人教版第二十一章 一元二次方程综合与测试课时训练

这是一份人教版第二十一章 一元二次方程综合与测试课时训练，共11页。试卷主要包含了下列方程中，是一元二次方程是等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列方程中，是一元二次方程是（ ）
A．2x+3y＝4B．x2＝0C．x2﹣2x+1＞0D．＝x+2
2．方程4x2+5x＝81化成一般形式后，它的二次项系数和常数项分别是（ ）
A．4，5B．4，﹣5C．4，81D．4，﹣81
3．用配方法解方程x2﹣8x+1＝0时，原方程变形正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝15B．（x﹣8）2＝15C．（x﹣4）2＝3D．（x﹣8）2＝4
4．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0的解为x＝1，则k值为（ ）
A．1B．2C．3D．﹣3
5．一元二次方程3x2+5x+1＝0根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．无法判断
6．关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，若x2＝2x1，则4b﹣9ac的最大值是（ ）
A．1B．C．D．2
7．若m、n是一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则2m+2n﹣mn的值为（ ）
A．2021B．2019C．2017D．2015
8．某钢铁厂一月份的产量为5000t，三月份上升到7200t，则这两个月平均增长的百分率为（ ）
A．12%B．2%C．1.2%D．20%
9．若方程x2﹣2x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12+x22的值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
10．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列命题是真命题的有（ ）
①若a+2b+4c＝0，则方程ax2+bx+c＝0必有实数根；
②若b＝3a+2，c＝2a+2，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若t是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2at+b）2．
A．①②B．②③C．①④D．③④
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．当a＝ 时，方程（a2﹣3）x2+3ax+1＝0不是一元二次方程．
12．若关于x的一元二次方程x2+8x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
13．小王去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现参会人共送出礼物20件，若设有n人参加聚会，根据题意可列出方程为 ．
14．若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+n＝0的两个根，则n的值为 ．
15．现定义运算“⊗”，对于任意实数a、b，都有a⊗b＝a2﹣3a+b；如：3⊗5＝32﹣3×3+5，若x⊗2＝6，则实数x的值是 ．
16．若x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则（x12+x1﹣2）（x22+x2﹣2）的值为 ．
三．解答题（共6小题，满分46分）
17．（6分）解方程：
（1）2x2﹣3x＝0； （2）x2﹣7x+8＝0．
18．（6分）按要求解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0（配方法）； （2）5x2﹣4x﹣1＝0（公式法）．
19．（8分）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣6x+8＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；
（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值．
20．（8分）为了更好的收治新冠肺炎患者，某市计划用810米的建筑材料在一个空地上搭建方舱医院，如图所示是医院的平面图，医院分为三个区，矩形BFHG区用于隔离治疗重症患者，矩形CDEF区用于隔离治疗轻症患者，医护室是正方形AGHE，已知围成轻症患者区的建筑材料与围成医护室、重症患者区的建筑材料之和一样多，设AE＝x米．
（1）用含x的代数式表示：DE＝ ，AB＝ ；
（2）设矩形BFHG的面积为6075平方米，求AE的长．
21．（9分）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：
（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）经过几秒后，P，Q两点间距离是cm？
22．（9分）已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A．是二元一次方程，本选项不符合题意；
B．未知数的最高次数是2，本选项符合题意；
C．不是方程，本选项不符合题意；
D．是分式方程，本选项不符合题意；
故选：B．
2．解：方程4x2+5x＝81化成一般形式后为4x2+5x﹣81＝0，
则它的二次项系数是4，常数项为﹣81，
故选：D．
3．解：∵x2﹣8x+1＝0，
∴x2﹣8x＝﹣1，
∴x2﹣8x+16＝﹣1+16，即（x﹣4）2＝15，
故选：A．
4．解：把x＝1代入方程x2+2x﹣k＝0，得1+2﹣k＝0，
解得k＝3．
故选：C．
5．解：∵一元二次方程3x2+5x+1＝0中，a＝3，b＝5，c＝1，
∴Δ＝52﹣4×3×1＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
6．解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，
∴x1+x2＝﹣，
∵x2＝2x1，
∴3x1＝﹣，即x1＝﹣，
∴a+b•（﹣）+c＝0，
∴﹣+c＝0，
∴9ac＝2b2，
∴4b﹣9ac＝4b﹣2b2＝﹣2（b﹣1）2+2，
∵﹣2＜0，
∴4b﹣9ac的最大值是2，
故选：D．
7．解：∵m，n是一元二次方程x2+2x﹣2021＝0 的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣2021，
∴2m+2n﹣mn＝2（m+n）﹣mn＝﹣4+2021＝2017，
故选：C．
8．解：设两个月平均每月增长的百分率为x，
5000（1+x）2＝7200，
解得，x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），
即两个月平均每月增长的百分率为20%，
故选：D．
9．解：∵方程x2﹣2x+1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝2，x1x2＝1，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2）2﹣2×1＝6．
故选：B．
10．解：①∵a+2b+4c＝0，
∴a＝﹣2b﹣4c，
∴方程为（﹣2b﹣4c）x2+bx+c＝0，
∴Δ＝b2﹣4（﹣2b﹣4c）•c＝b2+8bc+16c2＝（b+4c）2≥0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有实数根，故①正确．
②∵b＝3a+2，c＝2a+2，
∴方程为ax2+（3a+2）x+2a+2＝0，
∴Δ＝（3a+2）2﹣4a（2a+2）＝a2+4a+4＝（a+2）2，
当a＝﹣2时，Δ＝0，方程有相等的实数根，故②错误，
③当c＝0时，c是方程ax2+bx＝0的根，但是b+1不一定等于0，故③错误．
④∵t是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
∴t＝，
∴2at+b＝±，
∴b2﹣4ac＝（2at+b）2，故④正确，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．解：∵方程（a2﹣3）x2+3ax+1＝0不是一元二次方程，
∴a2﹣3＝0，
解得a＝．
故答案为：．
12．解：根据题意得Δ＝82﹣4m＞0，
解得m＜16．
故答案为m＜16．
13．解：设有n人参加聚会，则每人送出（n﹣1）件礼物，
由题意得，n（n﹣1）＝20．
故答案是：n（n﹣1）＝20．
14．解：当4为腰长时，将x＝4代入x2﹣6x+n＝0，得：42﹣6×4+n＝0，
解得：n＝8，
当n＝8时，原方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4，
∵2+4＞4，
∴n＝8符合题意；
当4为底边长时，关于x的方程x2﹣6x+n＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×n＝0，
解得：n＝9，
当n＝9时，原方程为x2﹣6x+9＝0，
解得：x1＝x2＝3，
∵3+3＝6＞4，
∴n＝9符合题意．
∴n的值为8或9．
故答案为：8或9．
15．解：由题意可知：x2﹣3x+2＝6，
∴x2﹣3x﹣4＝0，
∴（x﹣4）（x+1）＝0，
∴x＝4或x＝﹣1．
故答案为：4或﹣1．
16．解：∵x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，
∴x12+x1﹣1＝0，x22+x2﹣1＝0，
即x12+x1＝1，x22+x2＝1，
∴原式＝（1﹣2）×（1﹣2）
＝1．
故答案为1．
三．解答题（共6小题，满分46分）
17．解：（1）∵2x2﹣3x＝0，
∴x（2x﹣3）＝0，
则x＝0或2x﹣3＝0，
解得x1＝0，x2＝1.5；
（2）∵x2﹣7x+8＝0，
∴a＝1，b＝﹣7，c＝8，
则Δ＝（﹣7）2﹣4×1×8＝17＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
18．解：（1）∵x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
则x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）∵a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴△＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0，
则x＝＝，
即x1＝1，x2＝﹣．
19．解：（1）∵方程的一个根为x＝﹣1，
将x＝﹣1代入一元二次方程（a﹣3）x2﹣6x+8＝0，
可得a﹣3+6+8＝0，
∴a＝﹣11；
（2）∵（a﹣3）x2﹣6x+8＝0是一元二次方程，
∴a≠3，
∵方程有实数根，
∴Δ＝36﹣32（a﹣3）≥0，
∴a≤，
∴a≤且a≠3，
∵a是正整数，
∴a＝4，2，1．
20．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，
∵围成轻症患者区的建筑材料与围成医护室、重症患者区的建筑材料之和一样多，
∴AE+GH+BF＝DE+CF，
即3AE＝2DE．
设AE＝x米，则DE＝x米．
∵搭建方舱医院的材料总长度为810米，
∴AB＝＝＝（270﹣2x）米．
故答案为：x米；（270﹣2x）米．
（2）∵四边形AGHE为正方形，
∴AG＝AE＝x米，
∴BG＝AB﹣AG＝270﹣2x﹣x＝（270﹣3x）（米）．
依题意得：x（270﹣3x）＝6075，
整理得：x2﹣90x+2025＝0，
解得：x1＝x2＝45．
答：AE的长为45米．
21．解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8cm2，则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，
依题意，得：（6﹣x）×2x＝8，
化简，得：x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4．
答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．
（2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是cm，则BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2ycm，
依题意，得：（6﹣y）2+（2y）2＝（）2，
化简，得：5y2﹣12y﹣17＝0，
解得：y1＝，y2＝﹣1（不合题意，舍去）．
答：经过秒后，P，Q两点间距离是cm．
22．解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，
∴b＝c，
∴△ABC是等腰三角形，
（2）△ABC是直角三角形，
理由：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0，
即：x2+x＝0，
∴x（x+1）＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣1，
即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1．