中考数学压轴题专项训练14相似三角形含解析

这是一份中考数学压轴题专项训练14相似三角形含解析，共23页。试卷主要包含了如图，是一个照相机成像的示意图等内容，欢迎下载使用。


（1）找出图中的一对相似三角形并证明；
（2）求AC长．
【解析】解：（1）△BAD∽△BCA，理由如下：
AB＝2，BC＝4，BD＝1，
，
，
又∠B=∠B，
△BAD∽△BCA；
（2）由（1）得：，即，
AD+AC=8，
，解得：，
．
2．如图，在中，，，是上一点，，是上一动点，连接，作，射线交线段于.
（1）求证：；
（2）当是线段中点时，求线段的长；
【解析】（1）证明：∵，
∴；
∵，，
∴.
∴.
（2）∵（已证）.
∴；
∵为的中点，，
∴.
设，则；又，
∴，解得或3.
故长为2或3.
3．如图，是一个照相机成像的示意图．
（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？
（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？
【解析】解：根据物体成像原理知：△LMN∽△LBA，∴．
（1）∵像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，
∴，解得：LD=7．
∴拍摄点距离景物7 m．
（2）拍摄高度AB是2m的景物，拍摄点离景物LC=4m，像高MN不变，是35mm，
∴，解得：LC=70．
∴相机的焦距应调整为70mm．
4．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M，若∠AFG＝∠ACD．
（1）求证：①△MFC∽△MCA；
②若AB＝5，AC＝8，求的值．
（2）若DM＝CM＝2，AD＝3，请直接写出EF长．
【解析】（1）①证明：∵∠AFG＝∠ACD，
∴∠FCA+∠FAC＝∠FCA+∠MCF，
∴∠FAC＝∠MCF，
∵∠FMC＝∠CMA，
∴△MFC∽△MCA．
②解：∵四边形AEFG，四边形ABCD都是矩形，
∴FG∥AE，CD∥AB，
∴∠AFG＝∠FAE，∠ACD＝∠CAB，
∵∠AFG＝∠ACD，
∴∠FAE＝∠CAB，
∵∠AEF＝∠ABC＝90°，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∵∠FAE＝∠CAB，
∴∠FAC＝∠EAB，
∴△FAC∽△EAB，
∴＝＝．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AD＝BC＝3，
∵DM＝MC＝2，AD＝3，
∴CD＝4，AM＝＝＝，AC＝＝＝5，
∵△MFC∽△MCA，
∴＝，
∴FM＝＝，
∴AF＝AM﹣FM＝，
∵△AEF∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝．
5．已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E．
（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED⋅EA=EC⋅EB；
（2）如图2，若∠ABC=120°，cs∠ADC=35，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积．
【解析】解：（1）证明：∵∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝90°，
∴∠ABE＝∠CDE.
又∵∠AEB＝∠CED，
∴△EAB∽△ECD，
∴，
∴．
（2）过点C作CG⊥AD于点D，过点A作AH⊥BC于点H，
∵CD＝5，cs∠ADC＝，
∴DG＝3，CG＝4.
∵S△CED＝6，
∴ED＝3，
∴EG＝6.
∵AB＝12，∠ABC＝120°，则∠BAH＝30°，
∴BH＝6，AH＝，
由（1）得△ECG∽△EAH，
∴，
∴EH＝，
∴S四边形ABCD＝S△AEH－S△ECD－S△ABH＝＝．
6．如图，在中，，是高，平分，分别与，相交于点，．
（1）求证：．
（2）求证：．
（3）若，，，求的长．
【解析】证明：（1）
为边上的高，
，
是的平分线，
；
（2），，
，
；
（3）如图，作于
，
，
由，
，
，，
由
．
7．如图，在平面直角坐标系x0y中，直线BC和直线OB交于点B，直线AC与直线BC交x轴于点C，OA=4， 轴，垂足为点A，AC与OB交于点M．
(1)求直线BC的解析式；
(2)求阴影部分的面积．
【解析】解：（1），
所以点A坐标为（0，4)，点C坐标为（1，0），
又轴，点B坐标为（2，4），
设直线BC的表达式为y=kx+b，将点B，C坐标代入表达式，
得，解得：k=4，b=﹣4，
所以直线的表达式为．
(2) 轴，∴AB∥x轴，
，
∴，
∵，
∴，
∴S阴影．
8．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图2，当AB=5，且AFFD=10时，求BC的长；
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AD时，求的值．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，
∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴BC=BF，∠FBE=∠EBC，∠C=∠BFE=90°，
∵BC=2AB，
∴BF=2AB，
∴∠AFB=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠AFB=∠CBF=30°，
∴∠CBE=∠FBC=15°；
（2）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴∠BFE=∠C=90°，CE=EF，
又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°，
∴∠AFB=∠DEF，
∴△FAB∽△EDF，
∴，
∴AF•DF=AB•DE，
∵AF•DF=10，AB=5，
∴DE=2，
∴CE=DC-DE=5-2=3，
∴EF=3，
∴DF=，
∴AF=，
∴BC=AD=AF+DF=．
（3）过点N作NG⊥BF于点G，
∵NF=AD
∴NF=BF，
∵∠NFG=∠AFB，∠NGF=∠BAF=90°，
∴△NFG∽△BFA，
∴，
设AN=x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN=NG=x，AB=BG=2x，
设FG=y，则AF=2y，
∵AB2+AF2=BF2，
∴(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，
解得y=x，
∴BF=BG+GF=．
∴．
9．如图，抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣n）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为5．动点P从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B运动，过P作PN⊥x轴交BC于M，交抛物线于N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当MN最大时，求运动的时间；
（3）经过多长时间，点N到点B、点C的距离相等？
【解析】（1）∵抛物线y＝与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C
∴A（﹣1，0），B（n，0），C（0，），n＞0
∴AB＝n+1，OC＝n
由S△ABC＝×AB×OC＝5
∴
∴
∴取正根n＝4
∴y＝＝x2+x+2；
（2）由（1），B（4，0），C（0，2）
∴直线BC为
设M（m,m+2），N（m,m2+m+2）
∴MN＝＝＝
∴当m＝2时，MN最大
∴OP＝2
∴AP＝3，即经过3s，MN最大；
（3）如下图所示，作BC的中垂线，与BC交于点D，与y轴交于点E，与抛物线交于点N，
∴△CDE～△COB
∴
由（2），得BC＝2，D（2，1）
∴DE＝2CD＝2
∴CE＝5
∴OE＝3
∴E（0，-3）
∴直线DE为y＝2x-3
由x2+x+2＝2x-3
移项整理得：x2+x-5＝0
∴x2+x-10＝0
取正根x＝
∴OP＝
∴AP＝
即经过秒，点N到点B、点C的距离相等．
10．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
（1）求证：△MFC∽△MCA；
（2）求证△ACF∽△ABE；
（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【解析】解：（1）四边形是正方形，四边形是正方形，
，
，
，
，
；
（2）四边形是正方形，
，，
，
同理可得，
，
，
，
；
（3），，
，
，
，
，即，
，
，
，
即正方形的边长为．
11．如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n．
（Ⅰ）求m，n的值以及函数的解析式；
（Ⅱ）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c，
（1）当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；
（2）设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值．
【解析】（I）∵m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n，
用因式分解法解方程：（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴m＝﹣1，n＝3，
∴A（﹣1，0），B（0，3），
把（﹣1，0），（0，3）代入得，，
解得，
∴函数解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（ II）证明：令y＝﹣x2+2x+3＝0，即x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），C（3，0），
∴OA＝1，OC＝3，
∴对称轴为，顶点D（1，﹣1+2+3），即D（1，4），
∴，，，
∵CD2＝DB2+CB2，
∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，
∴∠AOB＝∠DBC，
在Rt△AOB和Rt△DBC中，，，
∴，
∴△BCD∽△OBA；
（ III）抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，顶点为D（1，4），
（1）在0≤x≤3范围内，
当x＝1时，y最大值＝4；当x＝3时，y最小值＝0；
（2）①当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧，当x＝t时取得最小值q＝﹣t2+2t+3，最大值p＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，
令p﹣q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即﹣2t+1＝3，解得t＝﹣1．
②当t+1＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；
③当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧，
此时p＝4，令p﹣q＝4﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即t2﹣2t﹣2＝0解得：t1＝1+（舍），t2＝1﹣（舍）；
或者p﹣q＝4﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，即（不合题意，舍去）；
④当t＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；
⑤当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x＝t时取得最大值p＝﹣t2+2t+3，最小值q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，
令p﹣q＝﹣t2+2t+3﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，解得t＝2．
综上，t＝﹣1或t＝2．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以C为顶点作等腰直角三角形CMN．使∠CMN＝90°，连接BN，射线NM交BC于点D．
（1）如图1，若点A，M，N在一条直线上，
①求证：BN+CM＝AM；
②若AM＝4，BN＝，求BD的长；
（2）如图2，若AB＝4，CN＝2，将△CMN绕点C顺时针旋转一周，在旋转过程中射线NM交AB于点H，当三角形DBH是直角三角形时，请你直接写出CD的长．
【解析】证明：（1）①如图，过点C作CF⊥CN，交AN于点F，
∵△CMN是等腰直角三角形，
∴∠CNM＝45°，CM＝MN，
∵CF⊥CN，∠ACB＝90°，
∴∠FCN＝∠ACB，∠CFN＝∠CNF＝45°，
∴∠ACF＝∠BCN，CF＝CN，且AC＝BC，
∴△ACF≌△BCN（SAS），
∴AF＝BN，
∵CF＝CN，CM⊥MN，
∴MF＝MN＝CM，
∴AM＝AF+FM＝BN+CM
②∵AM＝4，BN＝，BN+CM＝AM，
∴CM＝MN＝，
∵△ACF≌△BCN，
∴∠CAF＝∠CBN，
∵∠CAF+∠ACF＝∠CFN＝45°，∠BCN+∠MCD＝∠MCN＝45°
∴∠CAF＝∠MCD，且∠CAF＝∠CBN，
∴∠MCD＝∠CBN
∴CM∥BN
∴△MCD∽△NBD，∠CMD＝∠BND＝90°
∴＝
∴MD＝ND
∵MD+ND＝MN＝
∴ND＝
在Rt△DNB中，BD＝＝
（2）若∠BDH＝90°，如图，此时点M与点D重合，
∵△CMN是等腰直角三角形，CN＝2
∴CM＝MN＝
∴CD＝，
若∠BHD＝90°，如图，
∵∠BHD＝90°，∠B＝45°，
∴∠BDH＝45°
∴∠CDN＝45°＝∠N
∴CD＝CN＝2．