2021学年22.3 实际问题与二次函数练习题

22.3 实际问题与二次函数自学自测

一、选择题

1．把160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数关系式为（　　）

A．y＝320（x﹣1） B．y＝320（1﹣x） 

C．y＝160（1﹣x2） D．y＝160（1﹣x）2

2．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　）

A．4米 B．5米 

C．2米 D．7米

3. 用长为12 m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．如图，围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，∠C＝∠D＝∠E.设CD＝DE＝x m，五边形ABCDE的面积为S m2，则S的最大值为(　　)

A．12     B．12    

C．24     D．没有最大值

4．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式为（　　）

A．y＝﹣x2+26x（2≤x＜52） 

B．y＝﹣x2+50x（2≤x＜52） 

C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52） 

D．y＝﹣x2+27x﹣52（2≤x＜52）

5．某种圆形合金板材的成本y（元）与它的面积（cm2）成正比，设半径为xcm，当x＝3时，y＝18，那么当半径为6cm时，成本为（　　）

A．18元 B．36元 

C．54元 D．72元

6．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）

A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110 

C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110

7. 中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图①)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线形钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连．最高的钢拱如图②所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB＝90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系．则此抛物线形钢拱的函数解析式为(　　)

A．y＝x2       B．y＝－x2

C．y＝x2       D．y＝－x2

8．如图，有一块圆形的花圃，中间有一块正方形水池．测量出除水池外圆内可种植的面积恰好72m2，从水池边到圆周，每边相距3m．设正方形的边长是xm，则列出的方程

（　　）

A．（x+3）2﹣x2＝72 B． 

C． D．

9. 如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数解析式是y＝－x2＋x＋，则该运动员此次掷铅球的成绩是(　　)

A．6 m    B．12 m    C．8 m    D．10 m

10．已知二次函数y＝ax2+4x+a﹣1的最小值为2，则a的值为（　　）

A．3 B．﹣1 

C．4 D．4或﹣1

11. 在羽毛球比赛中，羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－x2＋bx＋c的一部分(如图)，其中出球点B离地面点O的距离是1 m，球落地点A到点O的距离是4 m，那么这条抛物线的解析式是(　　)

A．y＝－x2＋x＋1    B．y＝－x2＋x－1

C．y＝－x2－x＋1      D．y＝－x2－x－1

二、填空题

12．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，水流的高度h（单位：m）与水流喷出时间t（单位：s）之间的关系式为h＝30t﹣5t2，那么水流从喷出至回落到水池所需要的时间是　   　s．

13．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为　   　元．

14．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在边AD、BC上，AE＝CF＝3，点G、H在正方形ABCD的内部或边上，若四边形EGFH是菱形，则菱形EGFH的最大面积为　   　．

15. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为________m2.

16. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝________．

三、解答题

17．某大型商场出售一种时令鞋，每双进价100元，售价300元，则每月能售出400双．经市场调查发现：每降价10元，则每天可多售出50双．设每双降价x元，每天总获利y元．

（1）如果降价40元，每天总获利多少元呢？

（2）每双售价为多少元时，每天的总获利最大？最大获利是多少？

18．龙眼是同安的特产，远销国内外．现有一个龙眼销售点在经销时发现：如果每箱龙眼盈利10元，每天可售出50箱．若每箱龙眼涨价1元，日销售量将减少2箱．若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱龙眼应涨价多少元才能获利最高？

19．某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：

（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；

（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？

（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？

20. 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2.

(1)求y与x之间的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；

(2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

答案

一、选择题

1． D    2． B    3.  A　  4． A    5． D    6． D

7.  B　   8． D    9.  C    10.  C    11.  A　

二、填空题

12． 6     13． 70    14． 34    15.  75　   16.  1.6 秒　

三、解答题

17． 解：（1）根据题意知：每降价1元，则每天可多售出5双，

（400+5×40）×（300﹣40﹣100）

＝600×160

＝96000（元）

答：如果降价40元，每天总获利96000元．

（2）根据题意，得

y＝（400+5x）（300﹣x﹣100）

＝﹣5x2+600x+80000，

＝﹣5（x﹣60）2+98000

∵a＝﹣5，开口向下，y有最大值，

∴当x＝60时，即当售价为300﹣60＝240元时，

y有最大值＝98000元．

 答：每双售价为240元时，每天的总获利最大，最大获利是98000元．

18． 解：设每箱龙眼应涨价x元，总利润为y，根据题意可得：

y＝（10+x）（50﹣2x）

＝﹣2x2+30x+500

＝﹣2（x﹣）2+612.5，

答：每箱龙眼应涨价元才能获利最高．

19． 解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：

，

解得：．

∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+180．

（2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+180）＝600，

整理得：x2﹣140x+4800＝0，

解得x1＝60，x2＝80．

答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．

（3）设当天的销售利润为w元，则：

w＝（x﹣50）（﹣2x+180）

＝﹣2（x﹣70）2+800，

∵﹣2＜0，

∴当x＝70时，w最大值＝800．

答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．

20. 解：(1)∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD的面积是矩形BCFE的面积的2倍，∴AE＝2BE.设BE＝a，则AE＝2a，∴8a＋2x＝80，∴a＝－x＋10，3a＝－x＋30，∴y＝(－x＋30)x＝－x2＋30x.∵a＝－x＋10＞0，∴x＜40，则y＝－x2＋30x(0＜x＜40)．

(2)∵y＝－x2＋30x＝－(x－20)2＋300(0＜x＜40)，且二次项系数为－＜0，∴当x＝20时，y有最大值，最大值是300.