2021学年1.3.2奇偶性巩固练习

这是一份2021学年1.3.2奇偶性巩固练习，共20页。试卷主要包含了定义在R上的偶函数y＝f，已知f，已知 ①，②，③f，定义在R上的函数f，已知函数f＝　 　 　，已知函数f的值为　 　，已知f的值为　　 　等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共5小题）
1．定义在R上的偶函数y＝f（x）在（0，+∞）上递减，且f（1）＝0，则满足f（|log8x|）＞0的x的取值范围是（　　）
A．（8，+∞） B．（0，）∪（8，+∞）
C．（0，）∪（） D．（，8）
2．已知f（x）是定义在R上的函数，并满足f（x）f（x+2）＝﹣2，当1＜x＜2时，f（x）＝x，则f（5.5）＝（　　）
A．1.5 B．﹣1.5 C．5.5 D．﹣5.5
3．已知 ①，②，③f（x）＝ex﹣e﹣x，④f（x）＝2x，其中奇函数的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，若x∈[，1]时，不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣2，2] B．[﹣2，0] C．[0，2] D．（﹣2，2）
5．定义在R上的函数f（x）是周期为6的奇函数，若f（2）＞1，f（4）＝，则m的取值范围是（　　）
A．m B．m且m≠﹣1 C．﹣1＜m D．m＜﹣1或m
二．填空题（共35小题）
6．已知定义在R上的函数，若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围是　　 　．
7．已知函数f（）＝x，则f（2）＝　 　 　．
8．已知函数f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈（0，1）时，f（x）＝2x﹣1，则f（log210）的值为　 　．
9．对任意的非零实数a，b，若a⊗b＝，则＝　 　 　．
10．已知f（x）＝，则f（3）的值为　　 　．
11．已知函数f（x）满足：f（m+n）＝f（m）f（n），f（1）＝3，则+++…的值等于　 　 　 　．（用含n的式子表示）
12．设函数f（x）（x∈R）是以4为周期的周期函数，且f（﹣x）+f（x）＝0，若x∈[0，2]时f（x）＝（x﹣1）2，则f（3）＝　 　 　．
13．若函数f（x）＝x|x﹣a|在[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为　 　 　 　．
14．已知函数f（x）＝（x∈N+），若f（f（2））＝4a，则实数a等于　 　 　．
15．设f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝2x+x，则当x＜0时，f（x）＝　 　 　 　．
16．若函数f（x）＝为R上的增函数，则实数a的取值范围是　 　 　．
17．已知函数f（x），对任意实数x1，x2都有f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2），且当x＞0时f（x）＞0，f（2）＝1．解不等式f（2x2﹣1）＜2的解集为　 　 　 　．
18．函数y＝f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调减函数，且其图象过点（﹣3，2）和（1，﹣2），则不等式|f（x）|＜2的解集为　 　 　 　．
19．已知f（x）是定义在R上的增函数，下列结论中，①y＝[f（x）]2是增函数；②y＝是减函数；③y＝﹣f（x）是减函数；④y＝|f（x）|是增函数，其中错误的结论是　　 　 　．
20．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝x2+2x（x≥0），若f（3﹣a2）＞f（2a﹣a2），则实数a的取值范围是　 　．
21．已知f（x）是R上偶函数，且在[0，+∞）上递减，比较与f（1+a+a2）的大小关系为　 　．
22．设函数f（x）在R上是偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，且f（2a2+a+1）＜f（2a2﹣2a+3），则a的取值范围＝　　 　 　．
23．若对任意n∈N+，关于x的不等式x2+x﹣（）n≥0在（﹣∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是　 　．
24．已知函数f（x）∈[1，5]，则函数g（x）＝f（x）+的值域为　 　 　 　．
25．若对任意的实数m，n，都有f（m）+f（n）＝f（m+n），且f（1007）＝2，则f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2013）＝　 　 　 　．
26．设f（x）是定义在R上的奇函数，且y＝f（x）的图象关于直线对称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2009）＝　 　 　 　．
27．已知f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数．且满足f（6）＝1．f（x）﹣f（y）＝f（）（x＞0，y＞0）．则不等式f（x+3）＜f（）+2的解集是　 　．
28．已知函数f（x）是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）＝﹣x+1，则不等式x•f（x）＞0在x∈（﹣3，1）上的解集为　 　 　 　．
29．若f（x）＝ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣6+a，a]的奇函数，则a+b＝　 　 　 　．
30．已知函数f（x）＝loga（8﹣ax）（a＞0，a≠1），若f（x）＞1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为　 　．
31．已知函数f（x）＝，x∈（1，+∞）
（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．
（2）当x∈[2，4]时，不等式：f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的范围．








32．已知函数f（x）的定义域D＝（0，+∞），且对于任意x1，x2∈D，均有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2）﹣1，且当x＞1时，f（x）＞1
（1）求f（1）的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）若f（16）＝3，解不等式f（3x+1）≤2．








33．已知函数f（x）＝是定义域上的奇函数，则函数f（x）的值域为　 　 　．
34．若函数y＝f（x+）奇函数，且g（x）＝f（x）+1，则f（1﹣x）+f（x）＝　 　 　；g（）+g（）+…+g（）＝　　 　．
35．设函数f（x）＝的最大值为M，最小值为N，那么M+N＝　 　 　．
36．设函数f（x）＝2a﹣x﹣2kax（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是减函数，则g（x）＝loga（x﹣k）的图象是　 　 　．
37．函数f（x）＝（）|2x﹣1|的单调增区间是：　　 　．
38．已知定义在R上的函数y＝f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x2，那么函数y＝f（x）的图象与y＝log3|x|的图象的交点个数为　 　 　．
39．已知函数f（x）＝在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是　　 　．
40．设偶函数y＝f（x），对任意实数x∈R都有f（x）＝f（x+4），当x∈[0，4]时，函数f（x）＝ax2+x+b2﹣b﹣（a∈R，b∈R），且当x∈[0，1]时，f（x）＜0恒成立，则b的取值范围是　 　 　．
一．选择题（共5小题）
1．【分析】由题意可得0≤|log8x|＜1，去掉绝对值后，由对数函数的性质可得答案．
【解答】解：∵偶函数y＝f（x）在（0，+∞）上递减，且f（1）＝0
由f（|log8x|）≥0可得0≤|log8x|＜1，或﹣1＜|log8x|＜0（舍去）
而0≤|log8x|＜1可化为0≤log8x＜1，或﹣1＜log8x≤0，
分别可解得1≤x＜8，或x≤1，
故x的取值范围是（，8）
故选：D．
【点评】本题考查函数的单调性和对数函数的性质和应用，属中档题．
2．【分析】由条件f（x）f（x+2）＝﹣2推导出f（x）的周期，再根据周期把自变量转化到1＜x＜2范围上，代入f（x）＝x即可求值
【解答】解：∵f（x）f（x+2）＝﹣2
∴f（x+2）f（x+4）＝﹣2
∴f（x）＝f（x+4）
∴函数f（x）的周期为T＝4
∴f（5.5）＝f（1.5）
又∵1.5∈（1，2），且当1＜x＜2时，f（x）＝x
∴f（5.5）＝f（1.5）＝1.5
故选：A．
【点评】本题考查函数的周期性，要求能够熟练应用已知条件推导周期．属简单题
3．【分析】要判断函数的奇偶性，先求函数的定义域，看定义域是否关于原点对称，若定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再求f（﹣x），观察f（﹣x）与f（x）的关系，若f（﹣x）＝f（x），函数为偶函数，若f（﹣x）＝﹣f（x），则函数为奇函数，若f（﹣x）既不等于f（x），又不等于﹣f（x），为非奇非偶函数．
【解答】解：①∵函数f（x）的定义域为[﹣2，0）∪（0，2]，∴，∴f（﹣x）＝﹣f（x），为奇函数
②∵函数f（x）的定义域为[﹣1，1），定义域不关于原点对称，故此函数为非奇非偶函数
③∵函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）＝e﹣x﹣ex＝﹣（ex﹣e﹣x）＝﹣f（x），故此函数为奇函数
④∵函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）＝﹣2x＝﹣（2x）＝﹣f（x），故此函数为奇函数
∴奇函数有3个
故选：C．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，易错点是没有判断函数的定义域是否关于原点对称．
4．【分析】由已知中f（x）是偶函数，，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，由偶函数在对称区间上单调性相反，易得f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，又由若x∈[，1]时，不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，结合函数恒成立的条件，可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．
【解答】解：∵f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数
∴f（x）在（﹣∞，0）上为减函数
当x∈[，1]时
x﹣2∈[，﹣1]
故f（x﹣2）≥f（1）
若x∈[，1]时，不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，
则当x∈[，1]时，|ax+1|≤1恒成立
解得﹣2≤a≤0
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合，其中根据已知条件结合偶函数在对称区间上单调性相反，证得f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，进而给出x∈[，1]时f（x﹣2）的最小值，是解答本题的关键．
5．【分析】根据函数的奇偶性和周期性可求得f（4）＝﹣f（2），再根据f（2）的范围求出m的范围．
【解答】解：依题意f（x）＝f（x﹣6）
∴f（4）＝f（4﹣6）＝f（﹣2）
∵函数f（x）为奇函数
∴f（4）＝﹣f（2）
∵f（2）＞1
∴f（4）＝＜﹣1
∴﹣1＜m
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的周期性．属基础题．
二．填空题（共35小题）
6．【分析】若函数，在（﹣∞，+∞）上单调递增，则，解得实数m的取值范围．
【解答】解：∵函数在（﹣∞，+∞）上单调递增
∴，
解得：m∈（1，3]，
故答案为：（1，3]
【点评】本题考查的知识点是分段函数的单调性，难度不大，属于基础题．
7．【分析】由已知中函数f（）＝x，令x＝﹣可得答案；
【解答】解：∵函数f（）＝x，
令x＝﹣，则f（2）＝﹣，
故答案为：﹣
【点评】本题考查的知识点是函数求值，难度不大，属于基础题．
8．【分析】由函数的周期性与奇偶性把f（log210）转化为求f（）得答案．
【解答】解：∵f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈（0，1）时，f（x）＝2x﹣1，
∴f（log210）＝f（log210﹣4）＝f（log210﹣log216）
＝f（）＝f（）＝f（）
＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数的周期性与奇偶性的性质，考查了数学转化思想方法，是基础题．
9．【分析】利用函数的性质求解．
【解答】解：∵a⊗b＝，
∴＝4⊗4＝．
故答案为：．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用．
10．【分析】由已知得f（3）＝f（2）﹣f（1）＝f（1）﹣f（0）﹣f（1）＝﹣f（0）＝﹣log24＝﹣2．
【解答】解：∵f（x）＝，
∴f（3）＝f（2）﹣f（1）
＝f（1）﹣f（0）﹣f（1）
＝﹣f（0）＝﹣log24＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．
11．【分析】结果是一个数列求和，应从通项入手分析，由f（m+n）＝f（m）f（n），f（1）＝3，得f（n）＝3n，而＝2×3＝6，则结果可求．
【解答】解：因为f（m+n）＝f（m）f（n），f（1）＝3，所以f（2）＝f（1+1）＝f（1）f（1）＝f2（1）＝32，f（3）＝f（2+1）＝f（2）f（1）＝32×3＝33
…，以此类推得f（n）＝3n，而＝2×3＝6，所以原式+++…＝6n．
故答案为6n．
【点评】本题考查了抽象函数的条件下的归纳推理问题，一般是从通项入手加以分析．
12．【分析】由已知中f（﹣x）+f（x）＝0，可得函数f（x）为奇函数，进而根据函数f（x）（x∈R）是以4为周期的周期函数，且当x∈[0，2]时f（x）＝（x﹣1）2，可得f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）进而得到答案．
【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）＝0，
∴函数f（x）为奇函数，
又∵函数f（x）（x∈R）是以4为周期的周期函数，
且当x∈[0，2]时f（x）＝（x﹣1）2，
∴f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，
故答案为：0
【点评】本题主要考查利用函数的周期性，奇偶性求函数的值，属于基础题．
13．【分析】化为分段函数，根据函数的单调性，求的a的范围，利用了数形结合的思想．
【解答】解：∵f（x）＝x|x﹣a|＝，如图所示
当x≥a时，f（x）＝x2﹣ax，函数f（x）在[2，+∞）为增函数，
当x＜a时，f（x）＝﹣x2+ax，函数f（x）在（﹣∞，）为增函数，在（，a）为减函数
又函数f（x）＝x|x﹣a|在[2，+∞）上单调递增，
∴a≤2，
∴实数a的取值范围为（﹣∞，2]
故答案为：（﹣∞，2]

【点评】本题主要考查了根据函数的单调性求出参数的取值范围的问题，属于基础题．
14．【分析】先计算f（2）的值为5，然后再利用f（5）＝52+5a＝4a，求出a．
【解答】解：∵2＜4，∴f（2）＝22+1＝5．
∵5＞4，∴f（f（2））＝f（5）＝52+5a＝4a，
∴a＝﹣25．
故答案为：﹣25．
【点评】本题主要考查分段函数的求值问题，比较基础．
15．【分析】当x＜0时，﹣x＞0，由x＞0时，f（x）＝2x+x，求得f（﹣x），再由f（x）为奇函数即可得到f（x）．
【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，因为当x＞0时，f（x）＝2x+x，所以f（﹣x）＝2﹣x﹣x，
又f（x）为R上的奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣2﹣x+x＝x﹣．
故答案为：x﹣．
【点评】本题考查应用函数的奇偶性求函数解析式，属基础题，难度不大．
16．【分析】由题意可得a＞1，且2﹣a＞0，且a≥2﹣a+2，解不等式组，即可得到所求范围．
【解答】解：由分段函数f（x）＝为R上的增函数，
可得，即，
可得3≤a＜6，
则a的取值范围是[3，6）．
故答案为：[3，6）．
【点评】本题考查函数的单调性和应用：求参数的范围，注意运用对数函数和一次函数的单调性和定义法，考查运算能力属于中档题和易错题．
17．【分析】可设x1＝x2＝0，可得f（0）＝0，令x1+x2＝0，即可判断f（x）的奇偶性；再令令x1＜x2，即有x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）＞0，再由单调性的定义，即可判断f（x）的单调性；令x1＝x2＝2，可得f（4）＝2f（2），解得f（4）＝2，再由单调性的定义，解不等式即可得到所求解集．
【解答】解：∵f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2），
设x1＝x2＝0，可得f（0）＝2f（0），解得f（0）＝0，
令x1+x2＝0，可得f（0）＝f（x1）+f（x2），
即有f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）为奇函数；
令x1＜x2，即有x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）＞0，
即为f（x2）＝f（x1+x2﹣x1）＝f（x1）+f（x2﹣x1）＞f（x1），
即有f（x）在R上为增函数；
令x1＝x2＝2，可得f（4）＝2f（2），解得f（4）＝2，
∵不等式f（2x2﹣1）＜2＝f（4）
∴2x2﹣1＜4，
解得﹣＜x＜
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的证明和运用，注意运用定义法，考查二次不等式的解法，属于中档题．
18．【分析】由不等式|f（x）|＜2，求出f（x）的范围，然后根据f（x）的图象经过点（﹣3，2）和（1，﹣2），根据函数f（x）在R上单调递减，可得原不等式的解集．
【解答】解：由不等式|f（x）|＜2，
得到：﹣2＜f（x）＜2，
又因为f（x）的图象经过点（﹣3，2）和（1，﹣2），
所以f（﹣3）＝2，f（1）＝﹣2，
所以f（1）＜f（x）＜f（﹣3），
又f（x）在区间（﹣∞，+∞）上为减函数，
∴x∈（﹣3，1），
故答案为：（﹣3，1）
【点评】此题考查了绝对值不等式的解法，以及函数单调性的性质．要求学生熟练掌握函数单调性的性质
19．【分析】举例说明①②④错误，利用函数单调性定义说明③正确．
【解答】解：对于①，当f（x）＝x时，y＝f（x）是定义在R上的增函数，
但y＝[f（x）]2＝x2不是R上的增函数，∴①错误；
对于②，当f（x）＝x时，y＝f（x）是定义在R上的增函数，
但y＝不是定义域内的减函数，∴②错误；
对于③，y＝f（x）是定义在R上的增函数，即
任取x1，x2∈R，当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），
∴﹣f（x1）＞﹣f（x2），则y＝﹣f（x）是减函数，③正确；
对于④，当f（x）＝x时，y＝f（x）是定义在R上的增函数，
但y＝|f（x）|＝|x|在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，④错误．
综上，错误的命题是①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了抽象函数的应用以及命题真假的判断问题，是中档题．
20．【分析】先判断函数f（x）＝x2+2x（x≥0），是增函数．要求a的取值范围，先要列出关于a的不等式，这需要根据原条件，然后根据减函数的定义由函数值逆推出自变量的关系
【解答】解：∵函数f（x）＝x2+2x（x≥0）是增函数，
且f（0）＝0，f（x）是奇函数
∴f（x）是R上的增函数．
由f（3﹣a2）＞f（2a﹣a2），
于是3﹣a2＞2a﹣a2，
因此，解得a＜．
故答案为：a＜．
【点评】本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力
21．【分析】根据题意，将1+a+a2变形为（a+）2+，分析可得1+a+a2≥，结合函数的奇偶性与单调性分析可得f（1+a+a2）≤f（﹣），即可得答案．
【解答】解：根据题意，1+a+a2＝（+a+a2）+＝（a+）2+≥，
则又由f（x）在[0，+∞）上递减，
则有f（1+a+a2）≤f（），
又由f（x）是R上偶函数，
则有f（1+a+a2）≤f（﹣），
故答案为：f（1+a+a2）≤f（﹣）．
【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意分析1+a+a2与的大小．
22．【分析】利用函数f（x）的奇偶性、单调性可判断函数在（0，+∞）上的单调性，根据2a2+a+1，2a2﹣2a+3的范围可知其大小关系，解出即可．
【解答】解：根据题意，2a2+a+1＝2（a2+a+）+＝2（a+）2+≥，
而2a2﹣2a+3＝2（a2﹣a+）+＝2（a﹣）2+≥；
由f（x）在R上是偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，可知f（x）在（0，+∞）上递减．
若f（2a2+a+1）＜f（2a2﹣2a+3），则2a2+a+1＞2a2﹣2a+3，即3a﹣2＞0，解可得a＞，则a的取值范围（，+∞）；
故答案为：（，+∞）．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析2a2+a+1与2a2﹣2a+3的符号．
23．【分析】关于x的不等式x2+x﹣（）n≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，等价于x2+x≥（）nmax对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立．
【解答】解：关于x的不等式x2+x﹣（）n≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，
等价于x2+x≥（）nmax对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，
∴x2+x≥对 x∈（﹣∞，λ]恒成立．
设y＝x2+x，它的图象是开口向上，对称轴为x＝﹣的抛物线，
∴当x≤﹣时，左边是单调减的，所以要使不等式恒成立，则λ2+λ≥，
解得λ≤﹣1，或λ≥（舍）
当x＞﹣，左边的最小值就是在x＝﹣时取到，
达到最小值时，x2+x，＝﹣，不满足不等式．
因此λ的范围就是 λ≤﹣1．
故答案为：（﹣∞，﹣1]．
【点评】本题考查函数恒成立问题的应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
24．【分析】根据函数的性质结合f（x）＝x的单调性进行求解．
【解答】解：设t＝f（x），则t∈[1，5]，
∵函数h（t）＝t+在[1，+∞）上为增函数，
∴函数h（t）＝t+在[1，5]上为增函数，
则函数的最大值为h（5）＝5+＝，
最小值为h（1）＝1+1＝2，
故函数的值域为[2，]，
故答案为：[2，]
【点评】本题主要考查函数值域的求解，利用对勾函数的单调性的性质是解决本题的关键．
25．【分析】根据条件推导函数取值规律单调递减区间为f（x）+f（2014﹣x）＝f（2014）＝4，根据规律性进行求和．
【解答】解：∵f（1007）＝2，
∴f（1007）+f（1007）＝4
∵f（m）+f（n）＝f（m+n）
∴f（1007）+f（1007）＝f（2014）＝4
即f（1）+f（2013）＝f（2014）＝4
f（3）+f（2011）＝f（2014）＝4
…
即f（x）+f（2014﹣x）＝f（2014）＝4，
设f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2013）＝a，
则f（2013）+f（2011）+…+f（1）＝a，
则2a＝1007[f（1）+f（2013）]＝1007×4
即a＝2014．
故答案为：2014．
【点评】本题主要考查函数求值问题，根据抽象函数的条件得到f（x）+f（2014﹣x）＝f（2014）＝4，是解决本题的关键．
26．【分析】先由图象直线对称得f（1﹣x）＝f（x），再与奇函数条件结合起来，有f（x+2）＝f（x），得f（x）是以2为周期的周期函数再求解．
【解答】解；∵图象直线对称，
∴f（1﹣x）＝f（x）
∵f（x）是奇函数
∴f（﹣x）＝﹣f（x）
∴f（1﹣x）＝﹣f（x﹣1）
∴f（x）＝﹣f（x﹣1）
∴f（x+1）＝﹣f（x）
∴f（x+1）＝f（x﹣1）
∴f（x+2）＝f（x）
∴f（x）的周期为2，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）＝0，
∵y＝f（x）的图象关于直线对称，
∴f（1）＝f（0）＝0
∵f（x）的周期为2，
∴f（2）＝f（0）＝0
∴f（3）＝f（1）＝0
…
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2009）＝0
故答案为：0
【点评】本题考查函数的奇偶性对称性及周期性的相互转化，属于中档题．
27．【分析】先根据条件求出令x＝36，y＝6，得f（36）＝2，再根据f（x+3）＜f（）+2转为为f（x+3）﹣f（）＝f（x（x+3））＜2＝f（36），根据函数的单调性解不等式即可得
【解答】解：∵f（x）﹣f（y）＝f（）（x＞0，y＞0），
令x＝36，y＝6，得
f（36）﹣f（6）＝f（6）
∴f（36）＝2f（6）＝2，
∵f（x+3）＜f（）+2，
∴f（x+3）﹣f（）＝f（x（x+3））＜2＝f（36），
∵f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数，

∴0＜x＜
故不等式f（x+3）＜f（）+2的解集是（0，），
故答案为：（0，），
【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、抽象函数及其应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．
28．【分析】由函数的性质可得函数的图象，化不等式为x与f（x）同号，数形结合可得答案．
【解答】解：依题意：函数f（x）是周期为4的偶函数，
当x∈[0，2]时，f（x）＝﹣x+1，
由此可作出函数f（x）在x∈（﹣3，1）的图象：
不等式x•f（x）＞0在x∈（﹣3，1）上的解集
即图象上x与f（x）同号的区域，
由图可知当x∈（﹣3，﹣1）∪（0，1）时符合题意，
故答案为：（﹣3，﹣1）∪（0，1）．

【点评】本题考查函数的周期性和单调性，数形结合是解决问题的关键，属中档题．
29．【分析】直接利用奇函数的性质，求出a、b的值，即可求解a+b．
【解答】解：f（x）＝ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣6+a，a]的奇函数，
所以﹣6+a＝﹣a，解得a＝3，
又0∈[﹣3，3]，∴f（0）＝0，
则1﹣b＝0，解得b＝1，
则a+b＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查函数的奇偶性性质的应用，基本知识的考查．
30．【分析】当a＞1时，f（x）＞1等价于8﹣ax＞a在[1，2]上恒成立，即a＜（）min＝；当0＜a＜1时，f（x）＞1等价于8﹣ax＜a在[1，2]上恒成立，即a＞（）max＝4．由此能求出实数a的取值范围．
【解答】解：当a＞1时，f（x）＞1等价于8﹣ax＞a在[1，2]上恒成立，
即a＜（）min＝，
∴1＜a＜；
当0＜a＜1时，f（x）＞1等价于8﹣ax＜a在[1，2]上恒成立，
即a＞（）max＝4（舍去），
综上，a的取值范围是（1，）．
故答案为：（1，）．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质的合理运用．
31．【分析】（1）函数f（x）x∈（1，+∞）是单调递减函数，利用定义法进行证明．
（2）由已知m＜﹣2x＝恒成立，设h（x）＝，则m＜[h（x）]min，由此利用导数性质能求出结果．
【解答】解：（1）函数f（x）x∈（1，+∞）是单调递减函数．
证明如下：任取1＜x1＜x2，
∵f（x）＝，
∴f（x1）﹣f（x2）＝﹣
＝，
∵1＜x1＜x2
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，
∴函数f（x）x∈（1，+∞）是单调递减函数．
（2）∵当x∈[2，4]时，不等式：f（x）＞2x+m恒成立，
∴m＜﹣2x＝恒成立，
设h（x）＝，则m＜[h（x）]min，
∴h′（x）＝＝，
∵x∈[2，4]，∴h′（x）＜0，
∴h（x）在[2，4]上是减函数，
∴h（x）的值域为[h（4），h（2）]，即[﹣，0]，
∴m＜﹣．
【点评】本题考查函数的单调性的判断与证明，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
32．【分析】（1）先利用特殊值法，求证f（1）＝1，
（2）利用定义法进行证明；
（3）先求出f（4）＝2，再根据函数的单单调性，得出不等式组解得即可．
【解答】解：（1）令x1＝x2＝1，
∴f（1）＝f（1）+f（1）﹣1
∴f（1）＝1，
（2）：设令0＜x1＜x2，
∵＞1，当x＞1时，f（x）＞1
∴f（）＞1，
∴f（•x1）＝f（x2）＝f（）+f（x1）﹣1＞f（x1），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）令x1＝x2＝4，
∴f（16）＝f（4）+f（4）﹣1＝3
∴f（4）＝2，
∴f（3x+1）≤2＝f（4），
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数；
∴，
解得＜x≤1，
故不等式f（3x+1）≤2的解集为（，1]．
【点评】本题考查抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域．
33．【分析】根据函数的奇函数由f（﹣x）＝﹣f（x），求出a的值，然后再求x＞0时的值域，再根据函数的奇函数，求x＜0的值域即可．
【解答】解：函数f（x）＝是定义域上的奇函数，
∴f（﹣x）＝＝﹣f（x）＝﹣，
解得：a＝3，
∴f（x）＝＝，
当x＞0时，ex＞1，所以，
所以＜﹣；
由于f（x）是奇函数，故x＜0时，f（x）＞，
所以函数的值域是：．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性和奇偶性的应用，属于中档题．
34．【分析】函数y＝f（x+）奇函数，可得，即可得出f（1﹣x）+f（x）＝0．于是g（1﹣x）+g（x）＝2．进而得到g（）+g（）+…+g（）＝2×1006+．
【解答】解：∵函数y＝f（x+）奇函数，
∴，
∴f（1﹣x）+f（x）＝0．
∴g（1﹣x）+g（x）＝f（1﹣x）+f（x）+2＝2．
∴g（）+g（）+…+g（）＝2×1006+＝2013．
故答案为：0；2013．
【点评】本题考查了函数的奇偶性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
35．【分析】利用分式函数的性质进行分解，结合函数的对称性即可得到结论．
【解答】解：f（x）＝＝＝2014﹣，
∵f（﹣x）＝2014﹣＝2014﹣，
则f（﹣x）+f（x）＝2014﹣+2014﹣＝4028﹣1＝4027，
即函数f（x）关于点（0，）对称，
则最大值为M，最小值为N也关于点（0，）对称，
则＝，即M+N＝4027，
故答案为：4027
【点评】本题主要考查函数最值的判断，利用分式函数进行分解，判断函数的对称性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
36．【分析】根据函数是奇函数和单调性，分别求出a和k的值即可得到函数的图象．
【解答】解：∵f（x）＝2a﹣x﹣2kax（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数，
∴f（0）＝0，即2﹣2k＝0，
解得k＝1．
此时f（x）＝2a﹣x﹣2ax，
∵函数f（x）＝2a﹣x﹣2ax（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）是减函数，
∴a＞1，
即函数g（x）＝loga（x﹣1）的图象为，
故答案为：
【点评】本题主要考查指数函数的奇偶性和单调性，要求熟练掌握指数函数和对数函数的图象和性质．
37．【分析】令t＝|2x﹣1|，则f（x）＝g（t）＝，本题即求函数t的减区间，结合函数t的图象可得函数t的减区间．
【解答】解：令t＝|2x﹣1|，
则f（x）＝g（t）＝，本题即求函数t的减区间．
结合函数t的图象可得函数t的减区间为（﹣∞，），
故答案为 （﹣∞，）．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．
38．【分析】根据函数的周期性作出函数f（x）和y＝log3|x|的图象，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：∵函数y＝f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x2，
∴f（3）＝f（1）＝1，
当x＝3时，函数y＝log3|x|＝y＝log33＝1，
作出函数f（x）和y＝log3|x|的图象如图：
由图象可知两个函数的图象交点为4个，
故答案为：4．

【点评】本题主要考查函数交点个数的判断，利用函数的周期性作出函数图象，利用数形结合是解决本题的关键．
39．【分析】由解析式和单调性得，分别求出函数在各个范围的函数值的范围，最后得a＞0，且2a﹣1≤a，求出a的范围．
【解答】解：当x≥0时，f（x）＝x+a在[0，+∞）上是递增的，∴f（x）≥f（0）＝a；
当x＜0时，由f（x）＝ax+2a﹣1在（﹣∞，0）上也是递增的知，a＞0，且f（x）＜2a﹣1．
又∵f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，∴2a﹣1≤a，解得a≤1．
综上，0＜a≤1．
故答案为：0＜a≤1．
【点评】本题分段函数的单调性，以及函数单调性的定义的应用，属于中档题．
40．【分析】由已知可得f（0）＝f（4），解得a，再利用二次函数的单调性与当x∈[0，1]时，f（x）＜0恒成立，即可得出．
【解答】解：∵对任意实数x∈R都有f（x）＝f（x+4），当x∈[0，4]时，函数f（x）＝ax2+x+b2﹣b﹣．
∴f（0）＝f（4），解得a＝﹣．
代入有f（x）＝．
∵当x∈[0，1]时，f（x）＜0恒成立，
∴f（1）＜0，化为＜0，即b2﹣b﹣2＜0，解得﹣1＜b＜2．
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】本题考查了二次函数的单调性、函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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