数学必修 第二册第五章 统计与概率5.3 概率5.3.3 古典概型导学案
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5.3.3 古典概型学 习 任 务核 心 素 养(教师独具)1.理解古典概型及其概率计算公式,会判断古典概型.(难点)2.会用列举法求古典概型的概率.(重点)3.应用古典概型的概率计算公式求复杂事件的概率.(难点)1.古典概型及其特征的学习,体现了数学抽象的核心素养.2.通过古典概型概率的求解,培养数学运算的核心素养.我们一次向上抛掷红、黄、蓝三颗骰子,可能出现多少种不同的结果呢?问题:(1)上述试验中所有不同的样本点有何特点?(2)掷一枚不均匀的骰子,求出现偶数点的概率,这个概率模型是古典概型吗?[提示] (1)①任何两个样本点之间是互斥的,②所有样本点出现的可能性相等.(2)不是,因为骰子不均匀,每个样本点出现的可能性不相等.知识点1 古典概型的概念及其特征1.古典概型的概念一般地,如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性),而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性),则称这样的随机试验为古典概率模型,简称为古典概型.2.古典概型的特征(1)有限性:在一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即只有有限个不同的基本事件.(2)等可能性:每个基本事件发生的可能性是均等的.1.下列有关古典概型的说法不正确的是( )A.试验中样本点只有有限个B.每个样本点发生的可能性相同C.每个事件发生的可能性相同D.样本点的总数为n,随机事件A包含m个样本点,则P(A)=C [根据古典概型的定义知ABD正确,而C中一个事件可能包含多个样本点,因此说每个事件发生的可能性相同,不正确.]2.下列随机事件的数学模型属于古典概型的是( )A.在适宜的条件下,种一粒种子,它可能发芽,也可能不发芽B.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个点C.某射击手射击一次,可能命中0环、1环、2环、…、10环D.四位同学用抽签的方法选一人去参加一个座谈会D [利用古典概型的两个条件判断.在A中,事件“发芽”与事件“不发芽”发生的概率不一定相等,与古典概型的第二个条件矛盾;在B中,横坐标和纵坐标都为整数的所有点为无限个,从而有无限个结果,这与古典概型的第一个条件矛盾;在C中,命中0环、1环、2环、…、10环的概率都不一样.]知识点2 古典概型中事件的概率及性质1.古典概型中事件的概率在样本空间含有n个样本点的古典概型中,(1)每个基本事件发生的概率均为.(2)如果随机事件C包含m个样本点,由互斥事件的概率加法公式可得P(C)=.从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗?[提示] 不是.因为有无数个基本事件.2.古典概型中概率的性质假设古典概型对应的样本空间含n个样本点,事件A包含m个样本点,则:(1)由0≤m≤n与P(A)=可知0≤P(A)≤1.(2)因为中所含的样本点个数为n-m,所以P()==1-=1-P(A),即P(A)+P()=1.(3)若事件B包含有k个样本点,而且A与B互斥,则容易知道A+B包含m+k个样本点,从而P(A+B)==+=P(A)+P(B).3.北京冬奥会将要在某高校的8名懂外文的志愿者中选1名,其中有3人懂日文,则选到懂日文的志愿者的概率为( )A. B. C. D.A [8名懂外文的志愿者中随机选1名其样本空间包含8个样本点,“选到懂日文的志愿者”包含3个样本点,因此所求概率为.]4.从甲、乙、丙三人中任选两人参加某项活动,其中“甲被选中”这一事件所含的样本点有________个.2 [(甲,乙),(甲,丙),共2个.] 类型1 样本点的计数【例1】 (对接教材P105例3)袋中有红、白、黄、黑四种颜色且大小相同的四个小球.(1)从中任取一球;(2)从中任取两球;(3)先后各取一球.写出上面试验的样本空间,并指出样本点的个数.[解] (1)这个试验的样本空间为{(红),(白),(黄),(黑)},样本点的个数是4.(2)一次取两球,如记(红,白)代表一次取出红球、白球两个球,则本试验的样本空间为{(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑)},样本点的个数是6.(3)先后取两球,如记(红,白)代表先取一红球,后取一白球.因此本试验的样本空间为{(红,白),(白,红),(红,黄),(黄,红),(红,黑),(黑,红),(白,黄),(黄,白),(白,黑),(黑,白),(黄,黑),(黑,黄)},样本点的个数是12.列样本点的三种方法及注意点是什么?[提示] (1)列举法:一一列出所有样本点的结果,一般适用于较简单的问题.(2)列表法:一般适用于较简单的试验方法.(3)树状图法:一般适用于较复杂问题中样本点的个数的探求.提醒:取两个球时,有无顺序;依次取两球时,还要关注取球是否放回.1.(1)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,满足b>a的样本点有( )A.3个 B.9个C.10个 D.15个(2)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则基本事件的个数为________.(1)A (2)25 [(1)把所取的数a,b写成数对(a,b)的形式,则样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),其中满足b>a的有(1,2),(1,3),(2,3)共3个.(2)从5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张的情况如图:基本事件总数为25.] 类型2 古典概型的判定【例2】 下列概率模型是古典概型吗?为什么?(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数,求取到实数2的概率;(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币,求正面朝上的概率;(3)从1,2,3,…,100这100个整数中任意取出一个整数,求取得偶数的概率.[思路探究] 根据直观印象判断两个试验的基本事件数是否有限,每个基本事件是否等可能发生即可.[解] (1)不是古典概型,因为区间[1,10]中有无限多个实数,取出的那个实数有无限多种结果,与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾.(2)不是古典概型,因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等,与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相等”矛盾.(3)是古典概型,因为在试验中所有可能出现的结果是有限的,而且每个整数被抽到的可能性相等.判断一个事件是否是古典概型,关键看该事件是否具备古典概型的两大特征:1有限性:在一次试验中,所有可能出现的基本事件只有有限个.2等可能性:每个基本事件出现的可能性相等.2.(1)在数轴上0~3之间任取一点,求此点的坐标小于1的概率.此试验是否为古典概型?为什么?(2)从1,2,3,4四个数中任意取出两个数,求所取两数之一是2的概率,此试验是古典概型吗?试说明理由.[解] (1)在数轴上0~3之间任取一点,此点可以在0~3之间的任一位置,且在每个位置上的可能性是相同的,具备等可能性.但试验结果有无限多个,不满足古典概型试验结果的有限性.因此不属于古典概型.(2)此试验是古典概型,因为此试验的所有样本点共有6个:即Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},且每个样本点的出现是等可能的,因此属于古典概型. 类型3 古典概型概率的求法1.掷一枚骰子共有多少种不同的结果?[提示] 共有6种不同的结果.2.掷一枚骰子,落地时向上的点数为偶数,包含几种结果?[提示] 2,4,6共三种结果.3.掷一枚均匀的骰子,落地时向上的点数为偶数的概率怎样求?[提示] 记事件A为落地时向上的点数为偶数,则P(A)=.【例3】 现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取2道题解答.试求:(1)所取的2道题都是甲类题的概率;(2)所取的2道题不是同一类题的概率.[思路探究] 用列举法列出试验的所有可能结果以及事件所包含的可能结果,然后利用公式求解.[解] (1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4;2道乙类题依次编号为5,6,任取2道题,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},样本点共15个.用A表示所取的2道题都是甲类题,则A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},样本点共6个,所以P(A)==.(2)法一:用B表示所取2道题不是同类题.则B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)}.样本点共8个,所以P(B)=.法二:用C表示所取2道题是乙类题则C={(5,6)}.由对立事件的概率公式可知所取的2道题不是同一类的概率为P=1-[P(A)+P(C)]=1--=.古典概型的概率求法求随机事件的概率时,首先要判断试验是不是古典概型,若是古典概型,则求事件A的概率P(A)的计算步骤是:(1)计算样本空间所有可能的样本点数n.(2)计算事件A包含的样本点数m.(3)计算事件A的概率P(A)=.3.袋中有红、白色球各一个,每次任取一个,有放回地摸三次,求基本事件的个数,写出所有基本事件的全集,并计算下列事件的概率:(1)三次颜色恰有两次同色;(2)三次颜色全相同;(3)三次摸到的红球多于白球.[解] 所有的基本事件个数n=8个.样本空间Ω={(红,红,红),(红,红,白),(红,白,红),(白,红,红),(红,白,白),(白,红,白),(白,白,红),(白,白,白)}.(1)记事件A为“三次颜色恰有两次同色”.则A={(红,红,白),(红,白,红),(白,红,红),(红,白,白),(白,红,白),(白,白,红)}∵A中含有样本点个数为m=6,∴P(A)===0.75.(2)记事件B为“三次颜色全相同”.则B={(红,红,红),(白,白,白)}∵B中含有样本点个数为m=2,∴P(B)===0.25.(3)记事件C为“三次摸到的红球多于白球”.则C={(红,红,红),(红,红,白),(红,白,红),(白,红,红)}∵C中含有样本点个数为m=4,∴P(C)==0.5.1.(多选题)下列试验是古典概型的为( )A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性的大小B.同时掷两枚骰子,点数和为7的概率C.近三天中有一天降雨的概率D.10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率ABD [ABD是古典概型,因为符合古典概型的定义和特点.C不是古典概型,因为不符合等可能性,三天中是否降雨受多方面因素影响.]2.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是( )A. B. C. D.C [本题主要考查了古典概型,从集合A,B中任取一个数的所有情况有:(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共6种,和为4的有(2,2),(3,1)共2种,则所求概率为P==.]3.袋中装有红、白球各一个,每次任取一个,有放回地抽取两次,则两次都取得红球的概率为________. [所有可能的样本点有:(红,红),(红,白),(白,红),(白,白),共4个,故所求概率为.]4.三张卡片上分别写上字母E,E,B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词BEE的概率为________. [考虑B的位置关系,知道B只可能排三个位置,BEE恰是其中一种,因此P=.]回顾本节内容,自我完成以下问题:1.古典概型有哪些特征?[提示] 有限性与等可能性.2.若一次试验的结果所包含的基本事件的个数是有限个,则该试验是古典概型吗?[提示] 不是,还必须满足每个样本点出现的可能性相等.3.求古典概型概率的步骤是怎样的?[提示] (1)先判断是否为古典概型;(2)确定样本点的总数n;(3)确定事件A包含的样本点个数m;(4)计算事件A的概率,即P(A)=.
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