2020-2021学年安徽省高二（下）3月月考数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年安徽省高二（下）3月月考数学（文）试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 以下空间几何体是旋转体的是( )
A.圆台B.棱台C.正方体D.三棱锥

2. 已知圆的方程为x2+y2−2x+2y+m=0，则实数m的取值范围是( )
A.m>2B.m≥2C.m<2D.m≤2

3. 直线x+2y−2=0与直线2x+y−3=0的交点坐标是( )
A.4,1B.1,4C.43,13D.13,43

4. 某中学共有3000名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为50的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为( )
A.800B.600C.1200D.1000

5. 在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A.众数B.平均数C.中位数D.标准差

6. 如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m，底面圆的半径等于43m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为( )

A.43mB.163mC.8mD.83m

7. 设一个回归方程为y=3+1.2x，则变量x增加一个单位时( )
A.y平均增加1.2个单位B.y平均增加3个单位
C.y平均减少1.2个单位D.y平均减少3个单位

8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )

A.2B.4C.23D.43

9. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱C1D1，A1D1的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是( )

A.45B.35C.31010D.1010

10. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.“至少有一个红球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
C.“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”
D.“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”

11. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则齐王的马获胜概率为( )
A.14B.13C.34D.56

12. 一束光线从点A2,3射出，经x轴上一点C反射后到达圆x+32+y−22=2上一点B，则|AC|+|BC|的最小值为( )
A.32B.52C.42D.62
二、填空题

执行如图所示的程序框图，如果输入的N是6，则输出的p是________.

三、解答题


(1)求经过两条直线2x+y−8=0和x−2y+1=0的交点，且平行于直线4x−3y−7=0的直线l的方程；

(2)求经过两点C−1,1，D1,3，且圆心在x轴上的圆的方程．

2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，此法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法．民法典与百姓生活密切相关，某学校有800名学生，为了解学生对民法典的认识程度，选取了100名学生进行测试，制成如图所示频率分布直方图．

(1)求m的值；

(2)估计抽查学生测试成绩的中位数；（结果用分数形式表示）

(3)如果抽查的测试平均分超过75分，就表示该学校通过测试，试判断该校能否通过测试．

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.

(1)求证：BD⊥平面PAC；

(2)若∠ABC=60∘，求证：平面PAB⊥平面PAE.

某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：

(1)求y关于t的线性回归方程；

(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
b=i=1n(ti−t¯)(yi−y¯)i=1n(ti−t¯)2，a=y¯−bt¯ .

如图所示，在四棱锥P−ABCD中，BC//平面PAD，BC=12AD，E是PD的中点．

(1)求证： BC//AD；

(2)求证： CE//平面PAB；

(3)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN//平面PAB？说明理由．

已知点E与两个定点A1,0，B4,0的距离的比为12．
(1)记点E的轨迹为曲线C，求曲线C的轨迹方程；

(2)过点G2,3作两条与曲线C相切的直线，切点分别为M，N，求直线MN的方程．

(3)若与直线l1:y=x−22垂直的直线l与曲线C交于不同的两点P，Q，若∠POQ为钝角，求直线l在y轴上的截距的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省高二（下）3月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】
根据旋转体定义进行判断．
【解答】
解：圆台是将直角梯形绕直角腰旋转得到的几何体，故圆台是旋转体．
棱台、正方体、三棱锥是多面体．
故选A．
2.
【答案】
C
【考点】
二元二次方程表示圆的条件
【解析】
由方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆，需满足D2+E2−4F>0可得答案．
【解答】
解：∵ 方程x2+y2−2x+2y+m=0表示圆，
即(x−1)2+(y+1)2=2−m表示圆，
∴ 2−m>0，
解得m<2.
故选C.
3.
【答案】
C
【考点】
两条直线的交点坐标
【解析】
可联立两函数的解析式，所得方程组的解即为两函数图象的交点坐标．
【解答】
解：根据题意得：x+2y−2=0,2x+y−3=0,
∴x+2y=2①,2x+y=3②,
①×2得： 2x+4y=4③，
③−②得： 3y=1，
解得：y=13，
把y=13代入①得： x+2×13=2，
解得：x=43，
∴x=43,y=13,
∴交点坐标为：43,13．
故选C．
4.
【答案】
C
【考点】
分层抽样方法
【解析】
先求得抽取的样本中高二年级学生的人数，结合分层抽样的方法，列出方程，即可求解．
【解答】
解：由题意，用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为50的样本，
其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，
则高二年级抽取50−20−10=20(人)，
因为中学生共有3000人，且每个个体被抽得的概率相等，
则设高二年级共有n人，得20n=503000，
解得n=1200，
所以该校高二年级学生人数为1200人．
故选C．
5.
【答案】
D
【考点】
极差、方差与标准差
众数、中位数、平均数
【解析】
利用众数、平均数、中位标准差的定义，分别求出，即可得出答案．
【解答】
解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88，
B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90，
众数分别为88，90，不相等，A错，
平均数86，88不相等，B错，
中位数分别为86，88，不相等，C错，
A样本方差S2=110[(82−86)2+2×(84−86)2
+3×(86−86)2+4×(88−86)2]=4，标准差S=2，
B样本方差S2=110[(84−88)2+2×(86−88)2
+3×(88−88)2+4×(90−88)2]=4，标准差S=2，D正确.
故选D．
6.
【答案】
A
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】
利用圆锥的侧面展开图可求出答案
【解答】
解：将圆锥展开，如图所示，
由题意可知，底面周长：π×43×2=83π，
所以圆心角α=83ππ×4×2×360∘=13×360∘=120∘.
因为AP1=AP2=4，∠P1AP1=120∘，
所以最短路径：P1P2=43.
故选A.
7.
【答案】
A
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
由回归直线斜率可得结果．
【解答】
解：由回归直线斜率知：变量x增加一个单位时，y平均增加1.2个单位．
故选A．
8.
【答案】
A
【考点】
由三视图求体积
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
由三视图还原原几何体，可知原几何体为直三棱柱，再由棱柱体积公式求解．
【解答】
解：由三视图还原原几何体如图，
该几何体为直三棱柱，底面三角形ABC为等腰直角三角形，
AC=BC=2.
侧棱长为2，
则该几何体的体积为V=12×2×2×2=2．
故选A．
9.
【答案】
A
【考点】
余弦定理
异面直线及其所成的角
【解析】
取A1B1的中点M，连接AM，EM，FM，先证四边形ADEM为平行四边形，从而有DE//AM，故∠FAM或其补角即为所求，设正方体的棱长为2，再在△AFM中，结合勾股定理和余弦定理，求得cs∠FAM的值，即可．
【解答】
解：取A1B1的中点N，连接EN，FN，AN，
由E，N分别为C1D1，A1B1的中点，则EN//A1D1且EN=A1D1,
在正方体中AD//A1D1且AD=A1D1，所以EN//AD且EN=AD，
所以四边形ANED为平行四边形，所以AN//DE.
则∠FAN(或其补角)为异面直线DE与AF所成角．
设正方体的棱长为2，则在△ANF中，
NF=12D1B1=2，
AN=AF=4+1=5，
所以cs∠FAN=AF2+AN2−FN22AF⋅AN
=5+5−22×5×5=45．
故选A．
10.
【答案】
D
【考点】
互斥事件与对立事件
【解析】
列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可
【解答】
解：A，事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，
这两个事件是对立事件，故不正确；
B，事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，
如：一个红球一个黑球，故不正确；
C，事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，
如：一个红球一个黑球，故不正确；
D，事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，
所以这两个事件是互斥事件，
又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，
得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”
以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件不是对立事件，故正确.
故选D.
11.
【答案】
D
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法．列举出所有情况，让田忌获胜的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【解答】
解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的马按上、中、下顺序出阵时，田忌的马按下、上、中的顺序出阵，田忌才能取胜；
当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下：
双方马的对阵中，有5种对抗情况齐王能赢，
∴ 齐王获胜的概率P=56．
故选D.
12.
【答案】
C
【考点】
直线与圆的位置关系
两点间的距离公式
【解析】
利用两点间距得最短距离，点的对称性.
【解答】
解：圆心O−3,2关于x轴对称点P(−3,−2)，
则AC+BC≥AP−R=52−2=42.
故选C.
二、填空题
【答案】
720
【考点】
程序框图
【解析】
直接循环计算，即可得出答案.
【解答】
解：当N=6，k=1，p=1，
此时p=1×1=1，此时k此时k=2，p=1×2=2，此时k此时k=3，p=3×2=6，此时k此时k=4，p=4×6=24，此时k此时k=5，p=5×24=120，此时k此时k=6，p=6×120=720，此时k故答案为：720.
三、解答题
【答案】
解：1联立2x+y−8=0，x−2y+1=0，
解得x=3，y=2，
即交点为3,2.
由题意，设直线l的方程为4x−3y+m=0，
将点3,2代入直线l得，4×3−3×2+m=0，
解得m=−6，
故该直线l的方程为4x−3y−6=0.
2由题意，设圆的方程为x−n2+y2=r2，
则−1−n2+1=r2，1−n2+9=r2，
解得n=2，r=10，
∴ 圆的方程为x−22+y2=10.
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
两条直线的交点坐标
圆的标准方程
【解析】
1首先求出交点坐标，再设出平行直线，即可得出答案；
2直接设圆的方程，代入，解出即可.
【解答】
解：1联立2x+y−8=0，x−2y+1=0，
解得x=3，y=2，
即交点为3,2.
由题意，设直线l的方程为4x−3y+m=0，
将点3,2代入直线l得，4×3−3×2+m=0，
解得m=−6，
故该直线l的方程为4x−3y−6=0.
2由题意，设圆的方程为x−n2+y2=r2，
则−1−n2+1=r2，1−n2+9=r2，
解得n=2，r=10，
∴ 圆的方程为x−22+y2=10.
【答案】
解：(1)0.04+0.06+0.2+0.3+0.24=0.84，
m×10=1−0.84=0.16，
得m=0.016．
(2)设中位数为x，则70≤x≤80，那么
x−70×0.030=0.500−0.300
解得x=2303．
(3)平均成绩=45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95×0.16=76.2.
76.2分>75分，所以能通过测试．
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
【解析】


【解答】
解：(1)0.04+0.06+0.2+0.3+0.24=0.84，
m×10=1−0.84=0.16，
得m=0.016．
(2)设中位数为x，则70≤x≤80，那么
x−70×0.030=0.500−0.300
解得x=2303．
(3)平均成绩=45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95×0.16=76.2.
76.2分>75分，所以能通过测试．
【答案】
(1)证明：∵ PA⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，
∴ PA⊥BD，
又在菱形ABCD中，AC⊥BD，
即PA⊥BD，AC⊥BD，PA∩AC=A，
PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
∴ BD⊥平面PAC.
(2)证明：∵ PA⊥平面ABCD，且AE⊂平面ABCD，
∴ PA⊥AE，
又在菱形ABCD中，∠ABC=60∘，
即∠ADC=60∘，
∴ △ACD为等边三角形，且E为CD的中点，
∴ AE⊥CD，
又∵ AB//CD，
∴ AE⊥AB，
即AE⊥PA，AE⊥AB，PA∩AB=A，
PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴ AE⊥平面PAB，且AE⊂平面PAE，
∴ 平面PAB⊥平面PAE.
【考点】
直线与平面垂直的判定
平面与平面垂直的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：∵ PA⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，
∴ PA⊥BD，
又在菱形ABCD中，AC⊥BD，
即PA⊥BD，AC⊥BD，PA∩AC=A，
∴ BD⊥平面PAC.
(2)证明：∵ PA⊥平面ABCD，且AE⊂平面ABCD，
∴ PA⊥AE，
又在菱形ABCD中，∠ABC=60∘，
即∠ADC=60∘，
∴ △ACD为等边三角形，且E为CD的中点，
∴ AE⊥CD，
又∵ AB//CD，
∴ AE⊥AB，
即AE⊥PA，AE⊥AB，PA∩AB=A，
PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴ AE⊥平面PAB，且AE⊂平面PAE，
∴ 平面PAB⊥平面PAE.
【答案】
解：(1)由所给数据计算，得
t¯=17×1+2+3+4+5+6+7=4，
y¯=17×(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3，
i=17(ti−t¯)2=9+4+1+0+1+4+9=28，
i=17(ti−t¯)(yi−y¯)=(−3)×(−1.4)+(−2)×(−1)+
(−1)×(−0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14，
b=i=17ti−t¯yi−y¯i=17ti−t¯2=1428=0.5，
a=y¯−bt¯=4.3−0.5×4=2.3．
即所求回归方程为y=0.5t+2.3．
(2)由(1)知，b=0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
当t=9时，
y=0.5×9+2.3=6.8，
该地区2015年农村居民家庭人均纯收入约为6800元.
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由所给数据计算，得
t¯=17×1+2+3+4+5+6+7=4，
y¯=17×(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3，
i=17(ti−t¯)2=9+4+1+0+1+4+9=28，
i=17(ti−t¯)(yi−y¯)=(−3)×(−1.4)+(−2)×(−1)+
(−1)×(−0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14，
b=i=17ti−t¯yi−y¯i=17ti−t¯2=1428=0.5，
a=y¯−bt¯=4.3−0.5×4=2.3．
即所求回归方程为y=0.5t+2.3．
(2)由(1)知，b=0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
当t=9时，
y=0.5×9+2.3=6.8，
该地区2015年农村居民家庭人均纯收入约为6800元.
【答案】
(1)证明：在四棱锥P−ABCD中，BC//平面PAD，BC⊂平面ABCD，
平面ABCD∩平面PAD=AD，
∴ BC//AD .
(2)证明：取PA的中点F．连接EF，BF，
∵ E是PD的中点，
∴ EF // AD，EF=12AD，
又由(1)可得BC//AD，BC=12AD，
∴ BC//EF，BC=EF，
∴ 四边形BCEF是平行四边形，
∴ CE//BF，
∵ CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，
∴ CE//平面PAB .
(3)解：取AD中点N，连接CN，EN，
∵ E，N分别为PD，AD中的中点，
∴ EN//PA，
∵ EN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴ EN//平面PAB，
又由(2)可得CE//平面PAB，CE∩EN=E，
∴ 平面CEN//面PAB，
∵ M是CE上的动点，点N∈平面CEN，
∴ MN//平面PAB，
∴ 线段AD上存在点N，使MN//平面PAB .
【考点】
直线与平面平行的性质
直线与平面平行的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：在四棱锥P−ABCD中，BC//平面PAD，BC⊂平面ABCD，
平面ABCD∩平面PAD=AD，
∴ BC//AD .
(2)证明：取PA的中点F．连接EF，BF，
∵ E是PD的中点，
∴ EF // AD，EF=12AD，
又由(1)可得BC//AD，BC=12AD，
∴ BC//EF，BC=EF，
∴ 四边形BCEF是平行四边形，
∴ CE//BF，
∵ CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，
∴ CE//平面PAB .
(3)解：取AD中点N，连接CN，EN，
∵ E，N分别为PD，AD中的中点，
∴ EN//PA，
∵ EN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴ EN//平面PAB，
又由(2)可得CE//平面PAB，CE∩EN=E，
∴ 平面CEN//面PAB，
∵ M是CE上的动点，点N∈平面CEN，
∴ MN//平面PAB，
∴ 线段AD上存在点N，使MN//平面PAB .
【答案】
解：(1)设点E点坐标为x,y ，则|EA||EB|=12，
得x−12+y2x−42+y2=14，
整理得：3x2+3y2−12=0，
故曲线C的方程是x2+y2=4．
(2)过G点2,3作两条与曲线C相切的直线，G点在圆外，
连接OG，OM，ON，
由题意知|OG|=22+32=13，
|GM|=OG2−OM2=3，
∴以G为圆心，|GM|为半径的圆的方程为x−22+y−32=9①，
又圆C的方程为x2+y2=4②，
由①−②得直线MN的方程是2x+3y−4=0．
(3)设直线的方程为：y=−x+b，联立x2+y2=4，
得：2x2−2bx+b2−4=0.
设直线l与圆的交点Px1,y1，Qx2,y2，
由Δ=−2b2−8b2−4>0 ，得b2<8，
x1+x2=b，x1⋅x2=b2−42，
因为∠POQ为钝角，所以OP→⋅OQ→<0，
即x1x2+y1y2<0，且OP→与OQ→不是反向共线，
又y1=−x1+b，y2=−x2+b，
所以x1x2+y1y2=2x1x2−bx1+x2+b2
=b2−4−b2+b2<0，
得b2<4，即−2当OP→与OQ→反向共线时，直线y=−x+b过原点，此时b=0，不满足题意，
故直线l在y轴上的截距的取值范围是−2【考点】
轨迹方程
直线与圆的位置关系
相交弦所在直线的方程
平面向量数量积的运算
【解析】
(1)设点E点坐标为x,y，则|EA||EB|=12，利用两点间的距离公式得到方程，整理即可得解；
(2)连接OG，OM，求出以G为圆心，|GM|为半径的圆的方程，再跟圆C求公共弦，即切点弦方程；
(3)设直线的方程为：y=−x+b，Px1,y1，Qx2,y2，利用根与系数的关系可得P，Q两点横坐标的和与积，结合∠POQ为钝角，得OP→⋅OQ→<0，即x1x2+y1y2<0，从而可得直线l的纵截距的取值范围．
【解答】
解：(1)设点E点坐标为x,y ，则|EA||EB|=12，
得x−12+y2x−42+y2=14，
整理得：3x2+3y2−12=0，
故曲线C的方程是x2+y2=4．
(2)过G点2,3作两条与曲线C相切的直线，G点在圆外，
连接OG，OM，ON，
由题意知|OG|=22+32=13，
|GM|=OG2−OM2=3，
∴以G为圆心，|GM|为半径的圆的方程为x−22+y−32=9①，
又圆C的方程为x2+y2=4②，
由①−②得直线MN的方程是2x+3y−4=0．
(3)设直线的方程为：y=−x+b，联立x2+y2=4，
得：2x2−2bx+b2−4=0.
设直线l与圆的交点Px1,y1，Qx2,y2，
由Δ=−2b2−8b2−4>0 ，得b2<8，
x1+x2=b，x1⋅x2=b2−42，
因为∠POQ为钝角，所以OP→⋅OQ→<0，
即x1x2+y1y2<0，且OP→与OQ→不是反向共线，
又y1=−x1+b，y2=−x2+b，
所以x1x2+y1y2=2x1x2−bx1+x2+b2
=b2−4−b2+b2<0，
得b2<4，即−2当OP→与OQ→反向共线时，直线y=−x+b过原点，此时b=0，不满足题意，
故直线l在y轴上的截距的取值范围是−22007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
齐王的马
上中下
上中下
上中下
上中下
上中下
上中下
田忌的马
上中下
上下中
中上下
中下上
下上中
下中上