人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件学案

1.4充分条件与必要条件

【学习目标】

1. 通过本节课的学习，理解充分条件、必要条件的含义及充分条件与判定定理、必要条件与性质定理、充要条件与定义之间的关系；

2. 在对命题的分析、判断的过程中，关注重要的数学知识和思想方法的初高中的过渡，养成在新的语境下梳理所学知识的好习惯；

3. 体会常用逻辑用语在表达数学内容中的作用，逐步提升逻辑推理的素养.

【自主学习】

一、命题的概念

1.用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做        .

其中判断为真的语句叫        ，判断为假的语句叫        .

2.命题的结构

命题可以改写成“           ”的形式.其中是命题的条件，是命题的结论.

3.四种命题

（1）原命题：“若，则”；

（2）逆命题：“若，则”；实质是将原命题的        和        互相交换位置；

（3）否命题：“若非，则非”，或“若，则”；

实质是将原命题的条件和结论两者分别        ；

（4）逆否命题：“若非，则非”，或“若，则”；

实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定.

二、四种命题之间的关系

四种命题之间的真假关系

三、反证法

1. 反证法是假设        成立，利用已知条件，经过推理论证得出矛盾，判定结论的否定错误，从而得出要证的结论正确.

2. 反证法的步骤：

（1）假设结论        .

（2）从假设出发推理论证得到矛盾

（3）判定假设        ，肯定结论        .

3. 互为逆否命题的两个命题        是命题转化的依据和途径之一，因此在直接证明原命题有困难时，可以考虑证明与它等价的        .

四、充分条件与必要条件 充要条件的概念

符号与的含义

“若，则”为真命题，记作：        ；

“若，则”为假命题，记作：        .

充分条件、必要条件与充要条件

①若，称是的        ，是的        .

②如果既有，又有，就记作        ，这时是的        ，称是的        .

五、充分条件、必要条件与充要条件的判断

从逻辑推理关系看

命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系

①若，但，则是的          ，是的          ；

②若，但，则是的          ，是的          ；

③若，且，即，则、          ；

④若，且，则是的          .

六、充要条件的证明

 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的        （即证原命题成立），又要证明条件的        （即证原命题的逆命题成立）

【小试牛刀】

1、写出“两个三角形相似”的充要条件，它们可以作为相似三角形的定义吗？

2、下列各组命题中，p是q的什么条件？（请用“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”回答）

（1）；；

（2）0＜3；；

（3）；；

（4）；；

3、给出“关于x的一元二次方程有实根”的充要条件，并证明你的结论.

答案：

1、“两个三角形相似”的充要条件有：

“一个三角形的的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等”；

“两个三角形的两个角分别对应相等”；

“一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例”；

……；

它们可以作为两个三角形相似的定义.

2、（1）充要条件；（2）充分不必要条件；（3）必要不充分条件；（4）必要不充分条件.

3、“关于x的一元二次方程有实根”的充要条件是；

证明：：，关于x的一元二次方程有实根；

设原方程中；

充分性（）：由，可得，可得所以关于x的一元二次方程有实根，充分性得证；

必要性（）：由于关于x的一元二次方程有实根，所以可得，所以必要性得证.

综上所述：是“关于x的一元二次方程有实根”的充要条件，也可以说“关于x的一元二次方程有实根”的充要条件是.