初中数学人教版九年级下册26.1 反比例函数综合与测试单元测试同步达标检测题

26反比例函数单元测试卷人教版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 若点，在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是

A.  B.
C.  D. 或

2. 若点、、在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是

A.  B.  C.  D.

3. 对于反比例函数，下列说法正确的是

A. 点在它的图象上 B. 它的图象经过原点
C. 它的图象在第一、三象限 D. 当时y随x的增大而增大

4. 为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润万元与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是

A. 4月份的利润为50万元
B. 治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C. 治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
D. 9月份该厂利润达到200万元

5. 如图，函数的图象所在坐标系的原点是

A. 点M
B. 点N
C. 点P
D. 点Q

6. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为

A. 4
B. 6
C. 8
D. 12

7. 点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是

A.  B.  C.  D.

8. 矩形面积是，设它的一边长为，则矩形的另一边长与x的函数关系是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，，，若反比例函数的图象经过A、D两点，则k的值是

A.  B. 4 C.  D. 6

10. 已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是

A.  B.  C.  D.

11. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，则不等式的解集为

A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
 

12. 如图，直线与双曲线交于A、B两点，则当线段AB的长度最小时，a的值

A. 0
B.
C.
D. 2

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 已知反比例函数的图象在第二、第四象限内，则m的值是________．
14. 在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，，则的值为______．
15. 如图，矩形ABCD的顶点A，C在反比例函数的图象上，若点A的坐标为，，轴，则点C的坐标为______．
    
     

16. 已知的三个顶点为，，，将向右平移个单位后，某一边的中点恰好落在反比例函数的图象上，则m的值为______．
    
     

17. 在平面直角坐标系xOy中，点在双曲线上，点A关于x轴的对称点B在双曲线上，则的值为______．

三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）

18. 一个圆锥的体积是，求底面积与高之间的函数关系式及自变量的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图所示，小华设计了一个研究杠杆平衡条件的实验，在一根长为1000cm的匀质木杆的中点左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧与点O的距离观察弹簧的示数的变化情况，实验数据记录如下：

观察数据，求出与之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；
当弹簧秤的示数是24N时，弹簧与点O的距离是多少？随着弹簧秤与点O的距离不断减小，弹簧秤上的示数将发生怎样的变化？






 

20. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C：

求反比例函数和一次函数的关系式；

求的面积；

求不等式的解集直接写出答案．






 

21. 在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小凡从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小刚在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y．
    利用树状图或列表法求出由x，y确定的点在函数的图象上的概率；
    小凡和小刚约定做一个游戏，其规则为：若x，y满足则小凡胜，若x，y满足则小刚胜，这个游戏公平吗？公平请说明理由；若不公平，请写出公平的游戏规则．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共1小题，共8.0分）

22. 如图，已知点D在反比例函数的图象上，过点D作轴，垂足为，直线经过点，与y轴交于点C，且，OC：：5．
    求反比例函数和一次函数的表达式；
    直接写出关于x的不等式的解集．
     

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握当时，在图象的每一支上，y随x的增大而增大．
根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，当点、在图象的同一支上时，当点、在图象的两支上时，分别列不等式求解即可．
【解答】
解：，
在图象的每一支上，y随x的增大而增大，
当点、在图象的同一支上，
，
，
此不等式无解；
当点、在图象的两支上，
，
，，
解得：，
故选：B．  

2.【答案】B
 

【解析】解：，
时，，y随着x的增大而增大，
时，，y随着x的增大而增大，
，
，
，
，
即，
故选：B．
根据反比例函数的性质和反比例函数增减性，结合函数的纵坐标，即可得到答案．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的性质和反比例函数增减性是解题的关键．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：A、把点代入反比例函数得不成立，故选项错误；
B、，它的图象不经过原点，故选项错误；
C、，它的图象在第一、三象限，故选项正确；
D、当时，y随x的增大而减小，故选项错误．
故选：C．
根据反比例函数的性质，，函数位于一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小．
本题考查了反比例函数的性质：
当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．
当时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：A、设反比例函数的解析式为，
把代入得，，
反比例函数的解析式为：，
当时，，
月份的利润为50万元，故此选项正确，不合题意；
B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选项正确，不合题意；
C、当时，则，
解得：，
设一次函数解析式为：，
则，
解得：，
故一次函数解析式为：，
当时，则，
则只有3月，4月，5月，共3个月的利润低于100万元，故此选项不正确，符合题意．
D、一次函数解析式为：，
故时，，
解得：，
则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，故此选项正确，不合题意．
故选：C．
直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．
此题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
 

5.【答案】A
 

【解析】解：由已知可知函数关于y轴对称，
所以点M是原点；
故选：A．
由函数解析式可知函数关于y轴对称，即可求解；
本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关键．
 

6.【答案】C
 

【解析】解：过A点作轴，垂足为E，

点A在双曲线上，
四边形AEOD的面积为4，
点B在双曲线线上，且轴，
四边形BEOC的面积为12，
矩形ABCD的面积为．
故选：C．
根据双曲线的图象上的点与坐标轴所围成的矩形的面积即可判断．
本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
 

7.【答案】A
 

【解析】解：将点代入，
，
，
点在函数图象上，
故选：A．
将点代入，求出函数解析式即可解题；
本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
 

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，重点是找出题中的等量关系．
根据等量关系“矩形的另一边长矩形面积一边长”列出关系式即可．
【解答】
解：由于矩形的另一边长矩形面积一边长，
矩形的另一边长与x的函数关系是．
故选：C．  

9.【答案】D
 

【解析】解：作轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，
四边形OABC是平行四边形，
，，
，
轴，
，
，
与x轴平行，BD与y轴平行，
，，
，
≌，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
的纵坐标为，
设，则，
反比例函数的图象经过A、D两点，
，
解得，
．
故选：D．
根据三角形面积公式求得，易证得≌，得出，根据题意得出是等腰直角三角形，得出，设，则，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出关于m的方程，解方程求得，进一步求得．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积等，表示出A、D的坐标是解题的关键．
 

10.【答案】C
 

【解析】解：直线与双曲线的一个交点坐标为，
，，
解得，，，
，，
，得或，
它们的另一个交点坐标是，
故选：C．
根据直线与双曲线的一个交点坐标为，可以求得反比例函数与一次函数的解析式，从而可以求得它们的另一个交点的坐标，从而可以解答本题．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数与一次函数的性质解答．
 

11.【答案】C
 

【解析】解：解方程组得或，则，，
当或时，，
所以不等式的解集为或．
故选：C．
先解方程组得，，然后利用函数图象和绝对值的意义可判断或时，．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
 

12.【答案】C
 

【解析】解：与直线平行，
点A与点B关于直线对称，
点A和点B到直线的距离最小时，线段AB最小，此时点A和点B为直线与双曲线的交点，
，
．
故选：C．
根据反比例函数的图象性质和直线的性质得到点A与点B关于直线对称，当点A和点B为直线与双曲线的交点时，线段AB最短，易得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是反比例函数的定义和性质有关知识，由反比例函数的定义可知，由反比例函数图象在第二、四象限可知，然后求出m即可．
【解答】
解：是反比例函数，
．
解得：．
函数图象在第二、四象限，
，解得：．
．
故答案为．  

14.【答案】0
 

【解析】解：直线与双曲线交于A，B两点，
联立方程组得：，
解得：，，
，
故答案为：0．
联立方程组，可求，的值，即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握函数图象上点的坐标满足图象的解析式是本题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：点A的坐标为，，
，
四边形ABCD是矩形，
，
轴，
轴，
点的纵坐标为2，
设，
矩形ABCD的顶点A，C在反比例函数的图象上，
，
，
，
故答案为．
根据矩形的性质和A点的坐标，即可得出C的纵坐标为2，设，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，解得，从而得出C的坐标为．
本题考查了据反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得C的纵坐标为2是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：的三个顶点为，，，
边的中点，BC边的中点，AC边的中点，
将向右平移个单位后，
边的中点平移后的坐标为，AC边的中点平移后的坐标为．
某一边的中点恰好落在反比例函数的图象上，
或．
或舍去．
故答案为．
求得三角形三边中点的坐标，然后根据平移规律可得AB边的中点，BC边的中点，AC边的中点，然后分两种情况进行讨论：一是AB边的中点在反比例函数的图象上，二是AC边的中点在反比例函数的图象上，进而算出m的值．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．
 

17.【答案】0
 

【解析】解：点在双曲线上，
；
又点A与点B关于x轴对称，

点B在双曲线上，
；
；
故答案为：0．
由点在双曲线上，可得，由点A与点B关于x轴对称，可得到点B的坐标，进而表示出，然后得出答案．
本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质．
 

18.【答案】解：一个圆锥的体积是，底面积为，高为，
，
，
表示圆锥的高，
．
 

【解析】圆锥的体积底面积高，把相关数值代入整理可求出底面积与高之间的函数关系式，进而得到自变量的取值范围．
本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，掌握圆锥的体积公式是解题的关键．
 

19.【答案】解：设y与x之间关系式为，
把，代入上式得，
，
经检验当，时上式也成立，
．

当时，

当弹簧上的示数为24时，弹簧与点O的跨度为，随着弹簧秤与O的距离不断减小，弹簧示数不断增大．
 

【解析】设y与x之间关系式为，把，代入，求出k的值，即可求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围即可．
当弹簧秤的示数是24N时，代入与之间的函数关系式，求出弹簧与点O的距离是多少；然后判断出：随着弹簧秤与点O的距离不断减小，弹簧秤上的示数将不断增大．
此题主要考查了反比例函数的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
 

20.【答案】解：在反比例函数上，
，

又在反比例函数的图象上，
，
又，是一次函数的上的点，联立方程组解得，
，，
，；
过点A作，
一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点为A，B，联立方程组解得，
，，，
，，
的面积为：，

的面积为：，
的面积的面积的面积

由图象知：当和时函数的图象在一次函数图象的上方，

不等式的解集为：或．

【解析】此题考查一次函数和反比例函数的性质及图象，考查用待定系数法求函数的解析式，还间接考查函数的增减性，根据图像解不等式．
由B点在反比例函数上，可求出m，再由A点在函数图象上，由待定系数法求出函数解析式；
由上问求出的函数解析式联立方程求出A，B，C三点的坐标，利用的面积的面积的面积求得答案；
由图象观察函数的图象在一次函数图象的上方，对应的x的范围．
 

21.【答案】
树状图如上图所示，由x，y确定的点有：
其中在的图象上有
所以
使得的有

又使得的有使得的有：


所以公平所以游戏是公平的．
 

【解析】因为摸到每个球的概率一样，第一次有4种可能性，第二次有3种可能，因此摸两次共有12种可能．求出点落在反比例图象上结果数，即可求出相应的概率；
统计出使和使的可能的结果数，求出相应事件的概率，即可做出正确判断．
本题考查了掷骰子的概率问题．要注意掷骰子时出现每个数的概率是相等的．要使掷出的数在图象区域，则要满足．
 

22.【答案】解：，OC：：5，点，点，
，，，
又点C在y轴负半轴，点D在第二象限，
点C的坐标为，点D的坐标为．
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为．
将、代入，
，解得：，
一次函数的表达式为．
将代入，整理得：，
，
一次函数图象与反比例函数图象无交点．
观察图形，可知：当时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
不等式的解集为．
 

【解析】由OC、OA、BD之间的关系结合点A、B的坐标可得出点C、D的坐标，由点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出a值，进而可得出反比例函数的表达式，再由点A、C的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数的表达式；
将一次函数表达式代入反比例函数表达式中，利用根的判别式可得出两函数图象无交点，再观察图形，利用两函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征以及根的判别式，解题的关键是：由OC、OA、BD之间的关系结合点A、B的坐标找出点C、D的坐标；根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集．