2020-2021学年安徽省宣城市高二（下）3月月考数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年安徽省宣城市高二（下）3月月考数学（文）试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设集合A={1,2,4}，B={x|x2−4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=( )
A.{1, −3}B.{1, 3}C.{1, 0}D.{1, 5}

2. 已知一组数据按从小到大的顺序排列为−8，−1，4，x，10，13，且这组数的中位数是7，那么这组数据的众数是( )
A.7B.6C.4D.10

3. 若0A.3y<3xB.lgx3
4. 函数f(x)=2x−2x−a的一个零点在区间(1, 2)内，则实数a的取值范围是( )
A.(1, 3)B.(1, 2)C.(0, 3)D.(0, 2)

5. 设a<0，角θ的终边与单位圆的交点为P(−3a, 4a)，那么sinθ+2csθ值等于( )
A.25B.−25C.15D.−15

6. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为52，则C的渐近线方程为( )
A.y=±4xB.y=±12xC.y=±2xD.y=±14x

7. 函数y=1−x22x2−3x−2的定义域为( )
A.(−∞, 1]B.[−1, 1]
C.[1, 2)∪(2, +∞)D.[−1,−12)∪(−12,1]

8. 设a>1，函数f(x)=lgax在区间[a, 2a]上的最大值与最小值之差为12，则a=( )
A.2B.2C.22D.4

9. 已知双曲线C:x29−y216=1的左右焦点分别为F1,F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，则△PF1F2的面积等于（ ）
A.24B.36C.48D.96

10. 方程lg5x=|sinx|的解的个数为（ ）
A.1B.3C.4D.5

11. 设ω>0，函数y=sin(ωx+π3)+2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）
A.23B.43C.32D.3

12. 设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(−1)=0，当x>0时，xf′(x)−f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(−∞, −1)∪(0, 1)B.(−1, 0)∪(1, +∞)
C.(−∞, −1)∪(−1, 0)D.(0, 1)∪(1, +∞)
二、填空题

已知fx是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有fx+2=−fx，则f2016=________.

若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离是________.

将二进制数101101（2）化为十进制结果为________．

函数y=sin2x−sinx在0,π2上的值域为________.
三、解答题

已知sinα=−31010，且π<α<3π2，求下列各式的值：
(1)tanα；

(2)sinα+csα2+sinα+3π+csπ+αsin−α−csπ+α.

已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2−x.
(1)求f(x)的解析式；

(2)若方程f(x)=k有4个解，求k的取值范围．

已知函数f(x)=−(x−2m)(x+m+3)（其中m<−1），g(x)=2x−2．
(1)若命题p:lg2[g(x)]≥1是假命题，求x的取值范围；

(2)若命题q:∀x∈(1, +∞)，f(x)<0或g(x)<0为真命题，求m的取值范围．

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0, 1)，离心率为22，过点B(0, −2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2．
(1)求椭圆的方程；

(2)求弦长|CD|.

已知函数fx=sin2x+π6+32，x∈R.
(1)求函数fx的最小正周期和单调增区间；

(2)若x∈0,π2，求函数y=fx的最大值和最小值以及取最值时对应的x的值．

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=−23与x=1时都取得极值．
(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；

(2)若对x∈[−1, 2]，不等式f(x)参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省宣城市高二(下)3月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
本题考查集合的运算．
【解答】
解：由题意1∈B，即x=1是方程x2−4x+m=0的根，
解得m=3，B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，
经检验，B符合题意．
故选B.
2.
【答案】
D
【考点】
众数、中位数、平均数
【解析】
直接利用中位数的定义列方程求出x=10，再根据众数的定义求解即可．
【解答】
解：因为−8，−1，4，x，10，13，的中位数是7，
所以12x+4=7，
解得x=10.
因为这组数据有两个10，其他数据都是1个，
所以这组数据的众数是10.
故选D．
3.
【答案】
C
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 0根据指数函数的单调性，可得：
∴ 3y>3x,(14)x>(14)y,故A,D错误；
根据对数函数的单调性，可得：
lg4xlgy3,故C正确，B错误.
故选C.
4.
【答案】
C
【考点】
函数的零点
【解析】
由题意可得f(1)f(2)＝(0−a)(3−a)<0，解不等式求得实数a的取值范围．
【解答】
解：由题意可得f(1)f(2)=(0−a)(3−a)<0，解得 0故实数a的取值范围是(0, 3).
故选C．
5.
【答案】
A
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
由题意可得 x=−3a，y=4a，r=−5a，可得 sinθ=yr 及csθ=xr 的值，从而得到 sinθ+2csθ的值．
【解答】
解：∵ a<0，角θ的终边经过点P(−3a, 4a)，
∴ x=−3a，y=4a，r=−5a，
∴ sinθ=yr=−45，csθ=xr=35，
∴ sinθ+2csθ=25.
故选A．
6.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
【解析】
由题意可得a2+b2a2=54，由此求得ba=12，从而求得双曲线的渐近线方程．
【解答】
解：已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为52，
则e=ca=52，c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=54，
∴ b2a2=14，解得ba=12，
故C的渐近线方程为y=±12x．
故选B．
7.
【答案】
D
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
由函数y=1−x22x2−3x−2列出不等式组1−x2≥02x2−3x−2≠0 ，求出解集即可．
【解答】
解：由函数y=1−x22x2−3x−2，
得1−x2≥0，2x2−3x−2≠0，
解得−1≤x≤1，x≠2且x≠−12，
即−1≤x≤1且x≠−12；
所以函数y的定义域为[−1, −12)∪(−12, 1]．
故选D.
8.
【答案】
D
【考点】
对数函数的单调性与特殊点
对数函数的值域与最值
对数函数的单调区间
对数函数的图象与性质
【解析】
因为a>1，函数f(x)=lgax是单调递增函数，最大值与最小值之分别为lga2a、lgaa=1，所以lga2a−lgaa=12，即可得答案．
【解答】
解．∵ a>1，
∴ 函数f(x)=lgax在区间[a, 2a]上的最大值与最小值分别为lga2a，lgaa，
∴ lga2a−lgaa=12，∴ lga2=12，a=4.
故选D.
9.
【答案】
C
【考点】
双曲线的定义
双曲线的应用
【解析】
先利用双曲线的方程可得出a，b，c的值，再利用双曲线的定义和三角形的面积公式进行求解即可得.
【解答】
解：由双曲线x29−y216=1可得a=3，b=4，
即可得c=5，F1(−5，0)，F2(5，0)，
因为PF2=F1F2,
由双曲线的定义可得：PF1=2a+PF2=2a+F1F2=16，
过F2作PF1的高AF2，
则AF1=8，AF2=102−82=6，
所以△PF1F2的面积为12PF1⋅AF2=48.
故选C.
10.
【答案】
B
【考点】
根的存在性及根的个数判断
【解析】
设函数y=lg5x和y=|sinx|，在坐标系中分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数确定方程根的个数．
【解答】
解：∵ lg5x=|sinx|，
∴ 设函数y=lg5x和y=|sinx|，在坐标系中分别作出两个函数的图象如图：
当x=5时，lg5x=1，
∴ 由图象可知两个函数的交点个数为3个．
故方程根的个数为3．
故选B．
11.
【答案】
C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
求出图象平移后的函数表达式，与原函数对应，求出ω的最小值．
【解答】
解：将y=sin(ωx+π3)+2的图象向右平移4π3个单位后为
y=sin[ω(x−4π3)+π3]+2
=sin(ωx+π3−4ωπ3)+2，
所以有4ωπ3=2kπ，即ω=3k2，
又因为ω>0，所以k≥1，
故ω=3k2≥32.
故选C.
12.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
函数奇偶性的判断
【解析】
构造函数g(x)=f(x)x，利用g(x)的导数判断函数g(x)的单调性与奇偶性，
画出函数g(x)的大致图象，结合图形求出不等式f(x)>0的解集．
【解答】
解：设g(x)=f(x)x，则g(x)的导数为：
g′(x)=xf′(x)−f(x)x2.
∵ 当x>0时总有xf′(x)即当x>0时，g′(x)恒小于0，
∴ 当x>0时，函数g(x)=f(x)x为减函数.
又∵ g(−x)=f(−x)−x=−f(x)−x=f(x)x=g(x)，
∴ 函数g(x)为定义域上的偶函数.
又∵ g(−1)=f(−1)−1=0，
∴ 函数g(x)的大致图象如图所示：
数形结合可得，不等式f(x)>0⇔x⋅g(x)>0,
⇔x>0,g(x)>0,或x<0,g(x)<0,
⇔0∴ f(x)>0成立的x的取值范围是(−∞, −1)∪(0, 1)．
故选A.
二、填空题
【答案】
0
【考点】
函数的求值
函数的周期性
函数奇偶性的性质
【解析】
由fx+2=−fx可得fx是周期为4的函数，把f2016转化成f0）求解即可．
【解答】
解：对任意实数x，恒有fx+2=−fx，
则f(x+4)=f(x+2+2)=−f(x+2)=f(x)，
所以fx是周期为4的函数，
所以f2016=f0，
又fx是定义在R上的奇函数，
所以f0=0，
所以f2016=0.
故答案为：0.
【答案】
9
【考点】
抛物线的性质
抛物线的标准方程
【解析】
根据抛物线的性质得出M到准线x=−1的距离为10，故到y轴的距离为9．
【解答】
解：由题意知，抛物线的准线为x=−1.
∵ 点M到焦点的距离为10，
∴ 点M到准线x=−1的距离为10，
∴ 点M到y轴的距离为9.
故答案为：9.
【答案】
45
【考点】
进位制
【解析】
由题意知101 101（2）=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25计算出结果即可选出正确选项．
【解答】
解：101101（2）
=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25
=1+4+8+32
=45．
故答案为：45．
【答案】
−14,0
【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
利用换元法，转化为二次函数求值域问题即可.
【解答】
解：令t=sinx，x∈0,π2，
则t∈0,1，
则y=t2−t=t−122−14，t∈0,1，
则当t=0或1时，ymax=0，
当t=12时，ymin=−14，
故函数y=sin2x−sinx在0,π2的值域为−14,0.
故答案为：−14,0.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ sinα=−31010且π<α<3π2，
∴ csα=−1010，
∴ tanα=sinαcsα=3.
(2)sinα+csα2+sinα+3π+csπ+αsin−α−csπ+α
=sin2α+cs2α+2sinαcsα1+−sinα−csα−sinα+csα
=sin2α+cs2α+2sinαcsαsin2α+cs2α+−sinα−csα−sinα+csα
=tan2α+1+2tanαtan2α+1+−tanα−1−tanα+1=185.
【考点】
同角三角函数间的基本关系
运用诱导公式化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ sinα=−31010且π<α<3π2，
∴ csα=−1010，
∴ tanα=sinαcsα=3.
(2)sinα+csα2+sinα+3π+csπ+αsin−α−csπ+α
=sin2α+cs2α+2sinαcsα1+−sinα−csα−sinα+csα
=sin2α+cs2α+2sinαcsαsin2α+cs2α+−sinα−csα−sinα+csα
=tan2α+1+2tanαtan2α+1+−tanα−1−tanα+1=185.
【答案】
解：(1)设x<0，则−x>0，
∵ 当x≥0时，f(x)=x2−x，
∴ f(−x)=x2+x，
∵ f(x)是偶函数，
∴ f(x)=f(−x)=x2+x，
∴ f(x)=x2−x，x≥0,x2+x，x<0.
(2)x≥0时，f(x)=x2−x=(x−12)2−14，
x<0时，f(x)=x2+x=(x+12)2−14，
故函数图象如图．
若方程f(x)=k有4个解，根据(2)的图象可知−14【考点】
根的存在性及根的个数判断
函数奇偶性的性质
【解析】
（1）先设x<0，则−x>0，转化到(0, +∞)上，用当x≥0时，f(x)=x2−x，求得解析式；

【解答】
解：(1)设x<0，则−x>0，
∵ 当x≥0时，f(x)=x2−x，
∴ f(−x)=x2+x，
∵ f(x)是偶函数，
∴ f(x)=f(−x)=x2+x，
∴ f(x)=x2−x，x≥0,x2+x，x<0.
(2)x≥0时，f(x)=x2−x=(x−12)2−14，
x<0时，f(x)=x2+x=(x+12)2−14，
故函数图象如图．
若方程f(x)=k有4个解，根据(2)的图象可知−14【答案】
解：(1)∵命题“lg2gx≥1”是假命题，
则lg2gx<1，即lg22x−2<1，
∴ 0<2x−2<2，解得1∴ x的取值范围是1,2.
(2)∵ ∀x∈(1, +∞)，g(x)=2x−2>0，
∴ 若命题q:∀x∈(1, +∞)，f(x)<0或g(x)<0为真命题，
则∀x∈(1, +∞)，f(x)<0，
即∀x∈(1, +∞)，−(x−2m)(x+m+3)<0，
也就是(x−2m)(x+m+3)>0．
即2m≥−m−3,2m≤1 或−m−3≥2m,−m−3≤1,
解得：−4≤m<−1．
【考点】
命题的真假判断与应用
指、对数不等式的解法
其他不等式的解法
【解析】
(Ⅰ)把g(x)代入lg2[g(x)]≥1，求解对数不等式和指数不等式得到x的范围，取补集得答案；
(Ⅱ)由题意知∀x∈(1, +∞)，g(x)<0为假命题，则∀x∈(1, +∞)，f(x)<0为真命题，然后利用三个二次结合列关于m的不等式组得答案．
【解答】
解：(1)∵命题“lg2gx≥1”是假命题，
则lg2gx<1，即lg22x−2<1，
∴ 0<2x−2<2，解得1∴ x的取值范围是1,2.
(2)∵ ∀x∈(1, +∞)，g(x)=2x−2>0，
∴ 若命题q:∀x∈(1, +∞)，f(x)<0或g(x)<0为真命题，
则∀x∈(1, +∞)，f(x)<0，
即∀x∈(1, +∞)，−(x−2m)(x+m+3)<0，
也就是(x−2m)(x+m+3)>0．
即2m≥−m−3,2m≤1 或−m−3≥2m,−m−3≤1,
解得：−4≤m<−1．
【答案】
解：(1)∵ 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0, 1)，离心率为22，
∴ b=a2−c2=1，且ca=22，
解之得a=2，c=1，
可得椭圆的方程为x22+y2=1.
(2)∵ 左焦点F1(−1, 0)，B(0, −2)，得F1B直线的斜率为−2，
∴ 直线F1B的方程为y=−2x−2，
由y=−2x−2，x22+y2=1，化简得9x2+16x+6=0．
∵ Δ=162−4×9×6=40>0，
∴ 直线与椭圆有两个公共点，设为C(x1, y1)，D(x2, y2)，
则x1+x2=−169，x1⋅x2=69=23,
∴ |CD|=1+(−2)2|x1−x2|
=5×(x1+x2)2−4x1x2
=5×(−169)2−4×23=1092.
【考点】
椭圆的定义
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】
（1）根据椭圆的基本概念和平方关系，建立关于a、b、c的方程，解出a=2，b=c=1，从而得到椭圆的方程；
（2）求出F1B直线的斜率得直线F1B的方程为y=−2x−2，与椭圆方程联解并结合根与系数的关系算出|x1−x2|=229，结合弦长公式可得|CD|=1092，最后利用点到直线的距离公式求出F2到直线BF1的距离d，即可得到△CDF2的面积．
【解答】
解：(1)∵ 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0, 1)，离心率为22，
∴ b=a2−c2=1，且ca=22，
解之得a=2，c=1，
可得椭圆的方程为x22+y2=1.
(2)∵ 左焦点F1(−1, 0)，B(0, −2)，得F1B直线的斜率为−2，
∴ 直线F1B的方程为y=−2x−2，
由y=−2x−2，x22+y2=1，化简得9x2+16x+6=0．
∵ Δ=162−4×9×6=40>0，
∴ 直线与椭圆有两个公共点，设为C(x1, y1)，D(x2, y2)，
则x1+x2=−169，x1⋅x2=69=23,
∴ |CD|=1+(−2)2|x1−x2|
=5×(x1+x2)2−4x1x2
=5×(−169)2−4×23=1092.
【答案】
解：(1)T=2π2=π，
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，
解得： −π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z,
所以函数fx=sin2x+π6+32的增区间为： kπ−π3,π6+kπ,k∈Z.
(2)由x∈0,π2得2x+π6∈π6,7π6，
当2x+π6=π2，即x=π6时，fx最大值为52；
当2x+π6=7π6，即x=π2时，fx最小值为1.
【考点】
三角函数的周期性及其求法
正弦函数的单调性
三角函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)T=2π2=π，
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，
解得： −π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z,
所以函数fx=sin2x+π6+32的增区间为： kπ−π3,π6+kπ,k∈Z.
(2)由x∈0,π2得2x+π6∈π6,7π6，
当2x+π6=π2，即x=π6时，fx最大值为52；
当2x+π6=7π6，即x=π2时，fx最小值为1.
【答案】
解：(1)f(x)=x3+ax2+bx+c，
f′(x)=3x2+2ax+b，
由f′(−23)=129−43a+b=0，f′(1)=3+2a+b=0，
解得，a=−12，b=−2，
f′(x)=3x2−x−2=(3x+2)(x−1)，函数f(x)的单调区间如下表：
所以函数f(x)的递增区间是(−∞, −23)和(1, +∞)，递减区间是(−23, 1)．
(2)f(x)=x3−12x2−2x+c，x∈[−1,2]，
当x=−23时，f(x)=2227+c为极大值，而f(2)=2+c，
所以f(2)=2+c为最大值．
要使f(x)f(2)=2+c．
解得c<−1或c>2．
【考点】
利用导数研究函数的最值
函数恒成立问题
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
（1）求出f′(x)，因为函数在x=−23与x=1时都取得极值，所以得到f′(−23)=0且f′(1)=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f(x)及f′(x)，然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；
（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[−1, 2]恒成立求出函数的最大值值为f(2)，代入求出最大值，然后令f(2)【解答】
解：(1)f(x)=x3+ax2+bx+c，
f′(x)=3x2+2ax+b，
由f′(−23)=129−43a+b=0，f′(1)=3+2a+b=0，
解得，a=−12，b=−2，
f′(x)=3x2−x−2=(3x+2)(x−1)，函数f(x)的单调区间如下表：
所以函数f(x)的递增区间是(−∞, −23)和(1, +∞)，递减区间是(−23, 1)．
(2)f(x)=x3−12x2−2x+c，x∈[−1,2]，
当x=−23时，f(x)=2227+c为极大值，而f(2)=2+c，
所以f(2)=2+c为最大值．
要使f(x)f(2)=2+c．
解得c<−1或c>2．x
(−∞, −23)
−23
(−23, 1)
1
(1, +∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↑
极大值
↓
极小值
↑
x
(−∞, −23)
−23
(−23, 1)
1
(1, +∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↑
极大值
↓
极小值
↑