向下，y1＜y2；
（3）∵y1＝y2，
∴点A和点B关于对称轴x＝1对称，
∴t＜1且1＜t+1，
解得0＜t＜1，
∵点A和点B到对称轴的距离相等，
∴1﹣x1＝x2﹣1，
∴1﹣（t﹣1）＞t+1﹣1且1﹣t＜t+2﹣1，
解得0＜t＜1，
所以t的取值范围是0＜t＜1．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握函数值相等时x的值与对称轴之间的关系是解题的关键．
例4．（2023春•柯桥区月考）如图，已知二次函数y＝x2+ax+a+1的图象经过点P（﹣2，3）．
（1）求a的值和图象的顶点坐标．
（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．
①当m＝2时，求n的值．
②当m≤x≤m+3时，该二次函数有最小值11，请根据图象直接写出m的值．

【分析】（1）把点P的坐标代入二次函数解析式进行求解a的值，然后再化为顶点式进行求解即可；
（2）①由（1）可得二次函数解析式为y＝x2+2x+3，然后把m＝2代入解析式进行求解即可；②由①及二次函数的性质可直接进行求解．
【解答】解：（1）由题意可把点P（﹣2，3）代入二次函数y＝x2+ax+a+1得：4﹣2a+a+1＝3，
解得：a＝2；
∴二次函数解析式为y＝x2+2x+3，化为顶点式为y＝（x+1）2+2，
∴顶点坐标为（﹣1，2）；
（2）①由（1）可得二次函数解析式为y＝x2+2x+3，
∴当m＝2时，则有n＝22+4+3＝11；
②由①可得当m＝2时，则n＝11，抛物线的对称轴为x＝﹣1，
则根据二次函数的对称性可得点（2，11）的对称点为（﹣4，11），
图象如图所示：

∴由图象可得当m≤x≤m+3时，该二次函数有最小值11，
则m＝2或m+3＝﹣4，
∴m＝2或m＝﹣7．
【点评】本题主要考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．

1．（2023•深圳模拟）对于“已知x+y＝1，求xy的最大值”这个问题，小明是这样求解的：
∵x+y＝1，∴y＝1﹣x，∴xy=x(1-x)=x-x2=-(x-12)2+14；
∴xy≤14，所以xy的最大值为14．
请你按照这种方法计算：当2n+m＝4（m＞0，n＞0）时，2m+1n的最小值．
【分析】由2n+m＝4得出m＝4﹣2n．将2m+1n通分得2n+mmn，再将m＝4﹣2n代入2n+mmn，结合完全平方公式可得出2m+1n=4-2(n-1)2+2，结合二次函数的性质即可求出2m+1n的最小值．
【解答】解：∵2n+m＝4，
∴m＝4﹣2n，
∴2m+1n=2n+mmn=2n+(4-2n)(4-2n)n=4-2n2+4n=2-(n-1)2+1．
∵﹣（n﹣1）2+1≤1，
∴2m+1n=2-(n-1)2+1≥21=2，
∴2m+1n的最小值为2．
【点评】本题考查分式的加减混合运算，二次函数的最值等知识．理解题意，掌握其运算方法是解题关键．
2．（2022秋•诸暨市期末）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）．
（1）求b，c的值；
（2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值．
【分析】（1）（0，3）是与y轴的交点，可得c＝3，再将（6，3）代入求值，可求得b的值；
（2）根据二次函数的解析式y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6；当0≤x≤4时，仅当x＝0时，y取得最大值；仅当x＝3时，y取得最小值；再计算y的最大值与最小值之差；
（3）分类讨论：①k﹣4≤x≤k≤3，k≤3；②当k﹣4≤3且k≥3时，即3≤k≤7；③当3≤k﹣4≤x≤k时，即k≥7；根据函数特点，计算求出符合题意k的值．
【解答】解：（1）∵函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3），
∴c＝3，y＝x2+bx+3，
将点（6，3）代入可得：3＝62+6b+3，解得：b＝﹣6，
∴b＝﹣6，c＝3；
（2）y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，
当0≤x≤4时，
①仅当x＝3时，y取得最小值，此时y＝（3﹣3）2﹣6＝﹣6；
②仅当x＝0时，y取得最大值，此时y＝（0﹣3）2﹣6＝3；
3﹣（﹣6）＝9，
∴当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差为9；
（3）当k﹣4≤x≤k时，y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，
①当k﹣4≤x≤k≤3时，即k≤3，
仅当x＝k，y取得最小值，此时y＝k2﹣6k+3；仅当x＝k﹣4，y取得最大值，此时y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3；
（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3﹣（k2﹣6k+3）＝8，解得：k＝4，
∵k＜3，
∴k＝4不符合题意；
②当k﹣4≤3且k≥3时，即3≤k≤7，此时最小值为y＝﹣6，
当x＝k﹣4取得最大值时，y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3，
（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3﹣（﹣6）＝8，解得：k＝7±32，
∵3≤k≤7，7+32＞7，7﹣32＜3，
∴k＝7±32不符合题意；
当x＝k取得最大值时，y＝k2﹣6k+3，
k2﹣6k+3﹣（﹣6）＝8，解得：k＝3±22，
∵3≤k≤7，3＜3+22＜7，3﹣22＜3，
∴k＝3+22符合题意，k＝3﹣22不符合题意，
∴k＝3+22；
③当3≤k﹣4≤x≤k时，即k≥7，
仅当x＝k﹣4，y取得最小值，此时y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3；仅当x＝k，y取得最大值，此时y＝k2﹣6k+3；
k2﹣6k+3﹣[（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3]＝8，解得：k＝6，
∵k≥7，
∴k＝6不符合题意；
综上所述，当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，k的值为3+22．
y取得最小值，此时y＝（3﹣3）2﹣6＝﹣6；
【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的特点，并用分类讨论思想分析计算求值是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
3．（2022秋•漳州期末）已知二次函数y＝x2+bx+c（b、c为常数）的图象经过点（0，3）、（1，﹣2）．
（1）求b、c的值；
（2）当3≤x≤m时，若y的最大值与最小值之和为1，求m的值．
【分析】（1）把已知点的坐标代入函数解析式，即可求出答案；
（2）根据对称轴为x＝3，结合二次函数图象的性质，得出当x＝m时，y有最大值为7，即可得出m2﹣6m+3＝7，解得即可．
【解答】解：（1）将（0，3）、（1，﹣2）代入y＝x2+bx+c得：c=31+b+c=-2，
解得b=-6c=3；
（2）由（1）可知二次函数为y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3，
∴当x＝3时，函数有最小值﹣6，
∵当3≤x≤m时，若y的最大值与最小值之和为1，
∴当x＝m时，y有最大值为7，
∴m2﹣6m+3＝7，
∴m＝3+13或m＝3-13（舍去）．
∴m＝3+13．
【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，正确得出关于m的方程是解题关键．
4．（2023•来安县一模）已知关于x的二次函数y1＝（x+2a）（x﹣2b）（其中a，b为常数）．
（1）若a＝1，该二次函数的图象经过点（﹣1，3），求b；
（2）若a＝b﹣2．
①若（﹣1，m）和（3，n）是该二次函数图象上的点，比较m和n的大小；
②设一次函数y2＝﹣x+2b，当函数y＝y1+y2的图象经过点（c，0）时，探索b与c之间的数量关系，并加以推理．
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）①先求抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2b+4，0），（2b，0），从而求出该抛物线的对称轴为x＝2，然后根据二次函数的性质求解即可；
②先求出y＝（x+2b﹣5）（x﹣2b），然后把（c，0）代入，得出关于b，c等式即可求解．
【解答】解：（1）当a＝1时，y1＝（x+2）（x﹣2b），
代入点（﹣1，3），得3＝（﹣1+2）（﹣1﹣2b），
解得b＝﹣2；
（2）①当a＝b﹣2时，则y1＝（x+2b﹣4）（x﹣2b），
∴该二次函数的图象与x轴的交点坐标为（﹣2b+4，0），（2b，0），
∴该二次函数的对称轴为x=12(-2b+4+2b)=2，
又∵该二次函数图象开口向上，2﹣（﹣1）＞3﹣2，
∴m＞n；
②由题意可知y＝y1+y2
＝（x+2a）（x﹣2b）﹣x+2b
＝（x+2a﹣1）（x﹣2b），
又a＝b﹣2，
∴y＝（x+2b﹣5）（x﹣2b），
∵抛物线经过点（c，0），
∴（c+2b﹣5）（c﹣2b）＝0，
∴c+2b﹣5＝0或c﹣2b＝0．（也可以写成2b+c＝5或2b﹣c＝0．也可以写成c＝5﹣2b或c＝2b）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
5．（2023•北仑区一模）抛物线y＝（x+1）（x﹣t）（t为常数）经过点A（4，5），B（m，n）．
（1）求t的值；
（2）若n＜5，求m的取值范围．
【分析】（1）把A（4，5）代入解析式即可求出a的值；
（2）根据解析式即可求出该抛物线的对称轴为x=-b2a=1，A（4，5）关于对称轴的对称点为（﹣2，5），所以当n＜5时，m的取值范围为﹣2＜m＜4．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x+1）（x﹣t）（t为常数）经过点A（4，5），
∴5＝（4+1）（4﹣t），
∴t＝3；
（2）∵t＝3，
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
∴该抛物线的对称轴为x=-b2a=1，
∴由对称性得m的取值范围为﹣2＜m＜4．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．（2023•秦皇岛一模）已知y＝ax2+bx+c过点A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1，关于x的方
程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若B点在直线x＝1的左侧，C点在直线x＝1的右侧，且y1＞y2，求n的取值范围；
（3）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小．
【分析】（1）由题意可得0＝4a+2b+c①，-b2a=1②，Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，联立方程组可求a，b，c，可求解析式；
（2）根据题意列出不等式组可求解；
（3）由n＜﹣5，可得点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，由二次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），
∴0＝4a+2b+c①，
∵对称轴是直线x＝1，
∴-b2a=1②，
∵关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，
∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，
由①②③可得：a=-12b=1c=0，
∴抛物线的解析式为y=-12x2+x；
（2）若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点C在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得3n-4＜15n+6＞11-(3n-4)＜5n+6-1，
∴0＜n＜53；
（3）∵n＜﹣5，
∴3n﹣4＜﹣19，5n+6＜﹣19，
∴点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，
∵抛物线y=-12x2+x，
∴-12＜0，
即y随x的增大而增大，
∵（3n﹣4）﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＝﹣2（n+5）＞0，
∴3n﹣4＞5n+6，
∴y1＞y2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，根的判别式，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．（2022•无为市三模）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3），连接AB、BC，令ABBC=λ．
（1）若a＞0，h＝2，求λ的值；
（2）若h＝1，λ=55，求a的值．
【分析】（1）当h＝2，点B为抛物线的顶点，点A、C关于抛物线对称轴对称，即可求解；
（2）求出点A、B、C的坐标分别为（1，k）、（2，a+k）、（3，4a+k），即可求解．
【解答】解：（1）∵a＞0，h＝2，
则点B为抛物线的顶点，点A、C关于抛物线对称轴对称，
故BA＝BC，
∴λ＝1；

（2）若h＝1，则y＝a（x﹣1）2+k，
则y1＝k，y2＝a+k，y3＝4a+k，
即点A、B、C的坐标分别为（1，k）、（2，a+k）、（3，4a+k），
则AB2＝1+a2，BC2＝1+（4a﹣a）2＝1+9a2，
∵λ=55，即BC2＝5AB2，
∴5+5a2＝1+9a2，解得a＝±1，
∴a＝±1．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，能根据题意，巧妙地利用性质进行解题是解此题的关键．
8．（2022•平谷区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1）、（1，y2）、（3，y3）是抛物线y＝x2+bx+1上三个点．
（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；
（2）当y1＝y3时，求b的值；
（3）当y3＞y1＞1＞y2时，求b的取值范围．
【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征计算即可；
（2）根据抛物线的对称轴是直线x=-b2a计算；
（3）根据抛物线的对称性、二次函数图象上点的坐标特征列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：（1）对于y＝x2+bx+1，
当x＝0时，y＝1，
则抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）；
（2）当y1＝y3时，抛物线的对称轴为x＝1，
∴-b2=1，
解得：b＝﹣2；
（3）当y3＞y1时，对称轴在x＝1的左侧，即-b2＜1，
解得：b＞﹣2，
当1＞y2时，1＞1+b+1，
解得：b＜﹣1，
∴当y3＞y1＞1＞y2时，﹣2＜b＜﹣1．
【点评】本题考查的是二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，正确理解抛物线的对称性以及二次函数的性质是解题的关键．
9．（2023•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣3．
（1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）A（x1，y1），B（x2，y2）为该抛物线上的两点，若x1＝1﹣2a，x2＝a+1，且y1＞y2，求a的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线对称轴公式：x=-b2a，即可得到答案；
（2）分三种情况讨论，得到关于a的不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣3，
∴该抛物线的对称轴为直线x=--2a2×1=a；
（2）①当a＜x2＜x1时，y1＞y2，
则a+1＜1﹣2a，即a＜0；
②当x1﹣a＞a﹣x2时，y1＞y2，
则1﹣2a﹣a＞a﹣（a+1），即a＜23；
③当x1﹣a＜a﹣x2时，y1＞y2，
则1﹣2a﹣a＜a﹣（a+1），即a＞23，
综上，a＜0或a＞23．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数上的点的特征，熟练掌握对称轴公式以及分类讨论思想的运用是解本题的关键；确定a的范围是本题的难点．
10．（2022•海淀区校级模拟）二次函数y＝ax2﹣2atx+c（a≠0）的图象经过A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3），D（3，y4）四点．
（1）求二次函数的对称轴（用含的代数式表示）；
（2）已知t＝﹣1，若y2y3＜0，请直接判断y1y4的正负性，即y1y4　＞　0（填“＞”或“＜”）；
（3）若y3＞y2＞y4，求t的取值范围并判断y1，y2的大小关系．
【分析】（1）利用对称轴公式即可求得；
（2）根据抛物线解析式可得抛物线对称轴，由各点到对称轴的距离可判断函数值的大小，进而求解；
（3）分a＞0，a＜0两种情况，根据函数的性质进行判断即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣2atx+c，
∴二次函数的对称轴为直线x=--2at2a=t．
（2）∵t＝﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
当抛物线开口向上，即a＞0时，
∵3﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣4）＞﹣1﹣（﹣2）＞1﹣（﹣1），
∴y4＞y1＞y2＞y3，
若y2y3＜0，则y4＞y1＞y2＞0＞y3，
∴y1y4＞0；
当抛物线开口向下，即a＜0时，
∵3﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣4）＞﹣1﹣（﹣2）＞1﹣（﹣1），
∴y3＞y2＞y1＞y4，
若y2y3＜0，则y3＞0＞y2＞y1＞y4，
∴y1y4＞0；
综上所述，y1y4＞0，
故答案为：＞．
（3）当a＜0时，x越靠近对称轴，其对应的y值越大，
要使y3＞y2＞y4，则对称轴位于点B和点C之间且靠近点C的位置，
∴y1＜y2，
当a＞0时，要使y3＞y2＞y4，不存在，
综上所述，y1＜y2．
【点评】此题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是学会利用对称性解决问题，属于中考常考题型．
11．（2021•西湖区校级二模）已知：二次函数y＝x2+bx﹣3的图象经过点P（﹣2，5）．
（1）求b的值；
（2）设P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）均在该函数图象上，
①当m＝4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
【分析】（1）把（﹣2，5）代入二次函数y＝x2+bx﹣3，求出b；
（2）①不能，因为代入求出y1＝5，y2＝12，y3＝21，不符合三边关系定理；②求出y1+y2﹣y3的值即可．
【解答】解：（1）把（﹣2，5）代入二次函数y＝x2+bx﹣3得：5＝4﹣2b﹣3，
∴b＝﹣2．

（2）①答：当m＝4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长．
理由是当m＝4时，P1（4，y1）、P2（5，y2）、P3（6，y3），
代入抛物线的解析式得：y1＝5，y2＝12，y3＝21，
∵5+12＜21，
∴当m＝4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长．

②理由是：∵把P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）代入y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4得：
∴y1＝（m﹣1）2﹣4，y2＝（m+1﹣1）2﹣4，y3＝（m+2﹣1）2﹣4，
∴y1+y2﹣y3＝（m﹣1）2﹣4+（m+1﹣1）2﹣4﹣[（m+2﹣1）2﹣4]＝（m﹣2）2﹣8，
∵m≥5，y1，y2，y3都是＞0的，
∴（m﹣2）2﹣8＞0，
∴y1+y2﹣y3＞0
∴y1+y2＞y3，
根据三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边（也可求出两小边的和大于第三边），
∴当m取不小于5的任意实数时，P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）都在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2＜y3，
∴y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能正确根据定理进行计算是解此题的关键．
12．（2021•安徽二模）二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C．
（1）求a，b的值；
（2）点P为二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象上一动点，且位于第一象限，设△ABP的面积为S1，△CBP的面积为S2，记w＝S1﹣2S2+1，求w的最小值．
【分析】（1）关键待定系数法即可求解；
（2）求得C的坐标，进而即可求得直线BC的解析式，过P点作x轴的垂线，交BC于Q，设P（x，﹣x2+2x+3），则Q（x，﹣x+3），利用三角形面积公式即可得到w＝S1﹣2S2+1＝（x-52）2+34，从而求得w的最小值为34．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴a-b+3=09a+3b+3=0，
解得a=-1b=2；
（2）由（1）可知，二次函数为y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC为y＝kx+3，
代入B（3，0）求得k＝﹣1，
∴直线BC为y＝﹣x+3，
过P点作x轴的垂线，交BC于Q，
设P（x，﹣x2+2x+3），则Q（x，﹣x+3），
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∴S1=12×4×（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+4x+6，2S2＝2×12（﹣x2+2x+3+x﹣3）×3＝﹣3x2+9x，
∴w＝S1﹣2S2+1＝﹣2x2+4x+6﹣（﹣3x2+9x）+1＝x2﹣5x+7＝（x-52）2+34，
∴w的最小值为34．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，表示出P、Q的坐标是解题的关键．
13．（2023•龙湾区一模）如图，已知点C为二次函数y＝x2﹣4x+1的顶点，点P（0，n）为y轴正半轴上一点，过点P作y轴的垂线交函数图象于点A，B（点A在点B的左侧）．点M在射线PB上，且满足PM＝1+n．过点M作MN⊥AB交抛物线于点N，记点N的纵坐标为yN．
（1）求顶点C的坐标．
（2）①若n＝3，求MB的值．
②当0＜n≤4时，求yN的取值范围．

【分析】（1）把二次函数的解析式化成顶点式，即可求得顶点C的坐标；
（2）①解方程x2﹣4x+1＝3，求得B的坐标即可得出MB=BP-PM=2+6-4=6-2；
②由xN＝xM＝1+n，代入解析式得yN=(n-1)2-3(0＜n≤4)，求得当n＝1时，yN的最小值为﹣3．n＝4时，yN的最大值为6，根据二次函数的性质即可求得﹣3≤yN≤6．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴顶点C的坐标为（2，﹣3）．
（2）①当n＝3时，则PM＝1+3＝4，
令y＝3，则x2﹣4x+1＝3，
解得x1=2+6，x2=2-6，
∴B（2+6，3），
∴MB=BP-PM=2+6-4=6-2．
②∵xN＝xM＝1+n，
∴yN=(n-1)2-3(0＜n≤4)．
∴当n＝1时，yN的最小值为﹣3．
当n＝4时，yN的最大值为6．
∴﹣3≤yN≤6．

【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14．（2022•香洲区校级三模）直线y=-12x+1与x，y轴分别交于点A，B，抛物线的解析式为y＝2x2﹣4ax+2a2+a．
（1）求出点A，B的坐标，用a表示抛物线的对称轴；
（2）若函数y＝2x2﹣4ax+2a2+a在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；
（3）取a＝﹣1，将线段AB平移得到线段A'B'，若抛物线y＝2x2﹣4ax+2a2+a与线段A'B'有两个交点，求直线A'B'与y轴交点的纵坐标的取值范围．
【分析】（1）根据坐标轴上点的特征分别令x＝0，y＝0即可求得点A，B的坐标，利用公式或运用配方法即可求得抛物线的对称轴；
（2）利用二次函数的性质建立方程求解即可得出答案；
（3）求出直线A′B′与抛物线相切时与y轴交点的纵坐标，再求出线段A′B′两个端点均落在抛物线上时直线A′B′与y轴交点的纵坐标，即可得出答案．
【解答】解：（1）在y=-12x+1中，令x＝0，得y＝1，
∴B（0，1），
令y＝0，得-12x+1＝0，
解得：x＝2，
∴A（2，0），
∵y＝2x2﹣4ax+2a2+a＝2（x﹣a）2+a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝a；
（2）函数y＝2x2﹣4ax+2a2+a在3≤x≤4时有最大值为a+2，
当a≤72时，32﹣16a+2a2+a＝a+2，
解得：a＝3或a＝5（不符合题意，舍去）；
当a＞72时，18﹣12a+2a2+a＝a+2，
解得：a＝4或a＝2（不符合题意，舍去）；
综上所述，a的值为3或4；
（3）当a＝﹣1时，y＝2x2+4x+1＝2（x+1）2﹣1，
∵直线AB的解析式为y=-12x+1，
∴设直线A′B′的解析式为y=-12x+b，
与抛物线解析式联立，得：2x2+4x+1=-12x+b，
整理得：4x2+9x+2﹣2b＝0，
当直线y=-12x+b与抛物线只有一个公共点时，Δ＝81﹣16（2﹣2b）＝0，
解得：b=-4932，
当线段A′B′的两个端点恰好落在抛物线上时，|x1﹣x2|＝2，即（x1﹣x2）2＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，
∵x1+x2=-94，x1x2=1-b2，
∴8116-2（1﹣b）＝4，
解得：b=1532，
∴直线A'B'与y轴交点的纵坐标的取值范围为-4932＜b≤1532．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，平移变换的性质，直线与抛物线的交点，一元二次方程根与系数的关系的应用等，属于中档题．
15．（2022•柘城县校级三模）在平面直角坐标系xOy中，点（2，m）和点（6，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＜0）上．
（1）若m＝4，n＝﹣12，求抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）已知点A（1，y1），B（4，y2）在该抛物线上，且mn＝0．
①比较y1，y2，0的大小，并说明理由；
②将线段AB沿水平方向平移得到线段A'B'，若线段A'B'与抛物线有交点，直接写出点A'的横坐标x的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）①利用分类讨论的方法分m＝0和n＝0两种情形讨论解答：分别求得抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性和二次函数的性质，数形结合的思想方法解答即可；
②结合函数的图象利用平移的性质分别求得A'的横坐标x的最小值与最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵m＝4，n＝﹣12，
∴点（2，4）和点（6，﹣12）在抛物线y＝ax2+bx（a＜0）上．
∴4a+2b=436a+6b=-12，
解得：a=-1b=4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x．
∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，4）；
（2）①∵mn＝0，
∴m＝0或n＝0．
当m＝0时，
∵抛物线y＝ax2+bx（a＜0）的开口方向向下，经过（0，0），（2，0），
∴抛物线的对称轴为x=0+22=1，
∴A（1，y1）为抛物线的顶点，
∴y1为函数的最大值且大于0，
∵点（2，0）在x轴上，
∴点B（4，y2）在x轴的下方，
∴y2＜0，
∴y1，y2，0的大小关系为：y1＞0＞y2；
当n＝0时，
∵抛物线y＝ax2+bx（a＜0）的开口方向向下，经过（0，0），（6，0），
∴抛物线的对称轴为x=0+62=3，
∴当x＜3时，y随x的增大而增大，
由抛物线的对称性可知：（2，y2）在抛物线上，
∵0＜1＜2，
∴0＜y1＜y2．
综上，当m＝0时，y1＞0＞y2，当n＝0时，0＜y1＜y2；
②A'的横坐标x的取值范围为：当n＝0时，﹣1＜x＜5，当m＝0时，﹣5＜x＜1．理由：
由①知：当m＝0时，抛物线y＝ax2+bx的对称轴为x＝1，
∴点A，B关于对称轴对称的点的坐标分别为A′（1，y1），B′（﹣2，y2），
∵将线段AB沿水平方向向左平移至B与B′重合时，线段A'B'与抛物线有交点，再向左平移就没有交点了，而由B平移到B′平移了6个单位，
∴A'的横坐标x的最小值为1﹣6＝﹣5，而最大值为1，
∴A'的横坐标x的取值范围为：﹣5＜x＜1；
由①知：当n＝0时，抛物线y＝ax2+bx的对称轴为x＝3，
∴点A，B关于对称轴对称的点的坐标分别为A′（5，y1），B′（2，y2），
∵将线段AB沿水平方向向左平移至B与B′重合时，线段A'B'与抛物线有交点，再向左平移就没有交点了，而由B平移到B′平移了2个单位，
∴A'的横坐标x的最小值为1﹣2＝﹣1，
∵将线段AB沿水平方向向右平移至A与A′重合时，线段A'B'与抛物线有交点，再向右平移就没有交点了，而由A平移到A′平移了4个单位，
∴A'的横坐标x的最大值为1+4＝5，
∴A'的横坐标x的取值范围为：﹣1＜x＜5．
综上，A'的横坐标x的取值范围为：当n＝0时，﹣1＜x＜5，当m＝0时，﹣5＜x＜1．
【点评】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，平移的点的坐标的特征，数形结合法，利用待定系数法和数形结合法解答是解题的关键．
16．（2022•博望区校级一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3的图象经过点A（﹣1，0）．
（1）求a的值；
（2）若点B（m，n）与点C（m+1，n+1）都在抛物线y＝x2﹣2ax﹣3上，求m+n的值；
（3）若一次函数y＝（k+1）x+k+1的图象与二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3的图象的交点坐标是（x1，y1），（x2，y2）且x1＜0＜x2时，求函数w＝y1+y2的最小值．
【分析】（1）把A的坐标代入y＝ax2﹣2ax﹣3即可求得a的值；
（2）先将（m，n）、（m+1，n+1）两点的坐标分别代入y＝x2﹣2x﹣3，得到n＝m2﹣2m﹣3①，n+1＝（m+1）2﹣2（m+1）﹣3，即n＝m2﹣5②，再用②﹣①求得出m＝1，进而由②求得n，即可求出m+n＝﹣3；
（3）由一次函数解析式可得直线过定点（﹣1，0），可得y1＝0，因为抛物线顶点坐标为（1，﹣4），则y2的最小值为﹣4，然后作和求解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3的图象经过点A（﹣1，0），
∴a+2a﹣3＝0，
∴a＝1；
（2）∵a＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3，
∵点B（m，n）与点C（m+1，n+1）都在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，
∴n＝m2﹣2m﹣3①，n+1＝（m+1）2﹣2（m+1）﹣3，即n＝m2﹣5②，
②﹣①得2m﹣2＝0，解得m＝1，
∴n＝m2﹣5＝﹣4，
∴m+n＝1﹣4＝﹣3；
（3）∵y＝（k+1）x+k+1＝（k+1）（x+1），
∴直线数y＝（k+1）x+k+1经过定点（﹣1，0），
∵x＝﹣1时，y＝x2﹣2x﹣3＝0，
∴一次函数y＝（k+1）x+k+1的图象与二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象的一个交点为（﹣1，0），
∵x1＜0＜x2，
∴x1＝﹣1，y1＝0，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4），
∴y2≥﹣4，
∴y1+y2≥﹣4，
∴w＝y1+y2的最小值为﹣4．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握抛物线图象的性质，掌握求函数经过定点的方法．
17．（2022•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a＞0），
（1）求二次函数对称轴；
（2）若当﹣1≤x≤3时，函数的最大值为4，求此二次函数的顶点坐标．
（3）抛物线上两点M（x1，y1），N（x2，y2）若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3都有y1≠y2，求t的取值范围．
【分析】（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴直线是x=-b2a，由此即可求解；
（2）﹣1≤x≤3时，得出当x＝3时，函数的最大值为4，即可求出a的值，从而求出二次函数的顶点坐标；
（3）由条件得到抛物线两点M（x1，y1），N（x2，y2）不关于对称轴x=12对称，推出x1+x2≠1由，t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，即可求出t的取值范围．
【解答】解：y＝（x+a）（x﹣a﹣1）＝x2﹣x﹣a2﹣a，
（1）二次函数对称轴是直线x=-1-2×1=12；
（2）∵二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）图象开口向上，12-（﹣1）＜3-12，
∴﹣1≤x≤3，当x＝3时，二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）取得最大值，是4，
∴当x＝3时，y＝x2﹣x﹣a2﹣a＝9﹣3﹣a2﹣a＝4，
∴a2+a﹣2＝0，
∴a1＝1，a2＝﹣2，
∵a＞0，
∴a＝1，
∴y＝x2﹣x﹣a2﹣a＝x2﹣x﹣2=(x-12)2-94，
∴此二次函数的顶点坐标是（12，-94）；
（3）∵抛物线上两点M（x1，y1），N（x2，y2），对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3都有y1≠y2，
∴点M（x1，y1），N（x2，y2）不关于对称轴x=12对称，
∴x1+x2≠1，
∵t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，
∴2t+2＜x1+x2＜2t+4，
∴2t+2≥1或2t+4≤1，
∴t≥-12或t≤-32．
【点评】本题考查二次函数的性质，关键是掌握二次函数对称轴，顶点坐标的求法及由二次函数的性质列不等式．
18．（2022•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）上的两点．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；
（3）若当t＜x1＜t+1且t+2＜x2＜t+3时，存在y1＝y2，求t的取值范围．
【分析】（1）先化抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2+1，依此可求抛物线的对称轴；
（2）利用二次函数性质即可求得答案；
（3）利用二次函数性质存在A到对称轴的距离与B到对称轴的距离相等即可解答．
【解答】解：（1）y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，
∴抛物线的对称轴为x＝1；
（2）∵﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2，
∴1﹣x1＞1﹣x2，
∴A离对称轴越远，
若a＞0，开口向上，则y1＞y2，
若a＜0，开口向下，则y1＜y2，
（3）∵t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，
存在y1＝y2，则t+1＜1且t+2＞1，
∴t＜0且t＞1，
∵y1＝y2，
∴存在1﹣x1＝x2﹣1，
即存在A到对称轴的距离与B到对称轴的距离相等，
∴1﹣t＞t+2﹣1且1﹣（t+1）＜t+3﹣1，
∴﹣1＜t＜0．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数上的点的特征，熟练掌握对称轴公式及求顶点坐标的方法是解本题的关键，根据图象及性质确定t的范围是本题的难点．
19．（2022•萧山区二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1．
（1）若该函数的图象经过点（1，2），求该二次函数图象的顶点坐标．
（2）若（x1，y1），（x2，y2）为此函数图象上两个不同点，当x1+x2＝﹣2时，恒有y1＝y2，试求此函数的最值．
（3）当a＜0且a≠﹣1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．
【分析】（1）直接将点（1，2）代入即可求得a的值，然后根据顶点公式求得即可；
（2）利用题意，-a-12a=x1+x22=-22=-1求解a，然后把解析式化成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）利用顶点公式求得x=-a-12a=-12+12a，y=-4a-(a-1)24a=-(a+1)24a，由a＜0且a≠﹣1即可判断x＜0，y＞0，即可得到该二次函数图象的顶点在第二象限．
【解答】解：（1）∵函数图象过点（1，2），
∴将点代入y＝ax2+（a﹣1）x﹣1，
解得a＝2，
∴二次函数的解析式为y＝2x2+x﹣1，
∴x=-12×2=-14，
∴y＝2×116-14-1=-98，
∴该二次函数的顶点坐标为（-14，-98）；
（2）函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1的对称轴是直线x=-a-12a，
∵（x1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点，且x1+x2＝﹣2，则y1＝y2，
∴-a-12a=x1+x22=-22=-1，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2≤0，
∴当x＝﹣1时，函数有最大值0；
（3）∵y＝ax2+（a﹣1）x﹣1，
∴由顶点公式得：x=-a-12a=-12+12a，y=-4a-(a-1)24a=-(a+1)24a，
∵a＜0且a≠﹣1，
∴x＜0，y＞0，
∴该二次函数图象的顶点在第二象限．
【点评】本题考查二次函数图象和性质；二次函数图象上点的特征，二次函数的最值，熟知二次函数的顶点公式是解决本题的关键．
20．（2022•盈江县模拟）抛物线C1：y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且与y轴交点的纵坐标为﹣3．
（1）求b，c的值；
（2）抛物线C2：y＝﹣x2+mx+n经过抛物线C1的顶点P．
①求证：抛物线C2的顶点Q也在抛物线C1上；
②若m＝8，点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F，求EF长度的最大值．
【分析】（1）根据对称轴公式x=-b2a，即可求出b的值，由抛物线与y轴交点的纵坐标为﹣3即可求得c的值；
（2）①由（1）可得抛物线C1的解析式，从而可得抛物线C1的顶点P的坐标，由抛物线C2经过抛物线C1的顶点可得n＝﹣m﹣3，从而可得抛物线C2为：y＝﹣x2+mx﹣m﹣3，根据对称轴公式x=-b2a，即可求出顶点Q的坐标，再将点Q的横坐标代入抛物线C1的解析式中，即可证明；
②先分别求出点P和点Q的横坐标，由①可得n＝﹣11，设点E横坐标为x，由点E在抛物线C1上可表示出纵坐标，由题可知点F与点E横坐标相同，代入抛物线C2的解析式中可得点F纵坐标，即可求解．
【解答】（1）解：∵抛物线C1：y＝x2+bx+c对称轴为x＝1，且与y轴交点的纵坐标为﹣3，
∴x=-b2a=1，c＝﹣3，
∴b＝﹣2；
（2）①证明：∵抛物线C1的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
∴顶点P的坐标为：（1，﹣4），
∵抛物线C2经过抛物线C1的顶点，
∴﹣4＝﹣12+m+n，
∴n＝﹣m﹣3，
∴抛物线C2为：y＝﹣x2+mx﹣m﹣3，
∴对称轴为：直线x=-b2a=m2，
将x=m2代入y＝﹣x2+mx﹣m﹣3，得：
y=m24-m﹣3，
∴点Q坐标为：（m2，m24-m﹣3），
将x=m2代入y＝x2﹣2x﹣3，得：
y=m24-m﹣3，
∴点Q也在抛物线C1上；
②解：由①知n＝﹣m﹣3，
∵m＝8，
∴n＝﹣11，
∴抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+8x﹣11，对称轴为：直线x=m2=4，
设点E横坐标为x，
∵点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，
∴点E坐标为（x，x2﹣2x﹣3），1＜x＜4，
∵过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F，
∴点F横坐标为x，
∴点F坐标为（x，﹣x2+8x﹣11），
∴EF＝﹣x2+8x﹣11﹣（x2﹣2x﹣3）
＝﹣x2+8x﹣11﹣x2+2x+3
＝﹣2x2+10x﹣8
＝﹣2（x2﹣5x+4）
＝﹣2（x2﹣5x+254）+92
＝﹣2（x-52）2+92，
∴当x=52时，EF取得最大值，最大值为92，
∴EF长度的最大值为92．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．